自回歸模型在變形監測中的應用

胡圣武 楊旭鋒 苗林光

(河南理工大學 測繪與國土信息工程學院, 河南 焦作 454000)

0 引言

在自然界中隨處可見的變形現象,都會用到變形監測。變形監測就是通過對變形體的周期性觀測,以判斷其位置隨時間的變化[1-2]。在一定的變形限度內,變形對變形體沒有太大影響,但是超過這個限度,就會對變形體造成損害,甚至發生災難。由于變形造成的變形破壞,造成的財產損失數不勝數,因此,變形監測工作的質量直接影響著工程的質量以及人民財產的安全。自回歸模型被引入變形監測以來,很多學者對其進行了研究。

自回歸模型作為分析時間觀測序列的一種重要模型,英國數學家于1927年首次引入了AR模型。還有一些學者提出了MA模式和ARMA模式[2]。之后,大量學者不斷對該方法進行豐富和完善。在測繪領域中,國內對自回歸模型的建模方法和應用進行了大量的探索。徐培亮運用時間序列分析法為大壩做變形預報[3]。陸立將自回歸模型用于建筑物變形監測數據分析[4]。朱海國等將曲線擬合與自回歸模型結合應用在地鐵變形監測中,使得預測精度更高[5]。王鐵生等建立基于卡爾曼濾波的自回歸模型,并驗證了該模型的可行性[6]。余凱將GAAA算法應用于自回歸模型中,進一步提高了自回歸模型的預測精度[7]。徐偉、何金平將多尺度小波分析與自回歸模型有機地結合起來[8]。孫志鵬將時空自回歸模型應用到大型橋梁變形監測分析與預報,驗證了其實用意義[9]。朱少林等對變形監測數據引入了半參數自回歸模型[10]。楊小虎等將GM模型與AR模型結合,預測精度明顯提高[11]。李彬彬等利用無人機和三維激光掃描技術對廠礦進行地表監測,并結合小波神經網絡方法,取得了較好的監測結果[12]。李振河等利用合成孔徑雷達干涉測量(interferometric synthetic aperture radar,InSAR)技術對沉降觀測區進行監測研究,提高了監測精度[13]。

本文結合最小二乘估計和自回歸模型對變形監測數據進行處理,并研究自回歸模型的階數問題。本文的研究特點主要有：①充分考慮到變形監測數據存在著誤差,利用最小二乘估計削弱和控制誤差;②確定自回歸模型的階數。

1 自回歸模型

自回歸模型參數的求解過程實際上就是間接平差的過程,類比間接平差的計算步驟,即可得到自回歸模型的建立步驟。本文主要對誤差方程的列立、模型參數的最小二乘估計、模型的精度評定進行詳細闡述。

1.1 誤差方程的列立

由已知觀測值和未知參數、預測值改正數,根據它們之間的關系組成的方程稱為自回歸模型的誤差方程。觀測值的個數減去模型階數等于誤差方程的個數,模型參數個數等于模型階數。

設有按時間序列排列的觀測數據x1,x2,…,xn,則p階自回歸模型的誤差方程為

記

得

(1)

1.2 模型參數的最小二乘估計

(2)

將式(1)和式(2)聯立得

(3)

解得

(4)

從而得到自回歸模型

(5)

1.3 模型的精度評定

不論采用哪一種平差模型,是否進行參數選擇,對每單位權方差的估計值均為殘差的平方和除其自由度。其中自回歸模型觀測值的權P=I[14-15]。即

(6)

自回歸模型觀測值的協因數矩陣Q=I,從而得到模型的中誤差

(7)

2 實例分析

本文數據選用某建筑物36期沉降觀測數據,如表1所示。前30期數據用于建立自回歸模型,后6期數據用于驗證所建自回歸模型的正確性,將模型預測值與實際觀測值進行比較,求出其差值是否符合限差要求。前30期沉降觀測數據圖如圖1所示。

表1 沉降觀測數據 單位：mm

圖1 前30期實測數據圖

2.1 自回歸模型程序解算

對于不同的變形監測數據,選取較為合適的模型階數建立自回歸模型至關重要,因此本文先對不同階數的自回歸模型進行比較,選取最為合適的模型階數進行模型預測。將觀測數據期數、模型階數、預測數據期數等參數輸入自回歸模型預測程序,運行程序,可直接得到所需的各種數據。依次取模型階數為2到9,選取模型中誤差最小的模型進行模型預測。

由程序輸出結果可知,模型階數取7時,模型中誤差最小,如圖2所示。因此將階數為7的模型用于變形預測。用于變形預測的自回歸模型為

(8)

圖2 七階自回歸模型輸出結果

2.2 模型預測及精度評定

由程序輸出結果可知,所選階數為7的自回歸模型的中誤差σ=0.78 mm。利用所得自回歸模型對后6期數據進行變形預報,預測值與實測值進行比較,具體如表2所示。

表2 后6期數據預測值與實測值比較

借助矩陣實驗室(matrix laboratory，MATLAB)編寫的預測程序解決了自回歸模型復雜的計算步驟,GUI界面設計制作了一個可以反復使用且操作簡便的工具,通過繪圖功能實現了數據的可視化,從而可以直接地比較自回歸模型的預測數據和實測數據,具體如圖3所示。

圖3 后6期預測值和實測值對比圖

由以上自回歸模型預測程序輸出結果可知,運用該實例建立的自回歸模型變形預測值與實際測量值之間的絕對誤差如表2所示,變形預測值與實際測量值之間的差值最大為1.07 mm,其余絕對誤差均小于0.5 mm,說明自回歸模型十分適合進行變形預報,進一步肯定了自回歸模型應用在變形監測數據處理中的可行性。

3 結束語

本文利用自回歸模型與最小二乘估計相結合,對變形監測數據進行處理,所得到的結果是科學的,但本文也存在不足的地方,例如：本文在確定模型階數時,沒有提前確定模型階數,而是選取不同階數進行比較,選取模型中誤差最小的模型用于變形預測,這樣的方法可能會導致操作步驟過于復雜;本文借助MATLAB編寫的自回歸模型預測程序,雖然能夠正常地運行出結果,但是有些代碼過于煩瑣,不夠簡潔,希望以后可以進一步改進。

如何確定自回歸模型的階數以及如何消除觀測數據的觀測誤差這仍然是需要研究的問題,本文只是簡單進行了探討。