二維耗散準地轉方程在Lorentz 空間的正則性準則

魏巍, 王艷青

(1. 西北大學數學學院, 陜西 西安 710127;2. 鄭州輕工業大學數學與信息科學學院, 河南 鄭州 450002)

1 引言

本文研究如下具有耗散項的二維準地轉方程:

其中θ(x,t) 是在(x,t) ∈R2×[0,∞) 處的溫度標量函數,θ0(x) 是初始溫度,v(x,t) 是流體的速度場,κ>0 表示擴散常數,α∈(0,1], 分數階算子Λα定義為

微分算子?⊥=(-?x2,?x1). 顯然, 若θ(x,t) 是準地轉方程(1) 的解, 則對任意λ>0,

也是方程(1) 的解.

二維準地轉方程對氣象學與海洋學的理論研究和數值計算起著至關重要的作用, 是描述地球物理流體力學的一個基本模型[1-2]. 1994 年, Constantin-Majda-Tabak 在文獻[1] 中指出二維準地轉方程與著名的Euler 方程和Navier-Stokes 方程具有相似的特點. 事實上, 將微分算子?⊥作用到方程(1) 第一式的兩邊, 可以得到

該方程形式上與Navier-Stokes 方程的旋度方程一致. 因此, 文獻[1] 將二維準地轉方程視為Navier-Stokes 方程的低維模型并將Euler 方程著名的Beale-Kato-Majda 爆破準則推廣到了該模型, 即當

時, 解θ(x,t) 在(0,T] 上光滑. 此后, 二維準地轉方程的正則性問題受到了眾多數學家的廣泛關注并取得了一系列重要的研究進展, 參見文獻[3-15].

其中具有代表性的一項工作是, Chae[7]在Lebesgue 空間中對二維準地轉模型(1)建立了滿足自然尺度變換(2) 不變性的爆破準則, 即當

時, 解θ(x,t) 在(0,T] 上是正則的. 不久后, Dong-Chen[9]在齊次Besov 空間的框架下研究了二維準地轉方程(1), 并將正則性準則(3) 改進為

繼而, Yuan[10]在最大的負指數Besov 空間中建立了如下爆破準則

注意到上述各已知結果集中在關于空間變量的Lebesgue 空間與Besov 空間, 而均未涉及Lorentz 空間. 尤其是時空型Lorentz 空間中二維準地轉方程的爆破準則, 至今尚未有已知文獻對此加以研究.

為此, 受筆者關于三維Navier-Stokes 方程正則性的前期工作[16]啟發, 本文通過將Bosia-Pata-Robinson 的一個改進版Gronwall 型引理[17]推廣為引理2.1, 率先在時空型Lorentz 空間的框架下對二維耗散準地轉方程(1) 建立了如下正則性準則:

定理1.1設0 <α≤1,κ> 0,θ(x,t) 是以θ0∈H2(R2) 為初值的準地轉方程(1) 在t∈[0,T) 上的局部光滑解. 如果存在p∈[2/α,∞) 和q∈(1,∞] 使得?⊥θ∈Lq,∞(0,T;Lp,∞(R2)), 則必存在正數ε, 使得當

時, 解θ(x,t) 在有限時刻T不發生爆破.

利用嵌入關系Lq,?(0,T)?→Lq,∞(0,T) (0

推論1.1設0<α≤1,κ>0,θ(x,t) 是以θ0∈H2(R2) 為初值的準地轉方程(1)在t∈[0,T) 上的局部光滑解. 如果存在p∈(2/α,∞),q∈(1,∞) 和?∈(0,∞), 使得θ(x,t) 滿足

則解θ(x,t) 在有限時刻T不發生爆破.

注1.1當2/p+α/q=α時, 正則性條件(6) 與(7) 中的范數在準地轉方程(1) 的自然尺度變換(2) 下具有尺度不變性, 這與爆破準則(3)-(5) 類似.

注1.2根據函數空間的嵌入關系Lp?→Lp,?(p≤?), 可知: 爆破準則(7) 改進了(3) 中的結果.

注1.3注意到正則性條件(3) 不包含端點情形p= 2/α, 而爆破準則(6) 對于p=2/α依然成立, 這補充了(3) 中的結果.

最后, 受Zhou-Lei[18]關于Navier-Stokes 方程對數型爆破準則的啟發, 給出本文的另一個主要結論如下:

定理1.2設0<α≤1,κ>0,θ(x,t) 是以θ0∈H2(R2) 為初值的準地轉方程(1)在t∈[0,T) 上的局部光滑解. 如果存在p∈(2/α,∞) 和q∈(1,∞), 使得θ(x,t) 滿足

則解θ(x,t) 在有限時刻T不發生爆破.注1.4因為成立以下兩組不等式

與

所以完成定理1.2 的證明, 可以在Lorentz 空間中另外得到三個新的對數型爆破準則,并且均改進了(3) 中的結果.

2 預備知識

為了便于定理1.1 與定理1.2 的證明, 本節將回顧Lorentz 空間的定義及其若干常用性質, 并給出兩個主要引理.

約定記號C表示一般的正常數, 記號∥g∥H2(Rn)= ∥Λ2g∥L2(Rn)+ ∥g∥L2(Rn)且H2(Rn) 表示賦以范數∥· ∥H2(Rn)的非齊次Sobolev 空間, 集合??Rn的n維Lebesgue 測度用|?| 表示. 對于集合? 上的可測函數f, 令其分布函數f?為如下定義于區間[0,∞) 上的函數:

對于0

則稱所有滿足條件∥f∥Lp,q(?)< ∞的可測函數f構成的集合為Lorentz 空間Lp,q(?).易知Lebesgue 空間Lp(?)=Lp,p(?), 且當0

類似地, 對于0

其中, 映射f:t∈[0,T)f(t) ∈X為定義于區間[0,T) 上并取值于Banach 空間X中的抽象函數.

下列為Lorentz 空間的一些常用性質:

? Lorentz 空間上的H?lder 不等式[19]:

? Lorentz 空間關于指數q的單調性[20]:

當0

? 有限測度集上Lorentz 空間的嵌入關系[19-20]:

當1 ≤m

? Lorentz 空間上的Calderón-Zygmund 不等式[21]:

其中, 1

? Lorentz 空間上的Sobolev 不等式[19]:

其中

? Lorentz 空間上的Gagliardo-Nirenberg 不等式[22]:

當1 ≤p,p2,q,q1,q2<∞, 0<α

其中

本文主要結論的證明過程也需要用到以下兩個關鍵引理:

引理2.1設?是定義于閉區間[0,T] 上的正可測函數. 若存在三個正常數μ,?和τ0, 使得對于所有τ∈(0,τ0) 以及a.e.t∈[0,T], 均成立不等式

其中非負函數λ∈L1,∞(0,T) 滿足

則函數?在區間[0,T] 上有界.

注2.1該Gronwall 型引理推廣了Bosia-Pata-Robinson 在文獻[17] 的引理3.1中僅對于情形?=2 所證明的結果. 引理2.1 對時空型Lorentz 空間中的Navier-Stokes方程[16]和本文中準地轉方程正則性準則的研究起著至關重要的作用, 其結論可以進一步應用到其它流體力學方程組在Lorentz 空間的研究當中, 例如廣義的準地轉方程等.

證明當0<τ<1 時, 由條件μ∥λ∥L1,∞(0,T)<1/?可得

從而有

再結合limτ→0?-?τ(0)=1, 可知: 存在正常數δ, 使得當正參數τ充分小時, 成立

繼而, 當t∈[0,T] 時, 對不等式(15) 變形并從0 到t積分可以推出

由此可得

引理2.2設2/p+α/q=α, 其中0 <α< ∞且1

證明由條件2/p+α/q=α可得

將上式代入(16) 的第二式, 可以推出

結合(16) 的第一式可得

再由(17) 式, 可知:qτ=q+τ-qτ. 故結論得證.

3 定理1.1 的證明

根據有限區間(0,T) 上的Lorentz 空間嵌入關系, 只需對情形2/p+α/q=α證明定理1.1 即可. 在證明過程中, 分兩種情況考慮:p∈(2/α,∞) 和p=2/α.

情形1: 當p∈(2/α,∞) 時, 將方程(1)1與Λ4θ在全空間R2上作L2內積, 并運用分部積分可得

其中

接下來, 對(18) 式右邊的I與J分別進行估計. 應用分部積分, 可推導出

這里

對于I2, 由分部積分和關系式divv=0, 計算出

對于I1, 當4/α≤p<∞時, 有

(Gagliardo-Nirenberg 不等式或Sobolev 不等式)

當2/α

(Sobolev 不等式和Gagliardo-Nirenberg 不等式)

為了估計J, 應用分部積分可得

繼而由Calderón-Zygmund 不等式可知: 不等式

對于所有q∈(1,∞) 成立. 類似于I1的估計, 同理可得

將I與J的上述估計式聯立代入(18) 式, 整理得到

進而對滿足引理2.2 的每一對正指數(pτ,qτ), 同理可得

再結合Gagliardo-Nirenberg 不等式

則有

從而, 當∥?⊥θ∥Lq,∞(0,T;Lp,∞(R2))充分小時, 由引理2.1 可以推出

于是, 當t∈[0,T] 時, 利用準地轉方程(1) 的標準能量估計

并結合Calderón-Zygmund 不等式和Gagliardo-Nirenberg 不等式, 可推導出

即?⊥θ∈L∞(0,T;Lp(R2)). 故由正則性準則(3), 可知定理1.1 在p∈(2/α,∞) 時成立.

情形2: 當p=2/α時, 應用H?lder 不等式, Sobolev 不等式和Calderón-Zygmund不等式可得

類似于I1的估計, 同理可得

進而有

將I與J的上述估計式聯立代入(18) 式, 整理得到

從而, 當∥?⊥θ∥Lq,∞(0,T;Lp,∞(R2))= ∥?⊥θ∥L∞(0,T;L2/α,∞(R2)) 充分小時, 對于所有t∈[0,T] 均有

由此可得

再結合Calderón-Zygmund 不等式, Gagliardo-Nirenberg 不等式以及標準能量估計(20) 式, 可以推出

即?⊥θ∈L∞(0,T;L3/α(R2)). 故由正則性準則(3), 可知定理1.1 在p=2/α時成立.

至此, 完成定理1.1 的證明.

4 定理1.2 的證明

由H?lder 不等式可知, 只需對情形2/p+α/q=α證明定理1.2 即可.

于是, 根據估計(10) 式, (19) 式與(20) 式, 并結合Calderón-Zygmund 不等式,Gagliardo-Nirenberg 不等式和Young 不等式, 可以推出

進而, 當t∈[0,T] 時, 由Gronwall 不等式可得

則有

再結合Calderón-Zygmund 不等式, Gagliardo-Nirenberg 不等式以及標準能量估計(20) 式, 可推導出

即?⊥θ∈L∞(0,T;Lp(R2)). 故由正則性準則(3), 可知定理1.2 得證.