初中數學教學中數形結合思想的應用

山東省淄博市桓臺縣實驗學校 于國麗

山東省淄博市桓臺縣實驗中學 劉 妍

一、初中數學教學中數形結合思想的應用價值

第一，可以助力學生更好地理解數學知識。數學知識抽象性強，尤其是一些數學概念，不僅抽象而且有很強的概括性，學生理解起來吃力。教師在課上若是滲透數形結合思想，以直觀形象的圖形將其表現出來，可以明顯降低學生理解難度，還能加深學生對這些基礎知識的理解與記憶，有利于后面學習中的遷移應用。

第二，可以提升學生的思維能力。數形結合思想的應用涉及“數”與“形”的轉化，學生在面對幾何圖形時要深入挖掘其中隱藏的數量關系。同樣，在面對代數知識時思考如何通過幾何圖形使其直觀呈現。這個過程需要空間想象、邏輯思維、發散思維、創新思維的參與，所以有助于提升學生思維能力。

第三，可以增強學生問題解決能力。在數學中，“數”與“形”是兩個重要元素，學生若是能巧妙地處理這兩者之間的關系，靈活轉化，就能輕松解決數學中的大多數問題。此外，數學思想方法從本質上來說就是解題思路、方法的凝練，數形結合思想也是如此。學生在數學學習中會用數形結合思想，就可以觸類旁通、舉一反三，解決數學問題會更加輕松，正確率也會更高。

二、初中數學教學中數形結合思想的應用策略

（一）數形結合思想的應用形式

1.以形促數

顧名思義，“以形促數”是指通過幾何圖形促進學生對代數知識的理解，這是數形結合的常見形式之一。初中數學中包含很多復雜的內容，如抽象的數量關系，教師可以通過圖形直觀地呈現出來，從而降低學生理解難度。

以“一次函數”教學為例，一次函數的方程式是“y＝ax+b（a≠0）”，a、b均是常數。如果教師直接解釋數量關系，學生難以理解，若是教師用直觀的圖形呈現這個函數中的數量關系，學生就能輕松且深入地理解。在教學實踐中，教師可以通過板書或者多媒體的形式給學生展示以下圖形，結合直觀圖形去解釋一次函數中的數量關系（如圖1所示）。

有了這樣的圖形作支撐，教師就能輕松給學生講解一次函數的知識。在教學實踐中，教師將主動權交給學生，讓學生闡述自己從這些圖形中獲得的信息。

學生1：我發現a的正負決定了直線的傾斜方向。

學生2：我發現a的大小決定了直線的傾斜程度。

學生3：我發現b的正負決定了直線與y軸交點的位置。

……

原本抽象且復雜的一次函數知識，經過圖形直觀化處理后，學生輕松理解，不僅知道了一次函數是什么，對一次函數的性質也有了深刻、全面的認識。

2.以數解形

顧名思義，“以數解形”是指通過數量關系解析圖形內容，是“以形促數”的對立面，通常運用在對復雜圖形的認知與解析上。具體來說，當講解復雜的圖形或者當學生在學習中遇到復雜的圖形時，教師可以引導學生用定量計算的方式處理，巧妙地論述題型中所隱藏的條件，以此計算圖中相關內容。

通常來說，在幾何圖形解析中，教師可以嘗試運用“以形促數”思想。如圖2所示，圖形是由四個全等的長方形構成，中間空白區域利用已知條件列出等式。

圖2 幾何圖形例題圖

已知圖2中的四個長方形全等，所以中間區域是邊長相等的正方形，可以用數量關系表示該正方形的邊長為a-b。由正方形面積公式可知，該圖形的中間面積是（a-b）2。再從另一個視角解析這其中的數量關系，整個大的圖形是邊長為a+b的正方形，其面積是（a+b）2，而中間區域的小正方形面積是大正方形面積減去四個全等長方形，即（a+b）2-4ab。這樣就可以得到恒等式（ab）2＝（a+b）2-4ab。

（二）數形結合思想的應用途徑

1.應用數形結合思想講解基礎知識，加深學生的理解與記憶

基礎性知識尤為重要，只有當學生對這些數學概念、公式、規律、定理等知識形成深入、全面的認識時，才能奠定牢固的基礎。而巧妙地運用數形結合思想，可以解決學生學習難、理解不透徹等問題。換言之，教師在講解數學概念、公式、定理等基礎知識時，若能運用數形結合思想，對其直觀化處理，可以化難為易，將晦澀難懂的知識變得通俗易懂，還能加深學生的理解與記憶。

例如，很多學生不理解“絕對值”的概念，所以在做題時經常出錯。如面對“求a（a＜0）的絕對值”這道題時，很多學生直接得出答案“a”。為了讓學生充分理解，教師可以利用數軸去講解（如圖3所示）。

圖3 數軸

通過數軸的直觀呈現，學生深刻地理解絕對值表示的是數軸上某個點到原點的距離。數軸上原點右邊1.5的點到原點距離是1.5，原點左邊-1.5的點到原點距離也是1.5。同樣，原點右邊4的點到原點距離是4，原點左邊-4的點到原點距離也是4，即絕對值不會是負數，而是一個正數。清楚地理解并掌握絕對值概念后，學生在面對“求a（a＜0）的絕對值”這道題時就能輕松地得到答案“｜a｜＝-a”。

2.應用數形結合思想優化解題方法，提升學生問題解決能力

在初中數學教學中，解題教學是核心內容，占據重要位置，也是學生學習數學的難點所在。尤其在面對復雜的數學問題時，很多學生往往束手無策，不知道從哪里著手。教師可以滲透數形結合思想，這不僅可以讓學生學會解當前的數學問題，更重要的是，學生可以通過數形結合思想學會解決這一類題。

例如，初中數學的“最值”問題讓很多學生在處理時束手無策，很多學生缺乏科學、有效的方法，不僅解題效率低，而且解題正確率也非常低。為了提升學生解決這類題的能力，教師可以滲透數形結合思想。如這樣一道題：已知x+y＝6，x、y均大于0，問的最小值。很多學生面對這道題時往往找不到突破口，若是按部就班地用代數方法求解，不僅煩瑣復雜而且正確率低。這種情況下，教師可以引導學生運用數形結合法，將抽象的代數問題轉化為形象的幾何問題。通過勾股定理，可以將看成兩個直角三角形的斜邊，而且這兩個直角三角形在一條線上，如圖4所示。

圖4 根據勾股定理繪制的直角三角形

通過圖形可以直觀看出，只要求出大三角形MPQ的斜邊，這個代數問題就能迎刃而解。而根據勾股定理可以輕易得到。由此可見，原本復雜難解的問題經過轉化后變成難度系數較小的求勾股定理斜邊問題，教師在解題時應給學生強調這一點，以此培養學生的數形結合意識，讓學生認識到數形結合思想的力量并養成運用數形結合方式解題的良好習慣。

三、結語

綜上所述，在初中數學教學中應用數形結合思想可以讓學生更加直觀、清晰地了解并掌握數學知識，從而減少學生在數學理解與認知上的困難。同時，合理地滲透數學思想方法可以拓寬學生思維空間，在提升學生解題能力的同時使其養成良好的學習習慣。在教學實踐中，教師應在基礎知識講解、數學問題講解這兩個主要環節中有效滲透“以形促數”與“以數解形”思想，切實有效地提升學生的數學學習水平，同時達到減輕學生負擔的目的，貫徹落實“雙減”政策。