從“紙上數(shù)學(xué)”到“指上數(shù)學(xué)”
——淺析小學(xué)數(shù)學(xué)幾何概念“非紙筆”練習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施

◎丁新顏 （南昌師范學(xué)院）

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，概念教學(xué)是重要的組成部分，概念的理解是學(xué)生應(yīng)用能力和邏輯思維養(yǎng)成的基礎(chǔ)。本文重點(diǎn)就如何提升學(xué)生的空間想象能力進(jìn)行研究，提出了一些方法，僅供參考。

一、現(xiàn)狀分析

“小學(xué)生空間想象能力普遍比較弱”這是教學(xué)幾何概念時(shí)數(shù)學(xué)老師普遍遇到的現(xiàn)實(shí)問題。究其原因，筆者發(fā)現(xiàn)在教學(xué)中存在以下問題；

幾何概念學(xué)習(xí)方式單一。很多教師在教學(xué)幾何概念時(shí)強(qiáng)調(diào)公式的記憶和背誦，不注重公式的推導(dǎo)，不重視圖形之間的轉(zhuǎn)化，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式只是單一的看、聽，而缺乏動(dòng)手操作、驗(yàn)證感悟，致使學(xué)生對(duì)幾何概念理解浮于淺表層，沒有從中獲得豐富的發(fā)展。

幾何概念練習(xí)形式單一。練習(xí)基本上是教材上的，或者是在配套習(xí)題冊(cè)中通過筆頭在紙上完成的題目。一般新課學(xué)習(xí)了什么知識(shí)，做的練習(xí)就是筆頭解決相應(yīng)的問題，學(xué)生缺乏直觀體驗(yàn)，空間觀念和思維能力很難得到提升。

幾何概念與實(shí)際生活問題的連接點(diǎn)單一。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了一定的幾何知識(shí)，教師請(qǐng)學(xué)生解決的是書本上的練習(xí)題。然而，書本中呈現(xiàn)的實(shí)際問題涉及面很窄，真正生活中，孩子缺乏用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的經(jīng)歷，甚至有學(xué)生誤以為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的就是為了做題考試。

這些問題的存在，導(dǎo)致幾何概念教學(xué)中教師的教和學(xué)生的學(xué)常常處于“紙上談兵”的狀態(tài)，無法很好地達(dá)成幾何教學(xué)的主要目標(biāo)——積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念，感知幾何推理的魅力，體會(huì)幾何的美。

二、研究意義及方法

瑞士著名學(xué)者皮亞杰曾說，空間觀念的形成不像拍照，兒童要想建立空間觀念，必須有動(dòng)手做的過程。然而由于教材受呈現(xiàn)形式的制約，出現(xiàn)的練習(xí)基本以紙筆練習(xí)為主，動(dòng)手操作類的練習(xí)非常少，因此小學(xué)數(shù)學(xué)幾何概念的“非紙筆”練習(xí)的開發(fā)迫在眉睫。

1.梳理小學(xué)數(shù)學(xué)幾何概念，厘清幾何概念間的關(guān)系

為了幫助學(xué)生獲得理解幾何概念的路徑，豐富直觀體驗(yàn)，積累一定的經(jīng)驗(yàn)。首先要對(duì)于整個(gè)小學(xué)階段的幾何概念教學(xué)進(jìn)行梳理，厘清知識(shí)之間、研究方法之間的關(guān)系，便于設(shè)計(jì)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容、遵循課程標(biāo)準(zhǔn)的非紙筆練習(xí)。下面是人教版12冊(cè)教材中幾何教學(xué)內(nèi)容的梳理。

一年級(jí)上冊(cè)1.認(rèn)識(shí)圖形（一）立體圖形 一年級(jí)下冊(cè)1.認(rèn)識(shí)圖形（二）平面圖形的認(rèn)識(shí)、平面圖形與立體圖形的關(guān)系二年級(jí)上冊(cè)1.角的初步認(rèn)識(shí)2.觀察物體（一）二年級(jí)下冊(cè)1.圖形的運(yùn)動(dòng)（一）；軸對(duì)稱圖形、平移現(xiàn)象、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象2.活動(dòng)課；通過平移、旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案三年級(jí)上冊(cè)1.長方形和正方形；四邊形的認(rèn)識(shí)、周長的認(rèn)識(shí)、長方形和正方形的周長三年級(jí)下冊(cè)1.面積；面積和面積單位、長方形、正方形的面積計(jì)算、面積單位間的進(jìn)率四年級(jí)上冊(cè)1.角的度量2.平行四邊形和梯形；平行與垂直、平行四邊形和梯形3.實(shí)踐活動(dòng)；神奇的莫比烏斯帶四年級(jí)下冊(cè)1.觀察物體（二）2.三角形；三角形的特征、分類、三角形和四邊形的內(nèi)角3.圖形的運(yùn)動(dòng)（二）軸對(duì)稱、平移五年級(jí)上冊(cè)1.多邊形的面積；平行四邊形、三角形、梯形的面積；組合圖形的面積，不規(guī)則圖形的面積五年級(jí)下冊(cè)1.觀察物體（三）2.長方體和正方體；長方體和正方體的認(rèn)識(shí)、表面積、體積單位間的進(jìn)率、容積和容積單位3.圖形的運(yùn)動(dòng)（三）平移4.探索圖形；立體圖形的涂色問題

續(xù)表

從上表可以看出，小學(xué)階段，學(xué)生是從最常見的立體圖形開始接觸幾何概念，由“體”到“面”，由靜止到運(yùn)動(dòng)，其中還貫穿各類圖形間的轉(zhuǎn)換與應(yīng)用等，幾何概念知識(shí)之間是層層深入、環(huán)環(huán)相扣、螺旋上升的。

2.設(shè)計(jì)幾何概念中的“非紙筆”練習(xí)，實(shí)施幾何概念的深度教學(xué)

“兒童的智慧在他們的手指尖上”，新課程理念下，動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)已經(jīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。在幾何概念教學(xué)中設(shè)計(jì)“非紙筆”練習(xí)，有利于實(shí)施幾何概念的深度教學(xué)。“非紙筆”練習(xí)有別于一般的紙筆練習(xí)，它是以動(dòng)手操作的形式對(duì)知識(shí)進(jìn)行探究、鞏固和應(yīng)用。學(xué)生是要在觀測(cè)、擺拼、畫圖、制作、實(shí)驗(yàn)、社會(huì)實(shí)踐等多種操作活動(dòng)中，逐漸形成、理解鮮活的幾何概念，并在活動(dòng)中慢慢體會(huì)幾何的基本知識(shí)所蘊(yùn)含的多種數(shù)學(xué)思想；演繹化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、幾何變換思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類辨別思想等。

三、研究“非紙筆”練習(xí)在不同課程類型中的實(shí)施

1. 在新授課中增加直觀體驗(yàn)，幫助概念理解

在幾何概念的新授課中，孩子能否清晰地建立概念，對(duì)于以后的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。在這樣的“種子”課中，如果能設(shè)計(jì)一個(gè)層次分明的操作活動(dòng)，一方面讓不同基礎(chǔ)的學(xué)生在活動(dòng)中都有不同層次的收獲和提升，另一方面使學(xué)生對(duì)概念的理解在層層遞進(jìn)的操作實(shí)踐中逐漸加深。

案例1：角的初步認(rèn)識(shí)

活動(dòng)要求及成果：

（1）在用規(guī)則圖形中找出角或折出角。

（2）用不規(guī)則圖形折出角。

（3）用小棒拼出一個(gè)角。

（4）制作一個(gè)活動(dòng)角。

對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生來說，角的概念比較抽象，學(xué)生接受起來比較困難。為了幫助學(xué)生更好地理解角的概念，筆者設(shè)計(jì)了四個(gè)階梯式操作練習(xí)；分別在用規(guī)則、不規(guī)則的紙折出一個(gè)角，幫助孩子理解圖形之間的轉(zhuǎn)化和內(nèi)在的聯(lián)系；用小棒搭一個(gè)角，進(jìn)一步體會(huì)，角有一個(gè)頂點(diǎn)和兩條直直的邊；通過制作一個(gè)活動(dòng)角，加深角的大小與邊的張合有關(guān)，而與邊的長短無關(guān)。通過四次創(chuàng)造角的活動(dòng)，將觀察、操作、演示、討論等方法貫穿于其中，引導(dǎo)學(xué)生在感知的基礎(chǔ)上加以抽象概括，充分遵循了從感知經(jīng)表象到概念這一認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在大量的實(shí)踐活動(dòng)中掌握知識(shí)，形成能力。把外在可見和內(nèi)在不可見的“角”深深地印在大腦里面。

2.在練習(xí)課中動(dòng)手操作，以動(dòng)促思

七巧板是古老的中國傳統(tǒng)益智玩具，好處與用處多不勝數(shù)，它能夠把對(duì)實(shí)物與形態(tài)之間的橋梁連接起來，在培養(yǎng)孩子的觀察力、想象力、形狀分析及創(chuàng)意邏輯上都有巨大的發(fā)展空間。一年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)圖形》（二）這個(gè)單元中，學(xué)生在認(rèn)識(shí)了長方形、正方形、平行四邊形、三角形等平面圖形后，在練習(xí)課中要給足學(xué)生操作活動(dòng)的時(shí)間，用七巧板擺拼圖形，以活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生思維。

案例2：平面圖形的拼組

活動(dòng)要求及成果：

（1）用七巧板中部分圖形，拼出認(rèn)識(shí)的平面圖形。

（2）用七巧板，拼自己喜歡的圖形并給它命名。

（3）用七巧板的七塊板，拼指定的平面圖形。

學(xué)生在用七巧板中部分圖形拼出不同大小、不同形狀的三角形時(shí)，學(xué)生的觀察力和記憶力被充分調(diào)動(dòng)起來；在用七巧板拼出自己喜歡圖形并對(duì)其命名的練習(xí)時(shí)，學(xué)生的興趣被調(diào)動(dòng)起來了，他們的空間想象力和創(chuàng)造力，隨著板塊的擺放被激發(fā)出來；在完成指定圖形拼擺的過程中，學(xué)生進(jìn)一步鞏固了平面幾何圖形的特征，體會(huì)圖形之間的變換思想，發(fā)展了空間觀念。

3.在綜合與實(shí)踐課中感受數(shù)學(xué)奧秘，拓展數(shù)學(xué)視野

教材中的綜合與實(shí)踐課與普通的數(shù)學(xué)課相比，動(dòng)手操作性的活動(dòng)更為豐富，它是在已有知識(shí)體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，主動(dòng)應(yīng)用知識(shí)解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)，因此更具有綜合性、實(shí)踐性、開放性和自主性。《神奇的莫比烏斯帶》是人教版教材四年級(jí)上冊(cè)的一節(jié)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課，這個(gè)內(nèi)容教學(xué)參考幾乎沒有，教學(xué)建議也比較簡(jiǎn)略，只是對(duì)莫比烏斯帶的用途做了簡(jiǎn)單的介紹。莫比烏斯帶屬于拓?fù)鋵W(xué)的內(nèi)容，教材以數(shù)學(xué)游戲的形式，創(chuàng)設(shè)了一系列操作實(shí)踐活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生在活動(dòng)中觀察、猜想、比較、驗(yàn)證、思考、發(fā)現(xiàn)，從中體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力與神奇，開闊學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

案例3：神奇的莫比烏斯帶

活動(dòng)要求及成果：

（1）先把一個(gè)長方形紙帶變成有兩個(gè)面、兩條邊的圖形，再把一個(gè)長方形紙帶變成只有一個(gè)面、一條邊的圖形。

（2）沿著莫比烏斯帶的二分之一處剪開并觀察它的變化與特征。

（3）沿著莫比烏斯帶的三分之一處剪開并觀察它的變化與特征。

（4）沿著莫比烏斯帶的四分之一處剪開并觀察它的變化與特征，猜想沿五分之一剪開后的變化，并找出規(guī)律。

研究單

為了讓學(xué)生體悟到莫比烏斯帶的神奇，本節(jié)活動(dòng)課設(shè)定了三個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)；一是動(dòng)手操作，經(jīng)歷探索和認(rèn)識(shí)莫比烏斯帶的過程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；二是在猜想、驗(yàn)證中體會(huì)莫比烏斯帶的特征；三是在活動(dòng)中感受經(jīng)歷猜想與探索的過程，感受莫比烏斯帶的神奇變化，感受數(shù)學(xué)奧秘，拓展數(shù)學(xué)視野。

四、幾何概念教學(xué)中設(shè)計(jì)“非紙筆”練習(xí)的思考

雖然數(shù)學(xué)實(shí)踐作業(yè)在小學(xué)階段目前只是彈性要求，沒有制定持續(xù)實(shí)施的計(jì)劃，對(duì)怎樣才能達(dá)到提升學(xué)生幾何思維能力、系統(tǒng)開展幾何概念實(shí)踐作業(yè)還缺乏更為科學(xué)、系統(tǒng)的規(guī)劃。然而在教育發(fā)展的新時(shí)代，基于當(dāng)前對(duì)雙減政策以及對(duì)新課標(biāo)的解讀、貫徹和實(shí)際教學(xué)的需求，結(jié)合幾何教學(xué)的內(nèi)容，需要為學(xué)生設(shè)計(jì)開發(fā)更多的具有趣味性、綜合性和開放性的“非紙筆”練習(xí)。在幾何概念教學(xué)設(shè)計(jì)“非紙化”練習(xí)的過程中，有以下幾點(diǎn)思考；

1.非紙筆練習(xí)要有連續(xù)性，實(shí)現(xiàn)常態(tài)化

幾何概念教學(xué)中，“非紙筆”練習(xí)的設(shè)計(jì)要根據(jù)教材的編排，遵循各年級(jí)、各單元的課程目標(biāo)，結(jié)合課時(shí)安排，在內(nèi)容上固定，方法上年級(jí)協(xié)同，形成系列的非紙筆練習(xí)。讓教師在教學(xué)中能清晰的安排每個(gè)學(xué)期“非紙筆”練習(xí)。

2.非紙筆練習(xí)要規(guī)范活動(dòng)方案，深化課堂教學(xué)

教師需要對(duì)于“非紙筆”化練習(xí)的設(shè)計(jì)進(jìn)行課堂教學(xué)的研討，通過研討，對(duì)“非紙筆”化練習(xí)的設(shè)計(jì)的目標(biāo)、內(nèi)容、形式進(jìn)行探究，在不斷的探究中積累經(jīng)驗(yàn)，形成比較完善的設(shè)計(jì)方案。在教學(xué)中開展非紙筆練習(xí)，教師按照活動(dòng)意圖、材料準(zhǔn)備、實(shí)施步驟、效果反思等幾個(gè)具體步驟來實(shí)施。只有經(jīng)歷嘗試、反思、調(diào)整、再嘗試、再反思、再調(diào)整的過程，才能實(shí)現(xiàn)深化概念教學(xué)。

3.非紙筆練習(xí)要貼合生活實(shí)際，實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用

學(xué)生學(xué)習(xí)的幾何知識(shí)，絕不僅僅是為了解答書本上的練習(xí)題，而是要利用所學(xué)的知識(shí)解決一些生活中的問題，學(xué)以致用。教師根據(jù)各年級(jí)的目標(biāo)，設(shè)計(jì)在生活中運(yùn)用的練習(xí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)和生活是緊密聯(lián)系的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是充滿樂趣的。例如，在學(xué)習(xí)了長方體和正方體的表面積之后，我們專門研究包裝問題。如對(duì)4個(gè)同樣長方體盒子進(jìn)行包裝，有幾種方法？怎樣包裝最節(jié)省包裝紙？學(xué)生在自行研究后交流；同樣是4個(gè)長方體盒子，為什么最節(jié)省的不是同一種疊法呢？這些疊好盒子的表面積與疊好后的長、寬、高有著怎樣聯(lián)系？

在研究完這個(gè)問題后，學(xué)生就會(huì)把書本上的長方體表面積問題與生活中的包裝問題聯(lián)系在一起了，去關(guān)注生活中的包裝除了關(guān)注美觀、方便外，還要考慮包裝紙即表面積的節(jié)省問題等。

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，獲取知識(shí)非要真切的體驗(yàn)不可，只有讓學(xué)生在親身實(shí)踐中去體驗(yàn)所學(xué)的知識(shí)，才能達(dá)到“活學(xué)活用”的效果。通過“非紙筆”練習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施，不僅讓學(xué)生對(duì)幾何概念新題型的適應(yīng)性大大增強(qiáng)，而且發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高了核心素養(yǎng)。這種富有現(xiàn)實(shí)性、有意義的練習(xí)形式，對(duì)培養(yǎng)孩子的探索精神、實(shí)踐能力以及孩子的個(gè)性發(fā)展都是很有益處的，這樣的嘗試給學(xué)生了一片嶄新、遼闊的發(fā)展空間，放飛學(xué)生的想象力，也激發(fā)學(xué)生的潛能。※