基于模塊化貝葉斯推理的隨機非線性模型修正

王未寅， 王佐才,2， 辛 宇,3， 丁雅杰

(1. 合肥工業大學 土木與水利工程學院，合肥 230009; 2. 合肥工業大學 安全關鍵工業測控技術教育部工程研究中心，合肥 230009; 3. 合肥工業大學 安徽省基礎設施安全檢測與監測工程實驗室，合肥 230009)

工程結構在遭遇臺風、地震等極端荷載時，往往會呈現出較強的非線性特征，例如： 由材料特性引起的材料非線性、結構大變形引起的幾何非線性以及結構邊界非線性等，給工程結構的安全服役帶來巨大的隱患。因此，研究結構在強荷載作用下的非線性行為，并對結構的非線性模型進行修正，不僅有助于對結構的安全狀態進行準確評估，同時還可以預測結構在下一次強荷載作用下結構響應，為結構的安全預警及提前加固提供重要指導。

在結構進行非線性模型修正時，不可避免的會受到測量噪聲、模型誤差、有限元建模單元離散化等多種不確定性因素的影響，導致非線性模型修正的結果通常也具有不確定性。而傳統的基于確定性的模型修正方法作為表征真實結構的一個特例，雖然可以根據一組試驗數據準確地對非線性模型進行修正，但當預測結構在不同狀態下的行為時，往往會產生較大誤差。因此，結合統計學理論，考慮到不確定性因素對模型修正的影響，一些學者[1-8]提出了隨機非線性模型修正方法，將非線性模型修正的結果以概率分布與置信區間的形式給出。其中，貝葉斯方法因其嚴謹的推理過程，在隨機非線性模型修正中得到了廣泛應用。例如， Xin等[9]利用非線性結構在地震荷載作用下的主分量瞬時幅值作為輸入構建似然函數，結合最大似然估計和Cramér-Rao邊界理論實現對非線性結構模型參數的修正，并量化由于測量誤差引起的修正結果的不確定性。萬華平等[10]采用貝葉斯方法實現隨機模型修正，并將高斯過程模型與基于延緩拒絕自適應的隨機采樣(delayed-rejection adaptive metropolis-hastings，DRAM)算法相結合用于加快求解待修正參數的后驗概率密度函數，并量化了由于測量誤差引起的修正結果不確定性。劉綱等[11-12]在標準MCMC方法的基礎上，引入了差分進化算法，通過多條馬爾可夫鏈之間的隨機差分運算來自適應選擇條件分布以快速逼近目標分布，大大提高了采樣效率，并對由測量噪聲引起的修正結果不確定性進行量化。

測量誤差和模型誤差是引起模型修正結果不確定性的兩個主要因素，然而，在基于貝葉斯推理的非線性模型修正研究中，測量誤差通常被假設為是引起模型修正結果不確定性的主要原因。為了考慮模型誤差對非線性模型修正結果的影響，部分學者對模型誤差條件下，隨機非線性模型修正結果的有效性進行研究。例如，Song等[13]利用非線性模態參數作為輸入構建貝葉斯推理方法的似然函數，利用隨機抽樣算法對一根單梁試驗結構非線性邊界參數的后驗概率分布樣本進行估計，并初步探討了模型誤差對非線性模型修正結果的影響。

然而，上述研究均是對單一誤差來源引起的不確定性進行分析，但當測量誤差和模型誤差同時存在時，如何開展隨機非線性模型修正問題，是本文要研究的重要內容。因此，為了綜合考慮多種不確定性因素對非線性模型修正結果的影響，本文提出一種基于模塊化貝葉斯推理的隨機非線性模型修正方法，該方法利用模塊化的思想，將非線性結構的隨機模型修正分為3個相互獨立的模塊。首先建立能夠準確表征非線性結構模型動力響應的高斯過程替代模型作為模塊一；其次為了盡可能準確的建立模型誤差的高斯過程模型，先假設結構僅存在測量誤差，通過過渡馬爾可夫鏈蒙特卡羅(transitional Markov Chain Monte Carlo, TMCMC)[14]隨機采樣方法獲得非線性模型待修正參數的后驗概率分布樣本，并將獲得的后驗樣本均值看作非線性模型待修正參數的真實值，進一步構建非線性模型與實測結構關于動力響應瞬時加速度幅值的誤差函數；然后，將引起模型誤差的設計變量作為輸入，誤差函數作為輸出，建立包含模型誤差的高斯過程模型作為模塊二；最后，結合模塊一與模塊二，利用TMCMC隨機采樣方法，將獲得非線性模型待修正參數最終后驗樣本的過程看作模塊三。為了驗證該方法的可行性和有效性，本文對地震激勵作用下的三跨連續梁橋進行數值研究，并對不同噪聲水平、不同程度模型誤差條件下的非線性模型修正結果進行研究。

1 隨機非線性模型修正理論分析

1.1 非線性結構隨機模型誤差函數

對于非線性模型，假設模型在外部激勵作用下的輸出表示為

ym=ym(x,θ)

(1)

式中：x=[x1,x2,…,xd]為模型的設計變量，d為設計變量個數，x通常指在試驗過程中根據先驗信息設置的變量，或稱為系統變量[15]，例如，外部荷載激勵、初始條件或模型的邊界條件等；θ=[θ1,θ2,…,θr]為非線性模型的待修正參數，r為待修正參數個數，θ通常為試驗時未知或者無法直接觀測的非線性結構模型參數；ym為非線性模型響應的模擬結果。由于在非線性建模過程中，不可避免的存在模型簡化或假設等問題，因此，即使獲得了非線性模型的最優參數，但模型的預測結果與結構真實響應之間仍存在差異。這種誤差可以用δ(x)表示，即為模型誤差。因此，結構實測響應與非線性模型預測結果之間可通過式(2)表示

ye(x)=ym(x,θ*)+δ(x)+ε

(2)

式中：ye(x)為結構的實測響應；ym(x,θ)為有限元模擬結果，它是由設計變量x與模型參數θ共同決定的，θ*為待修正參數真實值；模型誤差δ(x)則僅由設計變量x決定；ε為測量誤差，通常假設為服從均值為零的高斯分布，即ε～N(0,Σexp)，其中Σexp為試驗觀測值的誤差協方差矩陣。等式(2)被稱為模型修正方程[16]，是進行非線性結構隨機模型修正的基礎，后續章節將進一步結合貝葉斯推理方法，對模型誤差和測量誤差同時存在條件下的非線性模型進行修正。

1.2 基于模塊化貝葉斯推理的隨機非線性模型修正

基于貝葉斯推理的隨機非線性模型修正采用正向計算模型的方式解決了梯度計算困難、病態、非唯一解等諸多復雜逆不確定性量化難題。與傳統的經典統計學相比，由于它同時結合了待修正參數的先驗信息與實測信息，因此它給出更具可信度的參數后驗概率密度函數，在隨機非線性模型修正中被廣泛使用。其理論公式為

(3)

式中：p(ye|θ)為給定參數θ時，結構實測響應ye發生的條件概率密度函數，也稱作似然函數；p(θ)為待修正參數θ的先驗分布，它反映待修正參數的先驗信息，本文采用無信息先驗分布的貝葉斯假設作為先驗分布；c為一個與待修正參數無關的常數，起正則化作用；p(θ|ye)為待修參數的后驗概率密度函數。

基于模塊化貝葉斯推理的隨機非線性模型修正方法則是在貝葉斯推理的基礎上將整個模型修正過程分成非線性結構系統高斯過程替代模型、模型誤差高斯過程模型與待修正參數后驗采樣計算3個相互獨立的模塊。在進行采樣計算時，結合模型誤差高斯過程模型與測量誤差構建似然函數，解決了傳統隨機非線性模型修正中模型誤差與測量誤差難以同時考慮的問題，基于模塊化貝葉斯推理的隨機非線性模型修正方法具體的操作流程，如圖1所示。

圖1 基于模塊化貝葉斯推理的隨機非線性模型修正流程圖Fig.1 Stochastic nonlinear model updating flow chart based on Modular Bayesian inference

1.2.1 非線性結構系統的高斯過程模型(模塊一)

高斯過程模型是基于貝葉斯理論構建的，它采用高斯先驗定義模型輸出，通過對訓練樣本的最大似然估計得到預測樣本的后驗高斯分布。它除了具有計算效率快、擬合精度高等諸多優點外，還可以對預測值的不確定性進行估計，因此被廣泛應用于高維、強非線性等復雜有限元結構的替代模型選擇。為了提高后續采樣計算效率，全面考慮模型修正過程中的多種不確定性因素影響，本文采用高斯過程模型構建非線性結構系統的替代模型，其具體建立方法如下所示：

首先，根據計算機試驗設計方法，生成關于設計變量x與待修正參數θ的訓練樣本點，并計算非線性模型在相應訓練樣本點下的結構動力響應瞬時加速度幅值：然后，將設計變量x與待修正參數θ作為輸入，將相應的結構動力響應瞬時加速度幅值作為輸出，構建非線性模型的高斯過程替代模型，并驗證替代模型的擬合精度。將非線性系統結構的高斯過程模型看作模塊一。

1.2.2 模型誤差的高斯過程模型(模塊二)

模型誤差δ(x)是導致非線性模型修正結果不確定性的重要原因之一，但由于模型誤差無法直接觀測，通常又與其他誤差混淆。因此，如何量化模型誤差對修正結果的影響是隨機非線性模型修正研究的一項重要內容。在傳統的隨機非線性模型修正中，通常不考慮模型誤差的影響，或將模型誤差直接放在參數的不確定性中。但當模型跟真實結構之間存在較大模型誤差時，一方面可能會導致修正后的模型參數失去物理意義，同時，當較大的模型誤差存在時，即使修正后的模型能夠對當前狀態下的結構響應進行準確預測，但不能準確地預測結構在下一次激勵作用下的動力響應，從而導致非線性模型修正的結果失去應用價值。

由于模型誤差是非線性結構真實響應與計算模型在待修正參數真實值條件下輸出響應之間的差值，因此只有首先確定待修正參數的“真實值”θ*才能準確構建模型誤差的高斯過程模型，但在實際試驗時，結構待修正參數的真實值θ*往往未知。目前常見的解決方法是直接將待修正參數的先驗均值θprior當作待修正參數的真實值θ*，并分別將設計變量x作為輸入，將ye(x)-ym(x,θprior)作為輸出構建模型誤差的高斯過程模型[17-18]。但當工程師根據經驗設置的非線性參數先驗均值與參數真實值相差較大時，模型誤差的高斯過程模型建模則失去意義。為了盡可能準確的建立模型誤差的高斯過程模型[19]，本文采用如下建模方法：

首先假設非線性模型與真實結構之間僅存在測量誤差，則等式(2)可以簡化成

ye(x)=ym(x,θ*)+ε

(4)

1.2.3 待修正參數后驗概率密度函數求解(模塊三)

由模塊一與模塊二高斯過程模型可知ym(x,θ)與δ(x)均服從高斯分布，測量噪聲通常假設為服從零均值的高斯分布，結合式(2)可知ye(x)將服從均值為ym+δ，方差為Σ的多維高斯分布，待修正參數θ的后驗概率密度函數可表示為

(5)

式中：Σ為似然函數的協方差矩陣，其中包含多種不確定性誤差作用；Σexp為由測量噪聲等引起的測量誤差協方差矩陣；Σbias為模型誤差高斯過程模型的協方差矩陣；Σcode為替代模型擬合精度的誤差協方差矩陣；Σcode與Σbias分別由模塊一和模塊二的高斯過程替代模型得到。

由于采用貝葉斯方法的待修正參數后驗概率密度形式較為復雜，且當參數維度較高時，其解析解難以通過積分求解。因此，通常利用馬爾可夫鏈蒙特卡羅采樣方法獲得非線性模型待修正參數θ的后驗概率分布函數。但傳統的標準MH采樣算法在采取高維參數時，容易出現采樣“停滯”的現象，待修參數收斂較慢，甚至無法收斂。而TMCMC隨機采樣方法通過在參數先驗分布與后驗分布之間加入一系列“中間分布”，解決了直接根據后驗概率分布采樣困難的問題。

TMCMC算法雖然通過加入一系列中間分布解決了直接根據后驗采樣困難的問題，但仍存在計算量大的缺點，每組待修正參數后驗樣本的迭代均需調用有限元模型進行結構動力分析，當參數維度較高時，待修正參數先驗與后驗之間往往會過渡多個中間分布，而每一個中間分布均需要采取相應數量的樣本，因而計算任務十分巨大。為了實現后驗概率密度函數的快速計算，模塊三結合了模塊一和模塊二的高斯過程模型，利用數值模型替代有限元模型進行非線性結構動力響應預測，從而大幅提高后驗樣本的計算效率。

2 數值驗證

2.1 三跨連續梁橋非線性模型建立

為了驗證本文所提非線性結構隨機模型修正方法的可行性和有效性，利用Opensees有限元分析軟件對地震激作用下的三跨連續梁橋進行數值研究，建立的橋梁結構模型如圖2所示，橋梁總體跨徑布置為3×30 m，橋墩高度為10 m。主梁結構采用線彈性梁柱單元進行模擬，橋墩采用基于纖維截面的非線性梁柱單元定義。橋墩的混凝土材料采用Concrete 02進行定義，鋼筋采用Steel 02材料進行模擬，兩類材料的本構模型分別如圖3和圖4所示，通過設置不同的非線性材料參數實現對結構非線性特征的模擬。其中，為了模擬主梁支座在地震作用下的邊界非線性效應，主梁支座采用具有剪切非線性特征的支座單元進行模擬，支座單元的彈塑性特征如圖5所示。圖5中：k0為非線性支座的剪切剛度；α1與α2分別為支座單元線性與非線性硬化組件的屈服剛度比；μ為非線性硬化指標。

圖2 三跨連續梁橋非線性模型Fig.2 Nonlinear model of three-span continuous beam bridge

圖3 Concrete 02 材料Fig.3 Concrete 02 material

圖4 Steel 02材料Fig.4 Steel 02 material

圖5 非線性支座單元Fig.5 Nonlinear bearing element

針對該橋梁結構的非線性參數，如非線性材料本構參數、非線性邊界參數等，首先利用靈敏度分析方法[20]，選取對結構動力響應較為靈敏的7個非線性參數作為待修正參數。選取的非線性模型待修正參數主要包括：鋼筋的屈服強度fy、初始彈性模量Es和應變硬化比b；混凝土的抗壓強度fc、峰值壓應變εmax；非線性支座的剪切剛度k0以及特征強度Qd，非線性待修正參數的理論值如表1所示。考慮到邊界條件相對于材料參數具有更高的不確定性，因此，本研究將支座單元的非線性硬化指標μ作為模型的設計變量，用來定義橋梁結構的模型誤差。本文取μ理論值為2。然而，對于復雜的土木工程結構，引起模型誤差的因素有很多，如模型簡化、節點等效、非線性材料本構假設等，往往需要選擇更多的設計變量表征模型誤差?？紤]到本文的主要目的是為了驗證方法的可行性和有效性，因此，本算例僅選取支座單元的非線性參數μ作為模型誤差來源；在進行橋梁結構的非線性動力響應計算時，選擇的外部激勵為1940年的El Centro地震波，持續時間為30 s，采樣頻率為50 Hz，地震激勵如圖6所示。利用Newmark-β積分算法對結構在地震荷載激勵作用下的加速度響應進行計算，加速度傳感器S1～S4布置圖見圖2。

圖6 地震荷載Fig.6 The seismic loads

表1 非線性待修正參數理論值Tab.1 Theoretical values of the candidate nonlinear parameters

2.2 基于模塊化貝葉斯推理的橋梁結構隨機非線性模型修正

在進行橋梁結構的隨機非線性模型修正時，將2.1節中所述的7個非線性參數作為非線性模型的待修正參數。其中為了同時考慮模型不確定性與測量不確定性對修正結果的影響。本文先使用Sobol序列采樣方法在設計變量μ理論值上下10%范圍內產生100組試驗輸入樣本，計算結構在相應設計變量與非線性參數名義值組合下的結構動力響應。另外在響應中添加5%的隨機高斯白噪聲，模擬實測動力響應數據。然后，利用離散解析模態分解和希爾伯特變換對結構的動力響應進行分解，提取動力響應主分量的瞬時加速度幅值，并從其中選取300個局部峰值點作為非線性指標。其中，傳感器S2記錄的加速度響應的瞬時幅值識別結果，如圖 7所示?；谀K化貝葉斯推理的三跨連續梁橋的隨機非線性模型修正過程如下：

圖7 中跨跨中動力響應主分量瞬時加速度幅值Fig.7 Instantaneous amplitude of the acceleration response in mid-span

2.2.1 構建地震荷載作用下，三跨連續梁橋的高斯過程替代模型(模塊一)

訓練數據樣本點的選取對高斯過程模型的構建至關重要，經典的試驗設計方法(design of experiment,DOE)譬如均勻設計法、中心復合設計法等被廣泛用于多項式響應面模型的構建。但這些經典的試驗設計方法受限于試驗成本與環境等因素有一個共同的特點，即試驗點位于參數空間的邊緣和中心，無法覆蓋整個參數空間。而本文所涉及的試驗為計算機試驗，即通過計算機模擬物理系統輸入輸出關系的試驗，不受試驗環境和條件等因素的限制。作為常用空間充滿采樣方法之一，Sobol序列在所有維度上均以素數2為基，使得樣本不僅在高維上具有較高的均勻性，而且便于利用點位運算，大大提高了計算機計算效率[21]。因此，本文選用Sobol序列采樣方法進行試驗設計。

通過Sobol序列采樣方法在參數理論值上下20%范圍內生成1 000組參數樣本，其中參數包含上述一個設計變量μ及7個待修正參數θ，利用Opensees有限元模型計算結構相應的動力響應瞬時加速度幅值。分別將設計變量μ與非線性待修正參數θ作為輸入，將相應目標響應瞬時加速度幅值作為輸出，構建Opensees非線性模型的高斯過程替代模型。使用留一交叉驗證方法驗證替代模型的預測精度，以第2 s處中跨跨中的結構動力響應瞬時加速度幅值為例，其交叉驗證殘差的正態分位圖如圖8所示。由圖8可知，交叉驗證殘差的正態分位圖趨向于一條直線，殘差的正態特性較好，所建立的高斯過程模型可以準確地預測結構動力響應瞬時加速度幅值。

圖8 模塊一殘差正態分位圖Fig.8 Normal quantile-quantile of module 1

2.2.2 構建非線性三跨連續梁橋模型誤差的高斯過程模型 (模塊二)

模塊二中模型誤差的高斯過程模型建立方法如1.2.2節所示。即先假設模型不存在模型誤差，利用TMCMC隨機采樣方法獲得非線性待修正參數θ的后

圖9 模塊二殘差正態分位圖Fig.9 Normal quantile-quantile of module 2

2.2.3 待修正非線性結構模型參數后驗概率密度函數計算(模塊三)

模塊一與模塊二建立后，再結合兩模塊，根據模型修正方程與式(5)在模塊三中通過TMCMC隨機采樣方法，采取待修正參數θ的1 000組后驗分布樣本，其樣本直方圖如圖10所示。由圖10可知，非線性待修正參數的TMCMC隨機抽樣樣本基本符合正態分布樣本特征，可以根據中心極限定理估計出待修正參數的均值與方差等數字特征。

圖10 非線性參數TMCMC采樣樣本分布直方圖Fig.10 Histogram of sample distribution of TMCMC samples for the nonlinear parameters

在數值模擬過程中，采用的計算機CPU為Intel(R) Core(TM) i5-8500(3.0 GHz)，內存配置為8 GB，整個模型修正過程需要進行兩次TMCMC采樣，每次TMCMC采樣至少包含16個過渡階段，每階段采樣1 000次，完成整個模型修正共耗時約2.39 h。若不采用高斯過程替代模型，直接使用非線性有限元模型進行采樣，進行一次采樣所需時間約為26 s，完成整個模型修正過程預計耗時約231.11 h；此外，為了提高待修正參數的估計精度，本研究分別利用TMCMC算法與MH算法進行待修正參數的后驗采樣，計算結果如表2所示。為了能直觀反映非線性參數的修正誤差，對本文待修正參數均進行歸一化處理。

表2 5%噪聲水平下非線性模型修正結果Tab.2 The nonlinear model updating results under 5% noise level

由表2可知，利用TMCMC算法的非線性參數估計結果具有更高的精度，且參數誤差均低于5%；然而，基于MH采樣算法的最大估計誤差為14.423%，遠低于TMCMC的采樣精度。因此結合高斯替代模型與TMCMC算法進行非線性模型修正，能夠有效地增強計算效率，并提高修正精度。利用后驗樣本均值來估計非線性模型待修正參數，并代入Opensees進行計算，得到結構的加速度響應與真實響應對比，如圖11和圖12所示。修正后的節點加速度響應與真實值響應吻合較好。為了能直觀的量化修正前后加速度響應的修正誤差，使用二范數Er作為誤差指標，其具體計算方法如式(6)所示

圖11 S2測點加速度響應修正結果Fig.11 The updated results of the acceleration responses obtained from sensor S2

圖12 S1測點加速度響應修正結果Fig.12 The updated results of the acceleration responses obtained from sensor S1

(6)

式中：yr為結構的真實響應；yp為修正后結構的預測響應。修正后的4個節點加速度響應誤差，如表 3所示。

表3 計算的誤差指標Tab.3 The calculated error indices 單位：%

由表3可知，修正后的結構動力響應與真實響應誤差較小，其中最大誤差也在1.6%以內，因此采用本文所提出的模塊化貝葉斯方法可以在同時考慮測量誤差與模型誤差的基礎上滿足修正精度要求，可以應用于考慮多種不確定性因素的非線性模型修正問題。

3 非線性結構模型修正的魯棒性研究

3.1 不同測量噪聲水平下的非線性模型修正研究

為了研究本文所提非線性結構隨機模型修正方法的抗噪性，本節分別對比了在5%，10%，20%三種不同噪聲水平作用下的模型修正結果。其中在每一種噪聲水平作用下，又分兩種工況對比了初始參數不確定性對模型修正的影響。其中工況一中的待修正參數是一組確定值；工況二的待修正參數則是考慮結構初始參數的不確定性，服從均值為真實值θ*，標準差為0.05θ*的正態分布。其修正結果如表4～表6所示。

表4 5%噪聲水平下不同工況修正結果對比Tab.4 Comparison of the updated results of the different cases under 5% noise level

表5 10%噪聲水平下不同工況修正結果對比Tab.5 Comparison of the updated results of the different cases under 10% noise level

表6 20%噪聲水平下不同工況修正結果對比Tab.6 Comparison of the updated results of the different cases under 20% noise level

由表4～表6可知，在不同噪聲水平作用下TMCMC采樣樣本均值均接近真實值均值。待修正參數修正誤差較小，由此可知本文所提方法擁有較好的抗噪性能，在高噪聲水平條件下依然可以準確修正模型。

對比表4～表6在同一噪聲水平作用下，工況一與工況二的采樣標準差可以發現，由于工況二相較于工況一多考慮了模型初始參數不確定性的影響，因此工況二的采樣標準差要大于工況一；除此之外，在同一工況下，隨著噪聲水平的增加，樣本的標準差也在逐漸增加。由上述結果可知采樣樣本的標準差隨著結構不確定性因素的增加逐漸增加。

3.2 不同模型誤差水平下的非線性模型修正研究

為了研究本文所提非線性結構隨機模型修正方法的魯棒性，探究設計變量的變化程度對模型修正結果的影響，本節分別對比了在使用Sobol序列采樣方法進行試驗設計時，設計變量μ在理論值上下5%范圍產生試驗輸入，與10%范圍產生試驗輸入兩種不同情況下的模型修正結果，非線性模型修正結果如表7和表8所示。

表7 不同模型誤差條件下工況一非線性模型修正結果Tab.7 The nonlinear model updating results of case 1 under different model uncertainties 單位：%

表8 不同模型誤差條件下工況二非線性模型修正結果Tab.8 The nonlinear model updating results of case 2 under different model uncertainties 單位：%

表7和表8分別為工況一、工況二條件下，模型誤差水平對非線性參數修正結果的影響。由表7和表8可知，設計變量無論在理論值5%范圍內變動，還是在10%范圍內變動，均能保證較高的修正精度。其中待修正參數的誤差率隨著噪聲水平的逐漸增加與設計變量變動范圍的增大有些許增大，但平均誤差均在4%以內。因此使用本文所提出的方法，可以在結構設計變量變化較大情況下，仍能保證預測結果的準確與可靠性。

4 結 論

本文采用模塊化貝葉斯的方法，將整個模型修正過程分成3個模塊，基于實測結構動力響應主分量的瞬時加速度幅值，構建同時考慮測量誤差與模型誤差的似然函數，并結合高斯過程模型與TMCMC算法，實現了隨機非線性模型修正及非線性待修正參數的不確定性量化。通過對地震激勵作用下三跨連續梁橋的數值研究可以得出以下結論：

(1) 所提方法通過引入設計變量，將難以單獨建模的模型誤差巧妙表示出來，并結合模塊化方法在貝葉斯理論框架下，實現了同時考慮模型誤差與測量誤差等多種不確定性因素作用下的隨機非線性模型修正，并對參數的不確定性進行量化。

(2) 通過將高斯過程模型與TMCMC算法相結合，克服了傳統MCMC算法高維采樣收斂慢，計算效率低的缺點，大大提高了采樣效率。

(3) 與不考慮初始參數不確定性相比，考慮模型初始參數不確定性的非線性參數修正誤差與標準差更大，更能真實地反映結構的安全狀態，因此在結構安全評估時，采用考慮模型初始參數不確定性的模型修正結果，能更好的反映實際結構的抗災害能力。

(4) 本文僅對單一的模型誤差展開了相關研究，然而，對于復雜的土木工程結構，引起模型誤差的因素通常有很多，如模型簡化、節點等效等。因此，如何對多種模型誤差條件下的非線性模型進行修正需要進一步被研究。

(5) 本文為了對多重不確定因素下的非線性結構模型修正問題進行研究，將模型誤差視為服從高斯分布，但該假設具有一定局限性。因此如何建立非高斯分布條件下的模型誤差替代模型需要進一步被研究。