車輛斜碰撞系統的非線性特性研究*

韓 寧，李萬祥，李雄兵，雷菲菲

(1. 蘭州交通大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730070； 2.天水師范學院，甘肅 天水 741000)

0 引 言

對于碰撞振動系統，目前國內外學者進行了大量相關研究。Shams等[1]研究了一類單自由度振動系統，發現存在基本的周期運動和其他復雜的動力學行為。李萬祥等[2]建立了一類單自由度含間隙系統，證明了hopf分岔的存在性。尹鳳偉等[3]建立了一類系統模型，通過協同仿真分析了分岔機理。韓維等[4]說明了斜碰撞系統的研究現狀，給出了一般的研究方法與思路。羅冠煒等[5]選取了多種力學模型，理論分析了系統周期性運動的存在條件，并研究了其分岔行為，給出了碰撞振動系統研究的基礎理論與常規思路。段潔等[6]建立了三質體斜碰撞振動系統，并以碰撞間隙為變量做了減振研究。翟紅梅[7]以汽輪機葉片為對象，研究了斜碰撞系統的混沌行為，分析了通向混沌的過程。

研究表明，車輛的追尾碰撞事故是高速公路上最典型的事故形態。李銀龍等[8]研究了車輛的正面碰撞，建立了小角度碰撞模型并進行了模擬研究。高強等[9]研究了一類變質量動力吸振器，分析了吸振特性。筆者以車輛追尾為典型工況，抽象出五自由度斜碰撞模型，探索車輛碰撞振動系統的周期運動、通向混沌的過程和在不同減振器作用下的相對穩定性。此研究的目的在于優化車輛系統結構，對提高乘客舒適性與安全性有重要意義。

1 碰撞振動系統的力學模型

圖1是由車輛追尾碰撞時簡化而來的五自由度斜碰撞振動模型。后車質量為M1，前車質量為M2，兩車分別由剛度為K1和K2的線性彈簧和阻尼系數為C1和C2的線性阻尼器相連，分別做鉛垂方向和水平方向的運動，并且分別受到簡諧激振力Pisin(ΩT+τ),(i=1,2)(碰撞激振力)的作用。后車上集成了一個質量為M3的減振器，剛度和阻尼系數分別是K5和C5。兩車發生了碰撞。假設力學模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，忽略減振器M3在鉛垂方向的運動，前后車在同一條直線上運動。

圖1 車輛碰撞系統模型圖

系統的運動微分方程為：

(1)

式中：Ki為線性彈簧剛度；Ci為粘性阻尼系數；Pisin(ΩT+τ)量為簡諧激振力。引入無量綱量：

將上式帶入得到未碰撞時的無量綱運動微分方程:

(2)

2 Poincaré映射的建立

選擇龐加萊截面：

(3)

式中：φ=ωt，mod2π。

在適當的參數下，圖1所示的車輛碰撞系統的動態特性表現出周期性，即設M1和M2碰撞瞬時的時間為t=0，則下一次碰撞的時間為2nπ/ω，n∈Z。用q=p/n表示系統的運動，其中p為碰撞次數，n為力周期數。

3 仿真研究與分析

(1) 倍化、逆倍化、hopf分岔、擦邊現象分析

取系統參數(1)：μm1=0.2，μm2=0.5，d=0.20，ζ1=0.01，ζ2=0.01，ζ3=0.02，ζ4=0.02，ζ5=0.02，υ1=1，υ2=2，υ3=0.5，υ4=0.5，υ5=1，θ=π/12，利用Matlab編程，以外部激振頻率ω為分岔參數，數值計算得到局部分叉圖，如圖2所示。

圖2 局部分叉圖一

數值仿真結果顯示，當ω<1.153時，系統做穩定的q=2/2周期運動；當ω=1.155時，轉遷至q=4/2周期運動，如圖3(a)；隨著ω的繼續增加，原來穩定的不動點變成穩定的焦點，如圖3(b)，繼而變成吸引子，如圖3(c)；繼續增加ω至1.164 82，出現hopf圈，發生hopf分岔，如圖3(d)；當ω增加到1.164 986時hopf圈不斷增大、變形，失去了圓滑性，周圍變得尖銳、曲折，如圖3(e)；ω繼續增加，系統進入了混沌，如圖3(f)。

圖3 Poincaré映射圖一

當ω處于1.165 8和1.218時，系統絕大多數處于混沌運動狀態，其中也出現了2個狹窄的周期運動窗口。當ω穿越1.220 08后，退出混沌，并出現逆倍化分岔，即發生混沌→q=4/2周期運動→q=2/1周期運動；隨著ω的繼續增加，導致系統經Feigenhaum倍周期序列通向混沌，當ω=1.267 5時，系統再次進入混沌，即發生q=2/1周期運動→q=4/2周期運動→q=8/4周期運動→q=16/8周期運動→混沌，如圖4(a)～(d)所示。

圖4 Poincaré映射圖二

經過第二次的混沌帶后，系統退化出q=8/4周期運動，在ω從1.288～1.373 4的范圍內，系統為q=8/4周期運動→q=4/2周期運動→q=2/1周期運動→q=1/1周期運動，并在相對較寬的區域內處于q=1/1運動；當ω穿越1.373 45后，出現q=17/10周期運動和q=18/10周期運動，分別如圖5(a)、(b)，這是因為發生了“擦邊分岔”，導致系統的Poincaré映射不連續，產生了奇異性。

圖5 Poincaré映射圖三

(2) 陣發混沌分析

改變系統參數(1)，使得碰撞間隙d=0.30，編程得到系統的局部分岔圖。圖6是ω∈[1.345,1.395]之間的局部放大圖。

圖6 局部分岔圖二

之前的幾種分岔行為，都是由周期運動向混沌緩慢過渡。但系統還會發生另外一種分岔，即在周期運動和混沌運動之間發生了跳躍。圖7顯示了碰撞系統發生陣發性混沌的過程。

圖7 相圖和Poincaré映射圖

當ω=1.345時，系統為q=2/1周期運動，如圖7(a)、(b)；當ω∈[1.346,1.355]時，進入了混沌，如圖7(c)、(d)；繼續增加ω時，出現q=17/10周期運動，如圖7(e)、(f)；ω繼續增加至1.363時，再次進入混沌，如圖7(g)、(h)；繼續增加ω，碰撞系統的動態特性總是在周期運動與混沌之間來回不停跳變，發生陣發混沌。

4 減振器質量對車輛的穩定性影響

系統為多參數系統，影響車輛穩定性的因素有很多。現選擇不同質量的減振器，從宏觀上分析不同質量的減振器對車輛穩定性的影響。

當μm2=0.5，d=0.30，ζ1=0.01，ζ2=0.01，ζ3=0.02，ζ4=0.02，ζ5=0.02，υ1=1，υ2=2，υ3=0.5，υ4=0.5，υ5=1，θ=π/12，ω∈[1.15,1.55]時，系統在不同質量減振器μm1下的局部分岔圖如圖8所示。

圖8 多參數局部分叉圖

可見，不同質量的減振器對車輛的穩定性具有很大影響。下文將以μm1=0.13為參考基準進行分析比較。低頻時，系統雖都表現為混沌運動，但增大或減小減振器質量都會導致車輛在混沌區域的運動幅值增大；當ω在1.28的一段鄰域時，減小μm1系統也會進入混沌，但區域寬度相對有所減小，并且接下來的較大一段頻率范圍內，系統都將呈現為周期運動，穩定性改善。此時增大μm1系統則不會進入混沌，反而轉化成了周期運動，穩定性改善；當ω>1.35時，系統在大多數頻率下都呈現混沌運動，同時也出現了不同的周期窗口。此時可以看到，μm1越大，混沌區域越大，μm1越小，混沌區域越小。但系統處于混沌運動狀態時，系統穩定位移的幅值與μm1的關系不大，三者大小基本保持一致。

現用同一頻率下的相圖、時間歷程圖和Poincaré截面圖對系統做進一步分析。

當ω=1.414時，車輛系統在不同減振器作用下的相圖、時間歷程圖和Poincaré映射圖各不相同，如圖9。當μm1=0.13、0.2時系統做混沌運動，當μm1=0.1時系統做q=1/1周期運動。可得在同一頻率，不同質量的減振器可能會導致混沌、周期運動或者其他不同形式的運動同時出現。

圖9 ω=1.414時系統的響應圖

同一頻率下車輛運動的最大位移與最大速度常常作為衡量穩定性的重要指標之一。分析系統的最大位移與最大速度，可以得到不同頻率下車輛運行相對穩定的減振器質量與車輛質量之比。

不同質量的減振器對車輛系統在一定頻率范圍內的最大位移與最大速度的影響情況如圖10所示。

圖10 不同減振器下的最大位移與最大速度圖

當ω<1.23時，減小μm1，即減少減振器質量，車輛的最大位移相對最小，最大速度的變化也比較平穩，車輛穩定性很好。說明在相對低頻狀態下，減振器質量小，系統會更加穩定；當ω在1.28的較小領域內時，增大或減小減振器質量都會導致車輛的最大位移與最大速度出現局部極值，不穩定因素變強；當ω超過1.35后，系統的動態特性明顯變得復雜，這從另一個方面證明車輛系統即將進入混沌運動狀態。進入混沌區之后，較小質量的減振器有較小的最大位移的最大速度。同時，在混沌區域當中，不同減振質量下的車輛系統都頻繁出現最大位移與最大速度的峰值，危險很大，這在工程設計優化當中應該盡量避免。

可見，為了提高車輛的安全性與舒適性，在不同的頻率范圍下應選擇不同質量的減振器，即工作在不同工況下的車輛應該選裝不同質量的減振器。

5 結 論

(1) 文中建立了車輛斜碰模型，建立運動微分方程，通過相圖、時間歷程圖和Poincaré映射圖研究了車輛斜碰撞系統，發現會出現倍化分岔、逆倍化分岔、hopf分岔、跳變、周期運動、混沌和陣發混沌。

(2) 通過仿真得到不同質量減振器對車輛系統運動行為影響的局部分岔圖，得到減振器是車輛穩定性的重要影響因素，在不同的頻率下不同車輛有不同的最優選擇。

(3) 車輛在不同質量減振器、同一頻率作用下可能會出現周期運動、混沌或其它非線性行為。

(4) 通過分析不同質量減振器作用下的最大位移和最大速度，從非線性動力學的角度分析得到不同工況下的車輛應選擇不同的減振器。

(5) 為相似的斜碰撞研究提供借鑒經驗。