基于多項式求根的雙厚度透射率模型確定光學常數(shù)

楊百愚，武曉亮，王翠香，王偉宇，李 磊，范 琦，劉 靜

〈系統(tǒng)與設計〉

基于多項式求根的雙厚度透射率模型確定光學常數(shù)

楊百愚，武曉亮，王翠香，王偉宇，李 磊，范 琦，劉 靜

（空軍工程大學 基礎部，陜西 西安 710051）

為解決光譜反演法確定物質(zhì)光學常數(shù)的一些問題，基于傳統(tǒng)的雙厚度透射率模型，建立厚度分別為和2的光譜透射率方程，通過代數(shù)運算獲得與衰減系數(shù)有關的八次多項式方程，求解并選擇其大于0小于1的實數(shù)根來計算衰減系數(shù)和消光系數(shù)；再求解關于界面反射率的一元二次方程，選擇其大于0小于1的根來計算折射率。在確定光學常數(shù)的過程中，新方法沒有反演誤差和迭代計算耗時問題。利用已知文獻中庚烷的光學常數(shù)驗證新方法的可靠性，并分析了雙厚度不滿足2倍關系時對計算結(jié)果的影響，結(jié)論是第二厚度2的相對誤差不超過1%時，消光系數(shù)的計算誤差不超過2.03%，不考慮3個強吸收點時，折射率的計算誤差不超過1%。

光學常數(shù)；折射率；消光系數(shù)；衰減系數(shù)；雙厚度透射率模型

0 引言

折射率和消光系數(shù)稱為物質(zhì)的光學常數(shù)，這兩個參量是隨光波長變化的，但習慣稱為常數(shù)。在電磁波理論中，光譜反射率和透射率等光學性質(zhì)可用物質(zhì)的光學常數(shù)來描述，因此可通過測量光學性質(zhì)來確定光學常數(shù)。方法主要有雙光譜反演法[1]、反射光譜反演法[2]、透射光譜反演法[3-5]、雙厚度透射光譜反演法[6-7]。

Bohren和Huffman[8]用電磁波理論建立了平板材料的光譜透射率模型、以及只考慮光在平板內(nèi)的多次反射，而忽略干涉效應時的非相干透射率模型。基于前者，Tuntomo[6]等人采用玻璃-液體-玻璃三層平板結(jié)構(gòu)，測量兩個不同厚度液體的光譜透射率，在忽略玻璃影響的情形下通過迭代法反演確定了碳氫燃料庚烷和癸烷的光學常數(shù)。基于非相干透射率模型，李全葆等人[7]通過測量不同厚度碲鎘汞晶片的光譜透射率，采用迭代法求解了碲鎘汞的光學常數(shù)；蘇星等人[9]測量了一種紅外硒化物玻璃的光學常數(shù)。李棟等人[10-12]以上述研究為基礎，提出了多種改進透射率模型及反演算法，提高了三層平板結(jié)構(gòu)測量液體光學常數(shù)的精度；王程超等人[13]基于射線蹤跡法推導了三層結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的總透射率模型，并采用粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）進行反演計算了生物柴油的光學常數(shù)。

因為多層結(jié)構(gòu)的存在，上述測量液體光學常數(shù)的透射率模型和反演算法較為復雜。但對于半透明固體材料，如石英、金剛石、砷化鎵、氟化鎂和硒化鋅等紅外光學材料在光學窗口、像質(zhì)改善和液體光學測量等方面有重要應用。這類固體材料可制備成單一材料結(jié)構(gòu)并基于雙厚度透射率模型測量其光學常數(shù)，這種情況下主要研究反演算法。如李棟等人[14-15]提出了簡化方程迭代法（Simplifie-Equation Iterative, SEI）和蒙特卡洛法（Monte-Carlo, MC）；吳國忠等人[16]對SEI、MC和PSO三種方法做了比較研究，結(jié)論是PSO方法精度更高。

使用反演迭代法確定光學常數(shù)的方法計算耗時且存在迭代誤差，上述學者在反演算法的設計、精度提升及誤差減小上做了很多研究，但直接去求解雙厚度透射率方程的嘗試還未見報道。本文在這一方面做了探索，只要將雙厚度透射率模型中的兩個厚度設定為2倍關系，則經(jīng)過代數(shù)推導，即可獲得與衰減系數(shù)（可換算出消光系數(shù)）有關的八次多項式方程，以及關于界面反射率的一元二次方程。這兩個方程均可求得精確數(shù)值解或解析解，從而避免了反演算法的耗時和誤差。本文以文獻[6]中庚烷的光學常數(shù)作為“理論值”，代入雙厚度透射率方程計算的透射率作為“實驗數(shù)據(jù)”，用多項式求根的方法確定庚烷的折射率和消光系數(shù)，驗證了本文方法的可靠性。最后分析了雙厚度偏離2倍關系時對計算結(jié)果的影響。

1 多項式求根的雙厚度透射率模型

設半透明平板材料的折射率、消光系數(shù)分別為和，則衰減系數(shù)＝4p/，其中為光波長。將平板材料置于空氣（折射率為1，消光系數(shù)為0）中，當光線垂直入射時，根據(jù)菲涅耳定律和斯涅耳定律，在平板材料與空氣分界面上的界面反射率＝[(－1)2＋2]/[(＋1)2＋2]。由于平板材料有兩個界面，考慮光在平板內(nèi)的多次反射，而忽略干涉效應時，光垂直通過厚度為L的平板后的透射率T可表示為[8]：

則光通過厚度為和2的平板材料后的透射率和分別用式(2)、式(3)表示：

＝(1－)2/(1－22) (2)

＝(1－)22/(1－24) (3)

式中：＝exp(－)。給式(2)兩側(cè)同乘以，聯(lián)立式(3)消去兩式右側(cè)的分子，有：

－＝(－2)22(4)

將式(4)中的代入式(2)，經(jīng)過代數(shù)運算可得：

()＝88＋77＋66＋55＋44＋33＋22＋

1＋0＝0 (5)

式中：8＝2，7＝－2(1＋)，6＝2(1＋)2，5＝2(1＋)，4＝－2(2＋22＋2)，3＝2(1－)，2＝2(1－)2，1＝－2(1－)，0＝2，式(5)是關于的一元八次多項式方程，通過數(shù)值求解可得到其8個根，但只有滿足0＜＜1的根才有實際物理意義。則平板材料的衰減系數(shù)和消光系數(shù)分為：

＝－ln()/(6)

＝－ln()/(4p) (7)

另由式(2)可得：

2(2＋)－2＋(－)＝0 (8)

式(8)是關于的一元二次方程，由于其判別式非負，又因0＜＜1，則方程(8)的解為：

則平板材料的折射率為：

只要測量出、2兩種厚度下的光譜透射率、，可由式(5)求多項式方程的根，再由式(6)、式(7)和式(10)計算出衰減系數(shù)、消光系數(shù)和折射率。上述方法不必經(jīng)過耗時的反演迭代來確定光學常數(shù)（多項式求根所用計算時間可忽略不計），所以結(jié)果中不存在反演誤差。

2 結(jié)果和討論

本文采用文獻[6]中庚烷在2.5～15mm的光學常數(shù)作為“理論值”。將上述光學常數(shù)代入式(2)、式(3)，計算厚度分別為＝15mm和2＝30mm下的透射率作為“實驗數(shù)據(jù)”，然后利用多項式求根的方法確定庚烷的光學常數(shù)，通過比較計算結(jié)果與理論值的相對誤差來驗證本文方法的可靠性。需要指出，由于本文透射率模型與文獻[6]的透射率模型不同，這里的“實驗數(shù)據(jù)”與文獻[6]的真實實驗數(shù)據(jù)是有差別的。此處僅是借用文獻[6]的數(shù)據(jù)構(gòu)造了適合本文透射率模型的“實驗數(shù)據(jù)”來代替實際實驗，其好處是可以避免實際實驗的其他誤差而專門研究多項式求根方法的可靠性。

基于多項式求根方法確定的庚烷光學常數(shù)如圖1所示，消光系數(shù)有3個峰值，對應3個強吸收帶。從消光系數(shù)和折射率的相對誤差可以看出計算結(jié)果與理論值符合得很好，其中消光系數(shù)的最大相對誤差為－9.4×10－7%，折射率的最大相對誤差為1.4×10－5%。結(jié)果表明本文方法確定光學常數(shù)沒有反演迭代誤差。

圖1 基于多項式求根方法確定文獻[6]中庚烷的光學常數(shù)

由于本文方法要求材料的兩個厚度成2倍關系，如果第二厚度的制備或測量存在誤差，則會導致計算結(jié)果出現(xiàn)誤差。假定第二個厚度2存在1%和5%的誤差，則實際的厚度為(2±0.02)和(2±0.1)，不妨取1.98和1.9，則相應的透射率為￠＝(1－)21.98/(1－23.96)和2＝(1－)21.9/(1－23.9)。將文獻[6]中庚烷的光學常數(shù)代入此處公式計算的透射率作為“實驗數(shù)據(jù)”，但仍按照基于2倍厚度關系推導的多項式方程來計算光學常數(shù)，通過比較計算結(jié)果與理論值的相對誤差來評估厚度偏離2倍關系時對計算結(jié)果的影響，結(jié)果分別如圖2、3和圖4、5所示。

如圖2、3所示，第二個厚度2存在1%的誤差時，消光系數(shù)的相對誤差在(2～2.03)%之內(nèi)，而折射率在3.4mm、6.8mm、13.8mm吸收帶的誤差較大，分別為26.9%、3.8%和1.3%，其余波長處的誤差不超過1%。可見，不考慮強吸收點，就整個波段范圍來看，由于厚度不滿足2倍關系對消光系數(shù)計算結(jié)果的影響大于折射率；但在強吸收點，同樣的厚度改變，由于值較大所造成的透過率的相對誤差就比較大，折射率的計算對此比較敏感，而消光系數(shù)的計算卻不敏感。

圖2 第二厚度2L存在1%誤差時k的計算誤差

圖3 第二厚度2L存在1%誤差時n的計算誤差

如圖4、5所示，第二個厚度2存在5%的誤差時，消光系數(shù)的相對誤差在(10～10.15)%之內(nèi)，而折射率在3.4mm、6.8mm、13.8mm吸收帶的誤差較大，分別為134.9%、18.5%和6.4%，其余波長處的誤差不超過3.5%。其結(jié)論與厚度存在1%誤差時的情形相似。再比較厚度誤差1%和5%的計算結(jié)果，可以看出當厚度誤差擴大5倍時，消光系數(shù)、強吸收點折射率的計算誤差也擴大5倍左右，但其余波長處折射率的計算誤差僅擴大3.5倍，對厚度的誤差相對不敏感。

圖4 第二厚度2L存在5%誤差時k的計算誤差

圖5 第二厚度2L存在5%誤差時n的計算誤差

3 結(jié)論

基于傳統(tǒng)的雙厚度透射率模型，在將兩個厚度設定為2倍關系時，可獲得與衰減系數(shù)有關的八次多項式方程，以及關于界面反射率的一元二次方程。通過多項式方程求根的方法實現(xiàn)了光學常數(shù)的確定，從而避免了反演迭代法的耗時和誤差。借用文獻[6]中庚烷的光學常數(shù)驗證了本文方法的可靠性，除了個別的強吸收點，即使模型中的兩個厚度偏離2倍關系時本方法仍能獲得較好的計算結(jié)果。

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Determination of Optical Constants by Double Thickness Transmittance Model Based on Polynomial Root

YANG Baiyu，WU Xiaoliang，WANG Cuixiang，WANG Weiyu，LI Lei，F(xiàn)AN Qi，LIU Jing

(Fundamentals Department, Air Force Engineering University, Xi'an 710051, China)

To solve some problems in the determination of substance optical constants by spectral inversion, based on the traditional double thickness transmittance model, spectral transmittance equations with thicknesses ofand 2are established. The eighth-order polynomial equation related to the attenuation coefficient is obtained through an algebraic operation. Real roots greater than 0 and less than 1 are solved to calculate the attenuation coefficient and extinction coefficient. Then, the quadratic equation with one unknown quantity about the interface reflectivity is solved, and the roots greater than 0 and less than 1 are selected to calculate the refractive index. In the process of determining the optical constants, the new method has no inversion error or iterative calculation time-consuming problems. The reliability of the new method is verified using the known optical constants of heptane from the literature, and the influence on the calculation results was analyzed when the double thickness does not satisfy the double relationship. In conclusion, when the relative error of the second thickness 2was no more than 1%, the calculation error of the extinction coefficient was no more than 2.03%, and when three strong absorption points were not considered, the calculation error of the refractive index was no more than 1%.

optical constants, refractive index, extinction coefficient, attenuation coefficient, double thickness transmittance model

O433.1；O434.3

A

1001-8891(2023)01-0091-04

2022-01-06；

2022-04-11.

楊百愚（1973-），男，副教授，研究方向為紅外材料特性、光電檢測與信息處理技術。E-mail：yby0002@163.com.

范琦（1972-），男，副教授，研究方向為光電檢測與信息處理技術。E-mail：af-fanqi@126.com.

國家自然科學基金（12004437）。