考慮靜差消除的混沌電力系統(tǒng)有限時(shí)間命令濾波反步控制

李靜賢， 王 聰， 張宏立， 張紹華

(新疆大學(xué) 電氣工程學(xué)院，烏魯木齊 830047)

大規(guī)模的電網(wǎng)互聯(lián)為電力生產(chǎn)和消費(fèi)帶來了巨大的便利，但是其高度復(fù)雜化的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以及大量非線性電氣設(shè)備的接入，會導(dǎo)致電力系統(tǒng)對參數(shù)擾動、時(shí)間延遲更為敏感[1]。電力系統(tǒng)本身是一個(gè)強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合性、多變量的動態(tài)系統(tǒng)，具有復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為，更容易引發(fā)整個(gè)電力系統(tǒng)的劇烈振蕩，甚至失穩(wěn)[2-4]。在實(shí)際電力系統(tǒng)中，混沌現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，導(dǎo)致相角發(fā)散、頻率振蕩和電壓崩潰，甚至?xí)?dǎo)致災(zāi)難性的停電[5-7]。因此，采取有效的控制策略對電力系統(tǒng)的混沌振蕩現(xiàn)象加以控制，對整個(gè)電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行具有重要意義。

近年來，針對電力系統(tǒng)的混沌振蕩現(xiàn)象，文獻(xiàn)主要集中于動力學(xué)行為分析和混沌控制策略研究。文獻(xiàn)[8]結(jié)合滑模控制原理，提出一種失配擾動觀測器的設(shè)計(jì)方法，有效緩解了電力系統(tǒng)混沌振蕩的問題，從而保證電力系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。文獻(xiàn)[9]針對六維三母線電力系統(tǒng)，基于李雅普諾夫自適應(yīng)算法，結(jié)合協(xié)同控制理論設(shè)計(jì)控制量，解決了電力系統(tǒng)混沌振蕩問題。文獻(xiàn)[10]基于LaSalle不變性原理，提出一種自適應(yīng)控制律，將不穩(wěn)定的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定到平衡點(diǎn)，從而控制電力系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了一種基于模糊監(jiān)督器的滑模控制律，使系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定，從而抑制系統(tǒng)混沌振蕩、消除控制信號顫動。文獻(xiàn)[12]針對受控電力系統(tǒng)，定義對應(yīng)的宏變量，設(shè)計(jì)具有連續(xù)控制律的協(xié)同控制輸入，從而有效抑制系統(tǒng)的振蕩。

以上方法針對電力系統(tǒng)的混沌振蕩都表現(xiàn)出較好的控制效果，但是控制量結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在實(shí)際工程中的實(shí)現(xiàn)較為困難。采用有限時(shí)間穩(wěn)定原理的控制策略設(shè)計(jì)更加符合實(shí)際工程需求，并且在電力系統(tǒng)混沌控制中的應(yīng)用較少[13]。文獻(xiàn)[14-16]分別針對參數(shù)不確定的永磁同步電機(jī)、處于振蕩狀態(tài)的機(jī)械臂以及串級連續(xù)攪拌反應(yīng)釜系統(tǒng)，采用模糊邏輯對未知的非線性函數(shù)進(jìn)行逼近，加入命令濾波器及誤差補(bǔ)償器對系統(tǒng)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，并證明了系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定。但上述方法是在系統(tǒng)正常運(yùn)行狀態(tài)下進(jìn)行跟蹤控制，未探討系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)下的控制效果，并且該控制方法僅采用比例反饋律，沒有考慮系統(tǒng)跟蹤控制過程中產(chǎn)生的靜態(tài)誤差問題。

本文基于以上研究，針對電力系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，提出一種考慮靜差消除的有限時(shí)間命令濾波反步控制方法。通過徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對電力系統(tǒng)中相互耦合的復(fù)雜未知非線性項(xiàng)進(jìn)行逼近，加入命令濾波器及誤差補(bǔ)償器，實(shí)現(xiàn)對虛擬控制量的求導(dǎo)及誤差補(bǔ)償；同時(shí)，考慮到跟蹤過程中的靜差問題，引入誤差積分反饋律，進(jìn)一步削弱控制量之間的耦合關(guān)系，并達(dá)到靜差消除的目的；最后，通過反步法得出電力系統(tǒng)的控制律，并推導(dǎo)出系統(tǒng)滿足有限時(shí)間穩(wěn)定，使系統(tǒng)輸出穩(wěn)定在期望的軌道上，從而間接實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)的混沌控制。理論推導(dǎo)與仿真試驗(yàn)證明，本文所提的控制方法能夠有效抑制電力系統(tǒng)的混沌振蕩現(xiàn)象，消除系統(tǒng)靜態(tài)誤差，保證了電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行。

1 三節(jié)點(diǎn)四階電力系統(tǒng)模型

本文將具有可變電壓幅度形式的電力系統(tǒng)作為研究對象，其系統(tǒng)模型如圖1所示[17-18]。

圖1 電力系統(tǒng)模型Fig.1 Power system model

系統(tǒng)由電機(jī)端和負(fù)荷端組成。其中，負(fù)荷模型包括并聯(lián)的恒定PQ負(fù)載和動態(tài)感應(yīng)電動機(jī)，感應(yīng)電機(jī)需要根據(jù)負(fù)載電壓和頻率來指定電動機(jī)的有功和無功功率要求。根據(jù)圖1構(gòu)建三節(jié)點(diǎn)四階電力系統(tǒng)的動力學(xué)模型

(1)

式中：δm為發(fā)電機(jī)電壓相角；ω為電機(jī)的角速度；δ為負(fù)載電壓相角；V為負(fù)載電壓；P0，Q0分別為電動機(jī)的恒定有功功率和無功功率；P1，Q1分別為PQ負(fù)荷的有功功率和無功功率；Kpω，Kpv，Kqω，Kqv，Kqv2，T為比例系數(shù)。M，dm和Pm分別為發(fā)電機(jī)的慣性、阻尼和機(jī)械功率；η表示為

η=arctan(Kqω/Kpω)

取系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 三節(jié)點(diǎn)四階電力系統(tǒng)參數(shù)表Tab.1 Three-node fourth-order power system parameter table

系統(tǒng)參數(shù)Q1取不同的值時(shí)，電力系統(tǒng)呈現(xiàn)出不同的動力學(xué)特性。當(dāng)Q1取值范圍為 [11.376 6,11.382 0]時(shí)，電力系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖2和圖3分別給出了Q1=11.379 0時(shí)電力系統(tǒng)的相軌跡和時(shí)間響應(yīng)曲線。圖2的相軌跡表現(xiàn)為：局部來看，系統(tǒng)背離平衡點(diǎn)，做無序的振蕩運(yùn)動，處于不穩(wěn)定狀態(tài)；全局上來看，系統(tǒng)的相軌跡局限于固定區(qū)域內(nèi)，沒有發(fā)散至無窮遠(yuǎn)處。圖3給出了電力系統(tǒng)輸出的時(shí)間響應(yīng)曲線，其輸出均在一定的范圍內(nèi)做無規(guī)律的振蕩運(yùn)動，并處于無序狀態(tài)。因此可以定性得出，電力系統(tǒng)處于混沌振蕩的運(yùn)行狀態(tài)。

圖2 電力系統(tǒng)相軌跡Fig.2 Power system phase trajectory

圖3 電力系統(tǒng)各輸出時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.3 Power system output time response curve

圖4給出了Q1=11.379 0時(shí)電力系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜，其輸出的最大Lyapunov指數(shù)分別為：0.243 01，-0.182 02，-5.277 90，-61.681 40，存在最大Lyapunov指數(shù)大于零的情況。因此可以定量得出，電力系統(tǒng)處于混沌振蕩的運(yùn)行狀態(tài)。

圖4 電力系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜Fig.4 Power system Lyapunov exponent spectrum

由以上分析可得，電力系統(tǒng)中出現(xiàn)混沌現(xiàn)象時(shí)，往往伴隨著系統(tǒng)的振蕩，甚至引發(fā)系統(tǒng)的裂解、崩潰，直接影響電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行。因此，采取適當(dāng)?shù)目刂撇呗砸种齐娏ο到y(tǒng)的混沌振蕩現(xiàn)象，對于電力系統(tǒng)的正常穩(wěn)定運(yùn)行具有重要的意義。

2 考慮靜差消除的混沌電力系統(tǒng)有限時(shí)間命令濾波反步控制

根據(jù)式(1)，取[δm，ω，δ，V]=[x1，x2，x3，x4]。發(fā)電機(jī)電壓相角δm與并網(wǎng)端電壓相角保持相對穩(wěn)定，對于保證發(fā)電機(jī)功率傳輸?shù)姆€(wěn)定性至關(guān)重要，一般通過控制發(fā)電機(jī)組角速度ω來實(shí)現(xiàn)發(fā)電機(jī)電壓相角δm的穩(wěn)定性，故將控制量作用在電機(jī)的角速度ω上，實(shí)現(xiàn)對發(fā)電機(jī)電壓相角δm的控制。同時(shí)，為了保證電力設(shè)備的供電安全，需要實(shí)現(xiàn)負(fù)載電壓相角δ的穩(wěn)定。在阻感性負(fù)載下，負(fù)荷將產(chǎn)生一定的無功功率，而過多的無功功率會造成電力系統(tǒng)電壓V的抬升，甚至越線，通常采用無功補(bǔ)償設(shè)備來實(shí)現(xiàn)對電力系統(tǒng)中無功能量的吸收及電壓V的調(diào)節(jié)。因此本文采用將控制量作用在負(fù)載電壓V上，從而達(dá)到對負(fù)載電壓相角δ的穩(wěn)定控制。綜合功率傳輸?shù)姆€(wěn)定性及電力設(shè)備的供電安全雙重因素，考慮在方程組的第二、第四項(xiàng)中分別加入控制量u1和u2，得到如下的受控電力系統(tǒng)模型

(2)

本文的控制目標(biāo)為：針對三節(jié)點(diǎn)四階電力系統(tǒng)，設(shè)計(jì)一種具有靜差消除的有限時(shí)間命令濾波反步控制策略，使得系統(tǒng)的輸出x1與x3能夠跟蹤上期望的軌跡xd1與xd2，讓系統(tǒng)的跟蹤誤差收斂至原點(diǎn)。

假設(shè)1f1(X)，f2(X)，f3(X)均為具體形式的連續(xù)未知函數(shù)，其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界。

在實(shí)際電力系統(tǒng)中，f1(X)，f2(X)，f3(X)均為以電力系統(tǒng)的4個(gè)狀態(tài)變量作為自變量，由常函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的有理運(yùn)算組合而成的初等函數(shù)，其一階導(dǎo)數(shù)均滿足連續(xù)的要求。同時(shí)電力系統(tǒng)的4個(gè)狀態(tài)變量均為歸一化的標(biāo)幺值，取值范圍均有界，有界函數(shù)的有理運(yùn)算仍為有界函數(shù)，因此，f1(X)，f2(X)，f3(X)的一階導(dǎo)數(shù)滿足有界性，其具體形式將在下文給出。

假設(shè)2 理想軌跡xd1，xd2連續(xù)、有界，其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)有界。

引理1 本文采用的二階命令濾波器，其定義為

(3)

引理2 萬能逼近定理：若f(X)為定義在緊密集Ω上的連續(xù)函數(shù)，則必定存在一個(gè)徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)WTS(X)，使f(X)=WTS(X) +ξ(X)成立。其中W=[w1,w2, …,wn]T為線性加權(quán)項(xiàng)，n為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)，S(X)=[p1(X),p2(X), …,pn(X)]T為徑向基函數(shù)向量。ξ(X)為逼近誤差，且滿足‖ξ(X)‖≤ε。其中第j個(gè)徑向基函數(shù)表示為

(4)

引理3 楊氏不等式：對于?(Φ,Ψ)∈R，有

(5)

成立。其中：(p-1)(q-1)=1，p>1，q>1；Θ>0。

引理4 有限時(shí)間理論：存在函數(shù)V(x)∈C2，χ1，χ2∈K∞，式(2)滿足

χ1(‖x‖)≤V(x)≤χ2(‖x‖),
LV(x)≤-μ1V(x)+μ2

(6)

則式(2)在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定。其中，μ1，μ2均大于零。

由于傳統(tǒng)的反步法會引入虛擬控制量的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，導(dǎo)致計(jì)算爆炸的問題[19-21]。本文引入命令濾波器，來逼近虛擬控制律以及其一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。因此定義系統(tǒng)的跟蹤誤差為

(7)

考慮到命令濾波器的加入會產(chǎn)生濾波誤差，使濾波器輸入輸出信號之間產(chǎn)生相位差，影響到系統(tǒng)跟蹤性能。因此本文引入誤差補(bǔ)償變量δi(i=1,2)來消除濾波誤差對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響。定義加入誤差補(bǔ)償后，系統(tǒng)的誤差子系統(tǒng)為

(8)

步驟1由上述定義的補(bǔ)償后誤差變量為

r1=e1-δ1

(9)

對式(9)求導(dǎo)可得

(10)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(11)

對其求導(dǎo)可得

(12)

設(shè)計(jì)虛擬控制率α1和誤差補(bǔ)償變量δ1的導(dǎo)數(shù)為

(13)

(14)

式中，k1，k11為參數(shù)，且滿足k1>0,k11>0。將式(13)和式(14)代入式(12)中得

(15)

步驟2由上述定義的第二個(gè)補(bǔ)償后的誤差變量為

r2=e2

(16)

對其進(jìn)行求導(dǎo)，可得

(17)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(18)

對其進(jìn)行求導(dǎo)可得

(19)

其中，

(20)

由于變量x1，x2，x3，x4為歸一化后的標(biāo)幺值，均為有界變量，由式(20)可知，f1(X)二階可導(dǎo)，則f1(X)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)且有界。

(21)

且有|ξ1|≤ε1。由引理3可知

(22)

則有

(23)

在這一步中，存在真實(shí)的控制律，設(shè)計(jì)控制律u1為

(24)

式中，k2為參數(shù)，且有k2>0。將式(24)代入式(23)得

(25)

步驟3設(shè)計(jì)x1與x2的Lyapunov函數(shù)為

(26)

對式(26)進(jìn)行求導(dǎo)，可得

(27)

步驟4由上述定義的第三個(gè)補(bǔ)償后的誤差變量為

r3=e3-δ2

(28)

對其進(jìn)行求導(dǎo)，可得

(29)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(30)

對其進(jìn)行求導(dǎo)，得到

(31)

其中，

(32)

由于變量x1，x2，x3，x4為歸一化后的標(biāo)幺值，均為有界變量，由式(32)可知，f2(X)二階可導(dǎo)，則f2(X)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)且有界。

(33)

且有|ξ2|≤ε2。由引理3可知

(34)

則有

(35)

在這一步中，設(shè)計(jì)虛擬控制率α2以及誤差補(bǔ)償變量δ2的導(dǎo)數(shù)為

(36)

(37)

式中，k3，k22為參數(shù)，且滿足k3>0,k22>0。將式(36)和式(37)代入式(35)得

(38)

步驟5上述定義的第4個(gè)補(bǔ)償后的誤差變量為

r4=e4

(39)

對其進(jìn)行求導(dǎo)，可得

(40)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(41)

對其進(jìn)行求導(dǎo)，得到

(42)

其中，

(43)

由于變量x1，x2，x3，x4為歸一化后的標(biāo)幺值，均為有界變量，由式(43)可知，f3(X)二階可導(dǎo)，則f3(X)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)且有界。

(44)

且有|ξ3|≤ε3。由引理3可知

(45)

將式(45)代入式(42)則有

(46)

在這一步中，設(shè)計(jì)真實(shí)的控制率u2為

(47)

將式(47)代入式(46)得

(48)

步驟6設(shè)計(jì)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(49)

對式(49)進(jìn)行求導(dǎo)，可得

(50)

3 穩(wěn)定性證明

設(shè)計(jì)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(51)

在上述控制律的作用下，可求得Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

(52)

系統(tǒng)滿足

(53)

其中，

μ1=min{2k1,2k2,2k3,2k4}

(54)

(55)

由引理4可知，式(2)在有限時(shí)間內(nèi)收斂至原點(diǎn)。

由于電力系統(tǒng)狀態(tài)變量之間存在復(fù)雜、非線性的耦合關(guān)系，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)選取在特定范圍時(shí)，狀態(tài)變量呈現(xiàn)振蕩且無序的變化狀態(tài)，導(dǎo)致電力系統(tǒng)不能穩(wěn)定運(yùn)行。本文考慮加入外界控制量來打破混沌狀態(tài)，使電力系統(tǒng)脫離混沌，正常運(yùn)行。由以上分析可知，在上述控制律的作用下，混沌電力系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤期望的穩(wěn)定軌道，從而脫離混沌狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)的混沌控制。

4 仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)方法的有效性，搭建三節(jié)點(diǎn)四階電力系統(tǒng)動力學(xué)模型，設(shè)計(jì)如上文所推導(dǎo)的控制律，對本文的方法進(jìn)行驗(yàn)證。

選取系統(tǒng)參數(shù)見表1，同時(shí)選取命令濾波器的參數(shù)為：ξ=0.5，ωn=200。選取控制量的參數(shù)為：k1=100，k2=10，k3=100，k4=10，k11=300，k22=300，h1=1，h2=0.6，h3=0.6。選取系統(tǒng)的跟蹤信號為：xd1=0.02，xd2=0.002cos(20t)+0.12。

采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對電力系統(tǒng)中的三個(gè)未知非線性函數(shù)f1(X)，f2(X)，f3(X)進(jìn)行逼近，考慮到逼近時(shí)徑向基神經(jīng)元的個(gè)數(shù)與函數(shù)的復(fù)雜程度不同，最終其擬合效果如圖5所示。

圖5 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近f1，f2，f3Fig.5 RBF neural network approximates f1, f2, f3

由圖5可以得出，采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以很好得逼近復(fù)雜的非線性函數(shù)，其擬合程度較高，其中f1(X)的逼近誤差最大值約為±0.02，f2(X)的逼近誤差最大值約為±0.015，f3(X)的逼近誤差最大值約為±0.016，擬合誤差較小，可見采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近方法可以較為精確地還原電力系統(tǒng)中連續(xù)未知函數(shù)的輸入輸出特性，為實(shí)現(xiàn)混沌電力系統(tǒng)的精確控制提供了基礎(chǔ)。

對文中設(shè)計(jì)的兩個(gè)虛擬控制信號分別加入命令濾波器及誤差補(bǔ)償器。圖6和圖7分別給出了加入誤差補(bǔ)償器前后命令濾波器1、2的輸出誤差情況，命令濾波器的輸入為虛擬控制信號，其輸出為虛擬控制信號的濾波和導(dǎo)數(shù)。由于虛擬控制信號包含檢測噪聲，采用命令濾波器可以實(shí)現(xiàn)對高頻噪聲的濾除，但會造成虛擬控制信號在幅值和相位上的失真，采用誤差補(bǔ)償器對信號進(jìn)行補(bǔ)償，更精確的還原虛擬控制信號及其導(dǎo)數(shù)，增加濾波及求導(dǎo)的可靠性。從圖6可以得出，命令濾波器1在未加入補(bǔ)償之前，濾波誤差最大值約為0.04，加入補(bǔ)償變量δ1之后，虛擬控制信號在幅值和相位上的失真進(jìn)一步減少，濾波誤差得到了有效抑制，基本為零；從圖7可以得出，命令濾波器2在未加入補(bǔ)償之前，濾波誤差最大值約為0.015，加入補(bǔ)償變量δ2之后，濾波誤差幅值進(jìn)一步減少，誤差曲線更為平滑。可見加入誤差補(bǔ)償器能夠有效抑制濾波誤差，提高控制量的精確性，從而達(dá)到更好的混沌電力系統(tǒng)控制效果。

圖6 命令濾波器1誤差補(bǔ)償效果對比Fig.6 Command filter 1 error compensation effect comparison

圖7 命令濾波器2誤差補(bǔ)償效果對比Fig.7 Command filter 2 error compensation effect comparison

圖8給出了δm，ω，δ，V的初始值分別為0.3，0，0.2，0.97時(shí)的電力系統(tǒng)零輸入時(shí)間響應(yīng)曲線，電力系統(tǒng)的電機(jī)電壓相角、電機(jī)的角速度、負(fù)載電壓相角、為、負(fù)載電壓都呈現(xiàn)為往復(fù)的振蕩、發(fā)散狀態(tài)，混沌且無序。可見在未對電力系統(tǒng)施加有效控制時(shí)，電機(jī)電壓相角、電機(jī)的角速度、負(fù)載電壓相角和負(fù)載電壓之間存在深度耦合關(guān)系，無法自主脫離混沌狀態(tài)，處于不穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)，極易導(dǎo)致電力系統(tǒng)崩潰。

圖8 零輸入時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.8 Zero input time response curve

圖9給出了電力系統(tǒng)加入控制量前后的時(shí)間響應(yīng)曲線。在電力系統(tǒng)進(jìn)入混沌振蕩后的20 s處加入控制量u1，在25 s處加入控制量u2。在加入控制量前，各個(gè)狀態(tài)變量處于混沌狀態(tài)，在控制量u1加入后，系統(tǒng)馬上脫離了混沌狀態(tài)，振蕩現(xiàn)象得到了有效抑制，加入控制量u2之后，電力系統(tǒng)仍然處于穩(wěn)定狀態(tài)。可見采用考慮靜差消除的有限時(shí)間命令濾波反步控制方法，能快速的讓電力系統(tǒng)脫離混沌振蕩狀態(tài)，保證了電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行。

圖9 加入控制量系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.9 Add the time response curve of the control quantity system

圖10和圖11分別給出了加入誤差積分反饋律前后的電機(jī)電壓相角δm跟蹤效果。加入誤差積分反饋律，本質(zhì)是對誤差系統(tǒng)進(jìn)行升階，引入誤差積分項(xiàng)，當(dāng)誤差系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，誤差積分項(xiàng)存在靜態(tài)誤差，而誤差項(xiàng)不存在靜態(tài)誤差，因此可以消除混沌系統(tǒng)控制過程中的靜態(tài)誤差。圖10和圖11可以得出，未加入控制量時(shí)，發(fā)電機(jī)電壓相角處于混沌振蕩的狀態(tài)；在20 s處加入控制量u1，電機(jī)電壓相角迅速響應(yīng)，電力系統(tǒng)脫離混沌，并與跟蹤信號xd1達(dá)到同步，由圖10和圖11的局部放大圖可以得出，未加入誤差積分反饋律前，電機(jī)電壓相角不能實(shí)現(xiàn)完全跟蹤，存在靜態(tài)誤差，加入誤差積分反饋律后，系統(tǒng)在積分作用下實(shí)現(xiàn)了靜態(tài)誤差的消除，和跟蹤信號完全重合；在25 s處加入控制量u2，因控制量u2的跟蹤信號為頻率信號，和電機(jī)電壓相角之間存在狀態(tài)反饋關(guān)系，造成了電機(jī)電壓相角的微小振蕩，但其均值仍然服從跟蹤信號xd1。從以上分析可以得出，采用考慮靜差消除的有限時(shí)間命令濾波反步控制方法可以解決傳統(tǒng)控制方法存在的穩(wěn)態(tài)誤差問題，進(jìn)一步提高了混沌電力系統(tǒng)控制的精確性。

圖10 未加誤差積分反饋律δm的控制曲線Fig.10 Control curve of δm without error integral feedback law

圖11 加入誤差積分反饋律δm的控制曲線Fig.11 Control curve of δm with error integral feedback law

圖12和13分別給出了加入誤差積分反饋律前后的電機(jī)電壓相角δm的跟蹤誤差，未加入誤差積分反饋律前，電機(jī)電壓相角的跟蹤誤差穩(wěn)定在0.000 27處，沒有實(shí)現(xiàn)完全跟蹤，并且受到控制信號u2的影響較大，呈正弦波動狀態(tài)；加誤差積分反饋律后，跟蹤誤差穩(wěn)定在0處，實(shí)現(xiàn)完全跟蹤，并且對u2引起的正弦擾動具有一定的抑制效果，未加入誤差積分反饋律時(shí)，其幅值為0.000 02左右，加入誤差積分反饋律后，幅值基本為0，進(jìn)一步削弱了電力系統(tǒng)控制量u1和u2之間的耦合關(guān)系。通過以上兩個(gè)誤差圖可以更加直觀地得出，加入誤差積分反饋律能夠有效消除控制過程中產(chǎn)生的靜態(tài)誤差，進(jìn)一步抑制不同控制變量的耦合對控制效果的影響，可以有效提升混沌電力系統(tǒng)的控制效果。

圖12 未加誤差積分反饋律δm的跟蹤誤差Fig.12 Tracking error of δm without error integral feedback law

圖13 加入誤差積分反饋律δm的跟蹤誤差Fig.13 Tracking error of δm with error integral feedback law

圖14和圖15給出了加入誤差積分反饋律前后負(fù)載電壓相角δ的跟蹤效果。由圖14和圖15可以得出，在20 s處加入控制量u1，負(fù)載電壓相角的混沌狀態(tài)得到了抑制，穩(wěn)定為常數(shù)，在25 s處加入控制量u2，負(fù)載電壓相角迅速與跟蹤信號xd2達(dá)到同步。未加誤差積分反饋律前，負(fù)載電壓相角與跟蹤信號之間存在直流偏移，具有較為明顯的幅值和相位跟蹤誤差；而加入誤差積分反饋律后，跟蹤誤差隨積分的作用逐漸減少，跟蹤過程中的幅值和相位偏移得到有效消除，達(dá)到了更好的控制效果。從以上分析可以得出，采用考慮靜差消除的有限時(shí)間命令濾波反步控制方法可以解決傳統(tǒng)控制方法在跟蹤頻率信號幅值和相位上的不足，達(dá)到更好的混沌電力系統(tǒng)控制效果。

圖14 未加誤差積分反饋律δ的控制曲線Fig.14 Control curve of δ without error integral feedback law

圖15 加入誤差積分反饋律δ的控制曲線Fig.15 Control curve of δ with error integral feedback law

圖16和圖17給出了加入誤差積分反饋律前后負(fù)載電壓相角δ的跟蹤誤差曲線，在25 s處加入控制量u2，兩者的跟蹤誤差都向零快速收斂。加入誤差積分反饋律前，負(fù)載電壓相角的跟蹤誤差最終保持-0.005左右，并存在明顯的正弦擾動，不能很好的跟蹤頻率信號；加入誤差積分反饋律后，因積分作用，跟蹤誤差快速收斂到零，并且正弦擾動也得到了有效抑制，具有更好的頻率跟蹤控制效果。從以上兩個(gè)誤差圖可以清晰得出，加入誤差積分反饋律能有效消除頻率信號跟蹤時(shí)存在的直流偏移，抑制了跟蹤誤差的波動性，進(jìn)一步提高混沌電力系統(tǒng)控制的可靠性。

圖16 未加誤差積分反饋律δ的跟蹤誤差Fig.16 Tracking error of δ without error integral feedback law

圖17 加入誤差積分反饋律δ的跟蹤誤差Fig.17 Tracking error of δ with error integral feedback law

5 結(jié) 論

本文以三節(jié)點(diǎn)四階電力系統(tǒng)作為研究對象，揭示了電力系統(tǒng)的混沌振蕩現(xiàn)象。為抑制該現(xiàn)象的發(fā)生并消除控制過程中存在的跟蹤誤差，提出一種靜差消除的混沌電力系統(tǒng)有限時(shí)間命令濾波反步控制方法，給出了詳細(xì)的公式推導(dǎo)和設(shè)計(jì)步驟，并證明其能在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤期望軌道，使系統(tǒng)脫離混沌，間接實(shí)現(xiàn)了電力系統(tǒng)的混沌控制。仿真試驗(yàn)表明，采用有限時(shí)間命令濾波反步控制，電力系統(tǒng)的電機(jī)電壓相角δm和負(fù)載電壓相角δ能夠快速地跟蹤給定信號，讓電力系統(tǒng)脫離混沌狀態(tài)；加入誤差積分反饋律進(jìn)一步削弱了不同控制量之間的耦合影響程度，解決了該控制方法無法消除靜態(tài)誤差的問題，使電力系統(tǒng)電機(jī)電壓相角和負(fù)載電壓相角的跟蹤誤差分別由0.000 27和0.005收斂至0左右；將控制量u2引起的正弦擾動從幅值為0.000 02收斂至0左右。該控制方法能夠有效抑制電力系統(tǒng)的混沌振蕩現(xiàn)象，保證了電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行。