自適應遺傳算法支持下的既有鐵路曲線整正方法

明祖濤，李穎喆,2，李 瑋，賴祖龍

(1.中國地質大學(武漢) 地理與信息工程學院，武漢 430074；2.武漢市勘察設計有限公司，武漢 430022)

在鐵路工程中，當施工放樣誤差造成工程結構物偏移或后期運營過程中線路逐漸發生變形錯位時，特別是鐵路曲線路段，為避免損失，需調整線路的技術參數以恢復平順性。此類鐵路曲線整正問題中，為減少工作量，一般以撥距總量最小作為優化的方向。目前鐵路曲線整正方法主要有繩正法、偏角法和坐標法3種。繩正法和偏角法都是根據漸伸線理論，容易產生較大誤差，坐標法計算原理嚴密清晰、精度高，越來越被廣泛地應用到實際生產中[1-14]。

國內外專家學者們利用多種數學優化技術提高了傳統撥距計算的精度和效率。例如，文獻[1]提出按最小二乘原理的整體平差方法，結合測點坐標的曲率圖對主要樁點進行穩健估計，通過兩次平差獲得優化結果。文獻[2]使用霍夫變換剔除線性識別中的偏差點，使曲率圖更加準確，進而提高最小二乘法計算精度。文獻[3]考慮運行穩定性與舒適度，以通過定點作為約束條件，用網格法計算可行性解的組合范圍。文獻[4-6]通過擬合三次樣條曲線來逼近鐵路曲線，結合曲率變化特征進行概略分段，用概略樁點作為初始方案進行迭代計算求撥距量最優值。文獻[7]提出坐標法計算徑向撥距新方法，并采用網格法驗證該方法的精確性。文獻[8-10]用多種最優化方法進行了實驗，分析約束優化和無約束優化的可行性，與網格法進行比較。擬合與最優化方法在鐵路曲線整正問題上能夠滿足工程精度要求，但需要先通過識別曲率變化特征來確定主要樁點，而曲率圖具有一定誤差，且該過程難以加入約束條件與計算精確里程。文獻[11-14]利用粒子群算法或遺傳算法生成初始方案群，簡化線型識別過程，能夠顧及經濟、環境指標與相關規范等限制條件。

在分析常用的鐵路整正方法的基礎上，提出一種利用自適應遺傳算法的優化整正方法，其優勢在于適應度函數的變量在個體的并行計算中作為已知值，能夠疊加黃金分割法搜索主要樁點，并計算其在對應撥后曲線的精確里程。通過大量實驗數據驗證，該方法能夠獲得曲線要素全局最優解，具有較高的精確性和適用性。

1 坐標法撥距計算

1.1 坐標轉換

以直緩點為原點，直緩點到交點方向為x軸正方向、曲線偏移方向為y軸正方向建立平面直角坐標系，各曲線要素如圖1所示。

圖1 曲線要素示意圖

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：T0為原設計切線長；T為撥后曲線的切線長；α為轉向角，由前后夾直線確定，在優化中不發生改變；l0為緩和曲線全長；R為圓曲線半徑；m為切線增量；P為圓曲線內移值；ZH為線路直緩點；JD為線路轉彎處兩條直線延長線交點。

1.2 撥距計算

曲線撥正后，除ZH點改變外，曲線線型變化也使測點的對應位置改變，各測點里程應重新計算。

d=|Yi|.

(6)

緩和曲線坐標公式參考文獻[15]，一般保留前三項級數。l為曲線長，由曲線上各點里程減直緩點里到，R為圓曲線半徑。

(7)

(8)

式中：xi，yi為位于曲線上且與測點i里程對應的坐標。

(9)

式中：圓心坐標(Xa，Ya)=(m，R+P)。

圓曲線坐標公式為：

(10)

(11)

4)當測點對應第二緩和曲線時，以緩直點為原點建立緩直點切線直角坐標系，可按文獻[16]中討論的方法進行坐標轉化，撥距量計算與第一緩和曲線相同。

5)由于撥距量為測點沿徑向到撥后曲線的距離，緩和曲線曲率半徑為Rl0/l，曲線各微分弧段的半徑為R到無窮大，遠大于以測點為圓心與曲線的切圓，則撥距量為關于里程的單峰凸函數，可使用黃金分割算法[17]求解撥距量和測點里程。當R和l0作為已知值時，令撥距量與里程的函數關系為d=f(x)，算法流程如圖2所示。

圖2 黃金分割法求解撥距流程

圖2中：a，b為測點里程搜索范圍；x1，x2為黃金分割法的三等分點。

1.3 變量范圍與約束條件

緩和曲線長、圓曲線半徑上下界根據原設計值設置，并滿足《鐵路線路設計規范 TB10098-2017》《普速鐵路線路修理規則TG/GW102-2019》等規范，其中緩和曲線總長度應為10 m的整倍數，特殊困難地段整進至1 m，撥距最大限值30 mm。此外，約束條件還有為避免重要構筑物改建而引入的控制點。

2 自適應遺傳算法

遺傳算法是一種基于遺傳進化原理的隨機化搜索最優值方法，通過模擬物競天擇的自然法則，優秀個體的染色體有更高的概率保留并通過選擇、變異、交叉的遺傳學原理使種群中的下一代不斷進化。整個種群的適應度逐步提高，在朝預期方向進化過程中誕生最優個體。在解決撥距優化問題中使用保留最優個體和自適應交叉變異算子的改進策略，可克服種群早熟，以提高全局搜索能力。

2.1 選擇算子

保留父輩中最佳個體存放在子代個體矩陣第一行，其他子代個體采用比例選擇法加入矩陣，第i個個體被選中的概率為：

(12)

2.2 自適應的交叉、變異算子

種群保持多樣性是遺傳算法有效運行的前提條件，需要保持足夠多的不同個體和較高的變異概率，同時為了加快收斂速度，必須使種群盡快向最優方向靠攏，但又會降低種群的多樣性，自適應遺傳算法大多致力于解決此矛盾。其中自適應的交叉、變異算子作為一種簡便易行的方法，以最大適應值與平均適應值的差值作為判斷染色體早熟程度的標準。當差值較大時，種群保持了較好的多樣性，增大交叉概率Pc、減小變異概率Pm，以加快收斂速度；差值較小時，Pc減小Pm增大，有利于克服早熟現象[18]，可按式(13)、式(14)設置[19]。

(13)

(14)

2.3 適應值函數與優化步驟

基于自適應遺傳算法的坐標法撥距優化計算流程如下：

1)輸入外業測量坐標，進行坐標轉換。根據R、l0原設計值和規范要求設置上下界，在變量閾值范圍內等間隔生成一定的個體，進行種群初始化；

2)個體的曲線要素R和l0作為已知值，用其對新線路分段，再利用黃金分割法求取各測點撥距量與對應里程，最后累加撥距量;

3)計算個體的適應度，保留適應度最高的個體，其他子代個體采用比例選擇法選擇父代；

4)繁衍過程中使用自適應交叉、變異算子；

5)當目標函數最小值持續20代不再變化時停止進化，否則回到步驟(2)；

6)輸出優化結果。

3 實驗分析

3.1 仿真實驗

仿真實驗數據通過已知的曲線要素，等里程間隔生成多組無誤差的坐標作為撥距優化的原始數據，曲線優化前后對比見表1。在大量仿真實驗中，文中方法優化得到的緩和曲線長度l0與圓曲線半徑R和設計值相比其差值幾乎為零，計算精度優于0.1 mm，由此可見，文中采用的方法具有較高的計算精度。

表1 自適應遺傳算法優化仿真實驗結果

3.2 應用實例

選取文獻[10]中R為1 000 m，l0為40 m的曲線坐標作為工程實例1。實例2的數據來源于某鐵路隧道進口，通過測量二次襯砌的超量，內業計算得到里程間隔為5 m的一組鐵路左線坐標。選用文獻[20]中R為665 m，l0為50 m的數據作為實例3，文獻[21]中R為600 m，l0為50 m的數據作為實例4。

自適應遺傳算法參數設置為：種群規模200，擴大個體數量有利于克服過早收斂，但會增加計算時長。交叉概率為0.8，變異概率0.05，超過連續不進化代數20時停止。自適應遺傳算法優化實例一得到各測點撥后里程和撥距量，列出部分測點結果如表2所示。

表2 實例一 測點撥距量統計

由表2可知，黃金分割法求得的撥后里程與直接使用式(1)計算得到的里程有明顯差別。通過1號點的里程計算的遺傳算法優化后的切線長，比原設計切線小0.123 7 m，但測點12的里程比原里程大0.375 7 m，相差約0.252 m，同樣計算其他實例中里程最大的測點，相差分別為0.005 m、0.014 m、0.000 1 m，初始里程越粗略該差值越大，通過黃金分割法求取精確撥后里程能夠排除該誤差，從而提高優化精度。

在撥距優化的最優化方法中，無需二階導信息的擬牛頓法顯示出收斂快、精度高的特點[9]。使用Matlab優化工具箱中提供的擬牛頓法，用曲線要素原設計值進行初始化，迭代求得變量l0，選擇l0附近的兩個10的整倍數值作為已知值，再次計算得到目標函數最小值與變量R。

采用網格法、最優化方法、自適應遺傳算法3種方法對該4組實例中的曲線進行優化，變量設置相同的上下界，其中網格法設置緩和曲線步長10 m，圓曲線半徑步長0.1 m，統計4次結果如表3所示。

表3 撥距量總和統計 m

表3中，3種方法優化的變量值相差小于0.1 m，自適應遺傳算法的撥距總量在本實驗中皆為最小。

4 結 論

通過仿真實驗分析，驗證了基于自適應遺傳算法的撥距優化方法的適應性和精確性，又通過具體實例對網格法、擬牛頓法和自適應遺傳算法的優化結果進行了比較分析，最終得到以下結論：

1)提出的基于自適應遺傳算法的撥距優化方法具有較強的全局搜索能力，適應性強，優化結果精度優于0.1 mm。黃金分割法求得的撥后里程與直接使用切線增量計算得到的里程有明顯差別，通過黃金分割法能夠排除初始里程不精確帶來的誤差。

2)網格法通過對兩變量進行枚舉計算撥距量，其最優解的精度由步長決定，步長小于0.1 m時計算量大幅增加，效率低，不適用于較長的線路。擬牛頓法用初始變量值計算概略緩直點、緩圓點，對曲線各段進行粗略劃分，其各點里程未重新計算，通過迭代得到近似最優解，有一定的精度損失。

3)文中方法的兩個變量在并行計算中作為已知值，可處理各種運算，因此目標函數能夠靈活表達，顧及各種約束條件。該方法計算得到的撥距量總和小于另兩種方法，能求取變量的全局最優解，具有更高的精度，可為工程實踐提供良好的參考。