在新的Schwarz 定義下的調和函數的Ahlfors-Weill 延拓

王利鑫, 馮小高

(西華師范大學數學與信息學院, 四川 南充 637009)

1 引言

解析函數的Schwarz 導數在證明函數的單葉性和擬共形映射延拓等方面有著非常重要的作用. Nehari 等人通過對解析函數的對數函數和Schwarz 導數的研究取得了很多顯著成果[1-2]. 近年來, 很多學者把解析函數的結果推廣到調和函數, 研究其單葉性準則和擬共形延拓[3-10].

首先給出一些基本概念. 設φ是單位圓?={z:|z|<1} 內的局部單葉解析函數,它的對數導數Pφ和Schwarz 導數Sφ分別為

定義其Schwarz 導數的范數為

在文獻[11] 中, Nehari 通過對Schwarz 導數的研究得出了在單位圓?內一個局部單葉解析函數為整體單葉的條件. 隨后Ahlfors 和Weill[12]對Nehari 的結果進行進一步的推廣, 得出單位圓?內一個局部單葉解析函數為整體單葉且擬共形延拓到擴充復平面的條件.

下面介紹一些關于調和函數的基本概念. 設f=h+是單位圓?內的調和函數, 其中h和g在單位圓內解析且g(0) = 0.ω=g′/h′是單位圓內的一個解析函數且|ω| < 1 稱為f的第二復特征. 2003 年, Chuaqui, Duren 和Osgood 根據極小曲面理論給出了調和函數的Schwarz 導數和對數導數定義[3]. 隨后, Hernández和Martín 從共形度量的角度給出了調和函數的Schwarz 導數和對數導數定義[6].Efraimidis, Hernández 和Martín[14]借助此Schwarz 導數和對數導數的定義構造了一個調和函數的Alhfors-Weill 延拓. 最近, 聶麗萍和楊宗信[9]給出了調和函數f=h+新的Schwarz 導數和對數導數定義. 定義如下: 令調和函數f的Schwarz 導數定義為

其中Pf=(logγ)z為f的對數導數. 又故f的對數導數和Schwarz 導數又可以分別寫成

和

定義ω的雙曲導數為

及其雙曲導數的范數為

注1.1解析映射的對數導數和Schwarz 導數分別記作Pf和Sf, 一般調和映射的對數導數和Schwarz 導數分別記作Pf和Sf.

本文將利用文獻[9] 中對調和函數的對數導數(4) 和Schwarz 導數(5) 的新定義,借助Efraimidis, Hernández 和Martín[14]構造的調和函數的Alhfors-Weill 延拓, 利用文獻[12] 中對調和函數的對數導數(4) 和Schwarz 導數(5) 的新定義也給出了對應的Alhfors-Weill 延拓.

2 一些引理

本節主要給出后面證明主要定理時要用到的幾個引理.

引理2.1[15]設h是單位圓?內的的局部單葉解析函數, 則有

假設Fλ= {f=h+:h(0) =g(0) = 0,h′(0) = 1,∥Sf∥≤λ}, 由文獻[7] 可知單位圓?內的保向調和映射f=h+的族Fλ是仿射線性不變的. 記Fλ0={f∈Fλ:g′(0)=0} 和Rλ=∥w?∥, 則有以下引理.

引理2.2[7]limλ→0Rλ=0.

引理2.3假設f=h+是單位圓?內的調和映射, 其中h解析, 那么

其中k1>0,k2>0.

證明由于

那么

根據三角不等式和Schwarz 導數范數的定義可知

利用文獻[7] 的方法, 結合(6) 式有下列幾個不等式成立

結合(9)-(13) 式, 可得(8) 式.

3 主要定理及其證明

定理3.1設f=h+是單位圓?內的局部單葉調和函數, 且f的第二復特征滿足|ω(z)|≤d, 其中d∈[0,1),z為單位圓內任意一點. 令τ=Ph或τ=Pf, 存在常數c, 使得當∥Sf∥≤c時, 有

是f的擬共形延拓, 且擬共形延拓到, 其中

注3.1在文獻[14] 中, Efraimidis, Hernández 和Martn 通過計算函數f的延拓公式Ef(ζ) 的Beltrami 系數來分別討論τ=Ph和τ=Pf的情況, 并得到了上述定理. 本文將通過分別計算τ=Ph和τ=Pf兩種情況下Beltrami 系數來證明在新的Schwarz 導數定義下依舊成立.

證明下面分兩種情況來證明.

當τ=Ph時, 由文獻[14] 的(21) 式得到, 此時F(z) 的Beltrami 系數可以寫作:

其中,

結合(2) 式和引理2.3 的(8) 式, 有

于是,

由Schwarz-Pick 引理, 有下式成立

又根據引理2.1 可得

結合上述幾個式子, 那么|μF| 可以寫作成

由(16) 式和引理2.2 可以看出, 當λ趨近于0 時, |μF| 趨近于d, 從而推出F擬共形延拓到

當τ=Pf時,F(z) 的Beltrami 系數為:

其中

由|α|,|β| 的范圍可知下面兩式成立:

結合(4) 式, 引理2.1 和引理2.3 得

則M的分子部分的范圍為

同理N的分子部分的范圍為

綜上所述,

由(18) 式和引理2.3 可知, 當λ趨近于0 時, |μF| 同樣趨近于d, 因而可以推出F擬共形延拓到.