函數(shù)極值點偏移題型求解策略

黃順安

（云南省臨滄市第一中學(xué) 云南臨滄 677000）

引言

函數(shù)極值點的偏移問題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合性問題，也是函數(shù)變化過程中的一種非對稱的變化現(xiàn)象，該現(xiàn)象深受命題人的喜愛。極值點偏移問題在考試中通常以壓軸題的形式呈現(xiàn)，難度大、方法多樣、轉(zhuǎn)化靈活，是考查學(xué)生核心素養(yǎng)和創(chuàng)新思維能力的重要題型。同時也是考查學(xué)生的觀察力和零點估計方法。近年來，函數(shù)極值點偏移問題的解法越來越側(cè)重通性通法以及切入點的分析。在接下來的討論中，本文將系統(tǒng)探析極值點偏移問題的處理方法、極值點偏移考試題型的變化，以及極值偏移處理方法的推廣應(yīng)用。

一、極值點偏移問題的定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)且具有唯一一個極大（?。┲迭cx0，方程f(x)=0(f(x)=m)的解分別為x1,x2且a＜x1＜x0＜x2＜b.若，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上極值點x0偏移。f(x) 在區(qū)間(a,b) 上極值點0x偏移類型有以下兩種：

二、極值點偏移問題的常用解法

極值點偏移問題的減法很多，比如構(gòu)造對稱函數(shù)（偏差函數(shù)）法、比（差）值代換法、不等式放縮法（對數(shù)均值不等式法）、同構(gòu)視角下極值點偏移問題的處理、切割線放縮與零點差的估計等。處理極值偏移問題的這些方法通常都是困難的。在新高考改革以及雙減政策的背景下，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，具備一定的數(shù)學(xué)解題方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，成為新課程改革對數(shù)學(xué)學(xué)科的要求，也成為高考數(shù)學(xué)能力考核內(nèi)容的出發(fā)點。因此，對高考數(shù)學(xué)題型的研究尤其在本質(zhì)及通法上的研究至關(guān)重要。事實上，極值點偏移問題的考查側(cè)重于通用解法的考查。

典例1（2010年天津卷）：已知函數(shù)f(x)=x e-x

（1）求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若x1≠x2且f(x1)=f(x2)，求證：x1+x2＞2。

（2）證法一：（構(gòu)造對稱函數(shù)）

∵f(x1)=f(x2),x1≠x2且由（1）可知，0＜x1＜ 1＜x2（由于x1，x2只可能滿足這個不等式，如上圖）

要證x1+x2＞ 2，只需證明x2＞ 2 -x1＞1，由f(x)在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以有f(x2)＜f(2 -x1)，即證f(x1)＜f(2 -x1)。

所以構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-f(2-x)=x e-x-(2-x)ex-2(x＜1)，所以只需證明x＜1 時，h(x)＜0即可.

∴x∈(- ∞,1)時h'(x)＞0，即h(x)在x∈(- ∞,1)上單調(diào)遞增，則有。所以x1+x2＞ 2得證。

證法二：（商比代換法）

證法三：（差比代換法）

證法四：（對數(shù)均值不等式法）

證法五：（數(shù)形結(jié)合法）

由（1）得，f(x)=x e-x在（0，1）單調(diào)遞增，[1，+且0 ＜x1＜ 1＜x2。

要證x2+x1＞ 2，即證明。因此，只需證明x1，x2的中點大于1。由f(x)=x e-x的函數(shù)圖像且f(x1)=f(x2),x1≠x2，只需證明x1關(guān)于1的對稱點的函數(shù)值f(2 -x1)滿足f(x2)＜f(2 -x1)，即證明f(x1)＜f(2-x1)。后續(xù)證明參考證法一。

三、極值點偏移問題通性通法的解法及結(jié)論

1.方法一：（對稱化構(gòu)造法），構(gòu)造輔助函數(shù)：對結(jié)論x2+x1＞ 2x0型，構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-f(2x0-x)；對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)。通過研究h(x) 的單調(diào)性證明不等式。

方法二：（比值代換法），通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式利用函數(shù)單調(diào)性證明。

2.極值點偏移中的主流題型、方法及注意點

（1）構(gòu)造對稱函數(shù)（或偏差函數(shù)）的方法才是一種最為通性通解的方法。

（2）比（差）值代換雖然過程簡潔，但是對式子的變形、雙變量化為單變量是這種方法的難點，這個過程中需要用到一些特殊的指對變形，這將在下面的內(nèi)容中有所呈現(xiàn)。同時，比（差）值代換不是萬能的，在某些含參數(shù)的偏移問題、某些復(fù)雜函數(shù)中是無法實現(xiàn)的。

（3）不等式放縮法處理極值偏移問題，這種方法技巧性很強，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生學(xué)情酌情處理。

（4）同構(gòu)視角下處理極值點偏移其實還是簡單的，但這種方法主要還是考查學(xué)生的觀察能力，及推理能力，這一點重在同構(gòu)方面的練習進行突破。

四、極值點偏移問題在高考中的趨勢

從2009年、2010年的遼寧、天津開始，極值點偏移逐漸進入高中學(xué)習的視野，到了2016年全國一卷出現(xiàn)了極值點偏移后，對極值點偏移的解法有了多種研究，可以說極值點的偏移的題型形成了一系列的解法。2021年新高考I卷、2022年的全國甲卷再度考查極值點偏移的問題。此外，傳統(tǒng)的極值點偏移正在向零點估計轉(zhuǎn)型，所考查的是學(xué)生更加敏銳的觀察力和對常見零點估計方法的掌握，同時也還是突出重視通性通法的考查。

典例2：（2021年新高考I卷）已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)

討論f(x) 的單調(diào)性；

（2）設(shè)a,b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：

解析：（1）易得f(x)在x∈(0,1)單調(diào)遞增，在x∈(1,+∞)單調(diào)遞減。

證法一：（構(gòu)造對稱函數(shù)）

證法二：（商比代換法）

證法三：（同構(gòu)視角下的證明方法）

同構(gòu)視角下處理極值點偏移其實還是簡單的，但這種方法，主要還是考查學(xué)生的觀察能力，及推理能力，這一點重在同構(gòu)方面的練習進行突破，難點就是同構(gòu)。

若f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍；

若f(x)有兩個零點x1,x2，證明x1x2＜1。

解析：（1）略

（2）證法一（構(gòu)造對稱函數(shù)）略

證法二（構(gòu)造商比）略

證法三（同構(gòu)視角下的證明方法）

從2021年新高考I卷、2022年高考甲卷極對值點的偏移的考察，還是突出通性通法，同時在切入點方面更體現(xiàn)學(xué)生敏銳的觀察能力，尤其是2021年的新高考I卷，同時這兩道題都可以在一個同構(gòu)式的新視角下處理極值偏移問題，說明高考試題更體現(xiàn)方法多元化，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、觀察、邏輯推理能力等核心素養(yǎng)。

五、極值偏移問題解法在拐點問題中的應(yīng)用

當理解偏差函數(shù)的本質(zhì)時，很多不是極值點偏移問題的雙邊量問題也可以用極值偏移問題的處理方式進行處理。

求f(x)的極大值；

結(jié)語

通過對極值點偏移問題的通性通法的解法研究，有助于我們在教學(xué)中減少機械刷題，而且從本質(zhì)上理解極值點的偏移，有助于對拐點的解決。另一方面，本質(zhì)上理解極值點的偏移有助于通性通法本質(zhì)的理解，以達到更能適應(yīng)現(xiàn)在的高考，更能有助于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。