基于擾動觀測器的永磁直線電機高階非奇異快速終端滑模控制

方 馨 王麗梅 張 康

基于擾動觀測器的永磁直線電機高階非奇異快速終端滑模控制

方 馨 王麗梅 張 康

（沈陽工業大學電氣工程學院 沈陽 110870）

針對永磁直線同步電機運行時存在模型不確定性、負載擾動、參數攝動等匹配/不匹配擾動等問題，該文提出一種基于擾動觀測器的高階非奇異快速終端滑模控制策略。利用非線性擾動觀測器觀測匹配/不匹配擾動，降低系統對多重擾動的保守性。此外，設計高階非奇異快速終端滑模控制器，增強系統的魯棒性，并將反饋電流引入滑模面，實現電機位置、速度和電流的整體控制，以提高位置跟蹤系統的動態性能和穩態性能。基于李雅普諾夫穩定性理論，分析證明了閉環系統的穩定性和收斂性。最后，通過實驗驗證了所提控制方法的可行性，能夠有效提高系統的跟蹤精度和魯棒性。

永磁直線同步電機 非線性擾動觀測器 高階非奇異快速終端滑模控制 匹配/不匹配擾動

0 引言

永磁直線同步電機（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor, PMLSM）與旋轉同步電機相比，具有更高的推力密度、更低的熱損耗，而且不存在機械耦合和滾珠絲杠的問題，因此，廣泛應用于高速度、高精度的數控加工領域[1-2]。由于電機運行在模型不確定性、負載擾動、參數攝動等復雜多變的工作環境，PMLSM系統通常會存在多種匹配/不匹配擾動，位置跟蹤的快速性和精度惡化問題凸 顯[3-4]，因此采取有效的控制策略，提高PMLSM的位置跟蹤性能，對于提高加工精度具有重要意義[5]。

為了提高PMLSM的位置跟蹤性能，目前采用的控制策略主要有數控反推控制[6]、迭代學習控 制[7]、線性自抗擾控制[8]和滑模控制[9]等。反推控制可以對高階系統的每一階子系統設計虛擬控制律，實現全局調節和跟蹤，但存在“微分爆炸”問題[10]。迭代學習控制對重復或周期性擾動有較強的處理能力，可實現有限區間內完全跟蹤，但對非周期性擾動非常敏感，甚至導致系統發散[11]。線性自抗擾控制不依賴于擾動的具體數學模型，減少了整定參數，但損失了跟蹤精度和抗擾性能。滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）作為一種非線性控制方法，具有響應速度快、魯棒性強、實現簡單等優點[12]，非常適用于PMLSM運動系統的位置控制[13]和推力控制[14]。理論上，當系統的參數攝動和外界擾動等不確定因素滿足匹配性條件時，即擾動與控制輸入在系統的同一通道中，SMC具有絕對魯棒性[15]。但當擾動不滿足匹配條件時，即擾動與控制輸入在系統的不同通道中，控制系統的魯棒性就不再存在，此時系統輸出將無法精確跟蹤給定輸入[16]。同時，傳統的SMC只能保證系統狀態在無限時間內收斂到平衡點[17]。為了解決以上問題，文獻[18]為提高系統的魯棒性，采用二階擾動觀測器觀測擾動并將觀測值和反饋電流引入滑模控制器中，實現系統雙重閉環控制。文獻[19]設計了終端滑模面，保證系統狀態在有限時間內收斂到平衡點，但控制律中存在的分數型次冪導致控制器出現奇異性問題。為此，文獻[20]設計了非奇異終端滑模控制器（Nonsin- gular Terminal Sliding Mode Control, NTSMC）解決奇異性問題，進而保證了系統狀態在有限時間內快速收斂。

為了實現PMLSM的高精度控制，本文提出了一種基于擾動觀測器的高階非奇異快速終端滑模控制策略。首先，建立包含匹配擾動和不匹配擾動的以位置誤差、速度誤差及反饋電流為狀態量的PMLSM系統動力學模型。然后，設計非線性擾動觀測器，同時觀測匹配/不匹配擾動，從而降低系統對多重擾動的保守性。接著，基于PMLSM系統模型和觀測擾動，設計高階非奇異快速終端滑模控制器（High order Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Controller, HNFTSMC），其特點是在傳統非奇異快速終端滑模面中加入加速度誤差項，建立起滑模面與控制電壓之間的連接紐帶，實現電機位置、速度和電流的整體控制，進而提高位置跟蹤系統的動態和穩態性能。該方法結合擾動觀測器與滑模控制的優點，一方面，利用非線性擾動觀測器削弱滑模控制的抖振現象，增強系統對不匹配擾動的抑制能力；另一方面，滑模控制能有效提高系統對擾動觀測誤差的魯棒性，而將電流和觀測擾動引入滑模面能夠提高系統動態性能，且單個控制器即可實現傳統的三環控制。最后，通過實驗驗證了所提控制策略的正確性和有效性。

1 永磁直線同步電機動態數學模型

圖1為PMLSM結構示意圖。PMLSM的動子上裝有通電繞組，工作臺固定于動子上，動子和工作臺共同安裝在線性導軌的滑塊上，而定子上裝有永磁體為動子提供勵磁，以實現動子沿著直線方向運動。

圖1 PMLSM結構示意圖

考慮系統的模型不確定性、負載擾動、參數攝動等影響因素，經過Park變換，PMLSM在兩相旋轉dq坐標系下的數學模型[18-21]為

其中

根據不匹配/匹配擾動的定義，由式（3）可知，1為作用在不同通道的不匹配擾動，如摩擦力、紋波推力、負載力等，2為與控制輸入存在于同一通道的匹配擾動，如參數變化。同時，為保證嚴密性，假設系統擾動滿足下面的條件：

2 控制器設計

2.1 非線性擾動觀測器

由于滑模控制對于不匹配擾動不具備魯棒性，且為減小切換增益，削弱抖振現象，本文設計了非線性擾動觀測器（Nonlinear Disturbance Observer, NDO）同時觀測PMLSM系統中的匹配/不匹配擾動量[22]，并用于滑模控制器設計。

其中

針對系統式（4），設計非線性擾動觀測器為

對式（7）求導并將式（5）代入，則觀測誤差動態方程可以表示為

顯然，根據假設1和假設2，存在觀測器增益()＞0，使得觀測誤差是漸近收斂的。

2.2 高階非奇異快速終端滑模面設計

2.3 高階非奇異快速終端滑模控制律設計

對式（9）求一階導數，得

為削弱抖振現象并確保系統快速收斂，采用式（11）所示終端趨近律設計控制律，即

圖2 初始狀態時的收斂曲線

需要指出的是，本文采用終端趨近律改善趨近運動的動態品質。然而，切換增益為固定值，且當增益較大時會導致系統出現抖振現象。在這種情況下，自適應終端趨近律是一個可行的選擇[12]。

聯立式（10）和式（11），并結合式（3），可求解得到HNFTSMC-NDO控制律為

其中

在實際應用中，由于跟蹤性能往往會受到有限的控制輸入、未建模動力學和測量噪聲的影響，因此控制器參數選擇準則為：

（2）因為0、1和2的值越大，收斂速度越快，抖振越嚴重，所以在選擇0、1和2的值時，應兼顧收斂速度和控制抖振。

2.4 穩定性和收斂性分析

下面對整個控制系統在HNFTSMC-NDO作用下的穩定性進行分析。選取李雅普諾夫函數為

對式（13）求導，并代入式（10），可得

將被控對象（見式（3））和觀測誤差動態方程（見式（8））代入式（14），可得

其中

式（16）可以重新表述為

則可以得到

由假設1和假設2可知，存在正常數1、2，使得

其中

系統控制原理框圖如圖3所示。

圖3 系統控制原理框圖

3 實驗結果及其分析

為驗證所提控制方法的可行性，利用實驗平臺予以驗證，圖4為系統實驗平臺，圖5為實驗系統控制框圖，系統主要由cSPACE控制平臺、計算機、DSP控制卡、PMLSM、光柵編碼器、直線電機驅動器組成。使用Matlab/Simulink軟件搭建控制算法。將輸入、輸出接口替換為cSPACE模塊，編譯整個模塊自動生成DSP代碼，在控制卡上運行后生成相應的控制信號。在實驗過程中通過限制電壓的幅值，對電流進行限幅控制。運行過程中通過cSPACE提供的Matlab接口模塊，可實時修改控制參數，能夠簡單高效地實現控制算法對直線電機的實時控制。DSP采集的數據可以保存到硬盤，利用Origin軟件完成圖形化顯示，PMLSM參數見表1。

圖4 PMLSM系統實驗平臺

圖5 實驗系統控制框圖

表1 PMLSM參數

為研究PMLSM伺服系統的位置跟蹤性能，設計余弦和三角波兩種波形的位置參考指令，并分別在空載和載荷3kg（質量的變化會引起摩擦阻力的變化，表征系統不匹配擾動）時對伺服系統進行實驗測試，且控制器中調整電阻為1.5s，電感為1.5d/q用于模擬系統參數變化（表征系統匹配擾動）。采用階躍位置信號驗證所采用的控制方法的動態性能。首先，對所提出的HNFTSMC-NDO系統進行了驗證；隨后，在無NDO的情況下，對HNFTSMC系統進行實驗；然后，為驗證本文方法在提高位置跟蹤精度方面的優越性，與NFTSMC方法進行對比實驗。

圖6 給定位置曲線（余弦）

圖7 空載下系統位置誤差曲線（余弦）

使用HNFTSMC-NDO、HNFTSMC和NFTSMC在如圖13所示三角波參考指令下進行的實驗結果如圖14～圖19所示。由圖14可知，三種方法的跟蹤誤差分別在-4.43～4.53mm、-6.97～10.25mm、-14.35～14.16mm之內。圖15分別為三種控制方法的速度跟蹤誤差，由于擾動觀測器的存在，HNFTSMC方法的速度誤差波動幅度較其他兩種方法小。圖16為電流曲線，HNFTSMC和NFTSMC方法的電流曲線產生嚴重波動。負載時位置跟蹤曲線如圖17所示，三種方法跟蹤誤差曲線范圍分別在-5.62～5.03mm、-10.44～14.35mm、-16.45～16.80mm之內。圖18和圖19分別為速度誤差曲線和負載電流曲線，由圖可知，其特點與余弦指令跟蹤響應類似，無論在負載還是空載條件下，HNFTSMC- NDO的性能均優于HNFTSMC和NFTSMC。這也表明，HNFTSMC-NDO能夠對不同類型的指令保持較好跟蹤性能和魯棒性。進一步驗證了所提出控制方法的優越性，與HNFTSMC和NFTSMC相比，所提出的HNFTSMC-NDO不僅在整個跟蹤過程中獲得了最佳的控制精度和魯棒性，而且削弱了抖振現象。

圖8 空載下系統速度誤差曲線（余弦）

圖9 空載電流曲線（余弦）

圖10 負載下系統位置誤差曲線（余弦）

圖11 負載下系統速度誤差曲線（余弦）

圖12 負載電流曲線（余弦）

圖13 給定位置曲線（三角）

圖14 空載下系統位置誤差曲線（三角）

圖15 空載下系統速度誤差曲線（三角）

圖16 空載電流曲線（三角）

圖17 負載下系統位置誤差曲線（三角）

圖18 負載下系統速度誤差曲線（三角）

圖19 負載電流曲線（三角）

當期望位置為階躍信號（幅值5mm），并在0.25s突加10N負載時的位置響應曲線如圖20所示。由圖20a可以看出，在初始階段NFTSMC響應速度較慢，且抖振嚴重，HNFTSMC能夠提高響應速度，但是抖振現象依然存在，由于HNFTSMC-NDO的強魯棒性和擾動觀測器的動態補償，使得系統的響應速度和抖振程度均得到改善。在0.25s時負載突變使得三種控制系統的位置均出現驟降，但在波動幅值和恢復時間上，HNFTSMC-NDO系統（0.11mm、0.013s）與HNFTSMC系統（0.2mm、0.014s）和NFTSMC系統（0.31mm、0.021s）相比均有減小，驗證了所提出的控制策略對不匹配擾動具有較強魯棒性。圖20b、圖20c所示分別為在突加負載前后的非匹配和匹配擾動（對應電壓）觀測波形。由圖可知，NDO能夠快速地估計負載變化和參數攝動引起的擾動，證明了觀測器的有效性。但是，在本文中由于導軌長度的限制，直線電機不能設定到額定速度，否則會因運動太快無法達到單程的穩定狀態，且頻繁改變動子運動方向引起的振動也為系統帶來了新的控制問題。因此所提出的控制策略在額定工況下的對比實驗值得進一步研究。

圖20 階躍指令下系統實驗曲線

4 結論

本文以PMLSM為研究對象，提出非線性擾動觀測器與HNFTSMC相結合的控制策略，用于直線電機伺服系統控制。通過實驗驗證了該方案的正確性，并得到以下結論：

1）本文以位置誤差、速度誤差和反饋電流為狀態量，同時考慮不匹配/匹配擾動的影響構建了PMLSM數學模型。

2）在此模型基礎上，采用非線性擾動觀測器，對不匹配/匹配擾動進行估計，降低系統對多重擾動的保守性，并削弱滑模控制中的抖振問題。

3）通過在滑模面中引入系統擾動值和反饋q軸電流，設計HNFTSMC-NDO，實現位置、速度、加速度（電流）整體控制，能有效改善直線電機伺服系統的動態和穩態性能以及抑制擾動的性能。

附 錄

當觀測誤差收斂到有界常數時，式（15）可以表示為

且式（A1）可以分為兩種不同的情況。

情況1：將式（A1）改寫為

求解上述不等式，可得系統狀態收斂時間r為

情況2：也可以將式（A1）改寫為

采用相同分析方法可得到收斂域的另一種表達方式為

為了證明系統狀態的收斂性，式（10）可重新表示為

同理，式（10）也可重新表示為

因此，在有限時間內，狀態2（速度誤差）的收斂域為

與上述兩種情況類似，當式（10）表示為

因此，系統狀態將在有限時間內快速收斂到以下區域

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High Order Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Control of Permanent Magnet Linear Motor Based on Disturbance Observer

（School of Electrical Engineering Shenyang University of Technology Shenyang 110870 China）

Permanent magnet linear synchronous motor (PMLSM) has higher thrust density and lower heat loss. There are no mechanical coupling and ball screw problems, so it is widely used in the field of high-speed, high-precision CNC machining. Because the motor works in complex and changeable working environment such as model uncertainty, load disturbance, parameter perturbation. PMLSM system usually has a variety of matched/mismatched disturbances, and the problems of the rapidity and accuracy deterioration of position tracking are shown. To address these issues, a high order nonsingular fast terminal sliding mode control strategy based on disturbance observer is proposed in this paper.

Firstly, a PMLSM dynamic model including matched/unmatched disturbances is established. The dynamic model takes position error, velocity error and feedback current as state variables. Then, a nonlinear disturbance observer (NDO) is designed to observe matched/unmatched disturbances, thus reducing the conservatism of the system to multiple disturbances. Then, based on the PMLSM system model and observation disturbance, a high-order nonsingular fast terminal sliding mode controller (HNFTSMC) is designed. Its characteristic is that the acceleration error term is added to the sliding mode surface of the traditional nonsingular fast terminal to establish the connection between the sliding mode surface and the control voltage. Realize the overall control of motor position, speed and current, and improve the dynamic and stable performance of the position tracking system. On the one hand, nonlinear disturbance observer is used to weaken chattering of sliding mode control and enhance the ability to suppress mismatched disturbances. On the other hand, sliding mode control can effectively improve the robustness of the system to the disturbance observation error. The introduction of current and observation disturbances into the sliding mode surface can improve the dynamic performance of the system. Finally, the correctness and effectiveness of the proposed control strategy are verified by experiments.

Under no load condition, the tracking error of HNFTSMC-NDO method under cosine command is-5.09～5.54mm, the tracking error of HNFTSMC is-10.29～11.38mm, and the tracking error of NFTSMC is-16.08～18.65mm. Under load conditions, the tracking error of HNFTSMC-NDO method is-6.28～6.85mm, the error of HNFTSMC is-13.38～14.08mm, and the error of NFTSMC is-21.89～22.88mm. The tracking errors of the three methods under the triangle wave command at no load are respectively within 4.43～4.53mm, 6.97～10.25mm, and 14.35～14.16mm. The tracking error range of the three methods under load is 5.62～5.03mm, 10.44～14.35mm and 16.45～16.80mm respectively. When the command is a step signal, the sudden change of load makes the positions of the three control systems change suddenly, but in terms of fluctuation amplitude and recovery time, HNFTSMC-NDO (0.11mm, 0.013s), HNFTSMC (0.2mm, 0.014s) and NFTSMC (0.31mm, 0.021s). The above results show that HNFTSMC-NDO achieves better control accuracy and robustness in the tracking process.

The following conclusions can be drawn from the above analysis: ① In this paper, the position error, velocity error and feedback current are taken as state variables, and the influence of matched/mismatched disturbance is considered to construct the PMLSM mathematical model. ② A nonlinear disturbance observer is used to estimate the matched/mismatched disturbances, which provides an idea to reduce the conservatism of the system to multiple disturbances and weaken the chattering problem in sliding mode control. ③ By adding system disturbance value and feedback q axis current to the sliding mode surface, HNFTSMC-NDO is designed to achieve the overall control of position, speed and acceleration, which can effectively improve the dynamic and stable performance of the linear motor servo system and the performance of restraining disturbance.

Permanent magnet linear synchronous motor, nonlinear disturbance observer, high order nonsingular fast terminal sliding mode control, matched/mismatched disturbances

TP273

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211779

國家自然科學基金資助項目（51875366）。

2021-11-03

2021-11-18

方 馨 女，1994年生，博士研究生，研究方向為永磁直驅伺服系統及其控制。

E-mail: fx23296016@163.com

王麗梅 女，1969年生，博士，教授，研究方向為交流伺服系統及其控制。

E-mail: wanglm@sut.edu.cn（通信作者）

（編輯 崔文靜）