基于云圖積分法的曲軸疲勞裂紋應力強度因子研究*

曹壯壯，呂文徹， 康凡軍， 王留濤， 羅 震

(1.長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，陜西 西安 710064； 2.陜西法士特齒輪有限公司 陜西省齒輪傳動重點實驗室 陜西 西安 710119；3.寶雞石油機械有限責任公司 陜西 寶雞 721004)

0 引 言

曲軸是整體式壓縮機的關鍵零部件，因其承受多種交變載荷，使曲軸軸頸區域易產生裂紋，導致曲軸承載力下降。根據以往疲勞強度理論可知，當曲軸產生疲勞裂紋，即發生了失效。事實上曲軸出現裂紋到徹底失效，還存在一定的使用壽命。因此對曲軸開展斷裂力學的研究，對曲軸裂紋擴展剩余壽命的預測具有重大意義，可以為整體式壓縮機的再制造提供技術支持。

為此，研究人員通過計算應力強度因子來研究曲軸裂紋的擴展情況：Pandey[1]、Fonte等[2]對曲軸的斷裂失效進行了系統研究，計算裂紋前緣的應力強度因子，結合Pairs公式對曲軸裂紋擴展壽命進行預測；何畏等[3]利用Ansys分析EQ4H型內燃機曲軸的疲勞裂紋擴展過程，并獲得其應力強度因子值；常志剛[4]利用有限元軟件模擬裂紋擴展過程，獲得曲軸裂紋萌生過程中的裂紋前端的應力強度因子，討論了裂紋形狀對其影響的規律；游孟平等[5]利用 ABAQUS模擬曲軸疲勞裂紋擴展，計算不同裂紋形狀下的應力強度因子。

雖然很多學者借助有限元計算應力強度因子，但是大多數在求解時需要借助其他軟件或編輯輔助程序進行求解。為此，筆者提出采用ABAQUS內置的云圖積分法計算曲軸疲勞裂紋的應力強度因子，使求解更加容易，并且誤差較小。首先對曲軸軸頸的表面初始裂紋進行模型建立，通過Abaqus模擬裂紋擴展過程，然后采用云圖積分的方法獲得應力強度因子，研究初始疲勞裂紋前緣的應力強度因子的變化情況，并對裂紋前端特殊點與解析解進行對比。最后通過改變初始疲勞裂紋大小尺寸，求解不同尺寸下的裂紋尖端和自由邊處應力強度因子，分析其影響規律，并將應力強度因子與初始疲勞裂紋大小進行擬合，為預估曲軸的疲勞壽命提供理論基礎。

1 曲軸軸頸表面裂紋應力強度因子理論

1.1 表面裂紋的形狀假設

對于實際初始裂紋，可將其進行簡化。文中是將曲軸軸頸表面初始疲勞裂紋簡化為半圓形曲線，如圖1所示，其中A、B、C分別為裂紋尖端和自由邊的點，c為半圓直徑的一半，a為半徑(裂紋深度)，θ為半圓參數角。

圖1 軸頸表面裂紋位置與形狀參數 圖2 三維裂紋模型

1.2 應力強度因子的解法

應力強度因子反映了裂紋尖端應力應變場的變化情況，因此研究裂紋擴展過程，可通過計算其應力強度因子進行。文中提出采用云圖積分的方法進行應力強度因子計算。首先對軸頸表面初始裂紋進行簡化，如圖2所示模型。

圖2中XY面為裂紋前緣的法平面，YZ平面為切平面。結合線彈性斷裂力學分析理論，可得初始裂紋尖端的位移場:

(1)

(2)

(3)

式中：u、v、w為圖2中局部直角坐標系X、Y、Z中任點的位移；r、θ分別為極徑和極角；G為剪切彈性模量，G=E/2(1+ν)，ν為泊松比；k與ν有關；KI、KII、KIII分別為裂紋尖端的應力強度因子(Ⅰ為張開型、Ⅱ為滑開型、Ⅲ為撕開型)。

根據式(1)～(3)可以計算出存在初始疲勞裂紋尖端的應力強度因子：

(4)

2 曲軸軸頸表面半橢圓裂紋應力強度因子的計算

2.1 模型的建立

以整體式壓縮機的曲軸為研究對象，曲軸的主軸頸2R=212 mm，寬度99 mm(文中為減少計算量取20 mm), 預置裂紋直徑2c=4 mm，半徑a=2 mm(初始裂紋)。在Abaqus的part模塊下，建立曲軸主軸頸三維模型，使用該模塊下的掃掠工具進行建立，如圖3。在interaction模塊下完成初始疲勞半圓裂紋的定義，其中裂紋的擴展方向為半徑方向，如圖4。

圖3 軸頸表面裂紋初始位置 圖4 疲勞裂紋定義

由于有限元的計算準確性受到模型劃分網格質量的影響，因此需要對軸頸初始裂紋區域的網格細化，為此選取六面體結構，選擇C3D8R的單元類型，共劃分出網格564 784。此外，由于裂紋尖端具有很高的奇異性，采用標準的5節點楔形單元對初始裂紋尖端進行網格類型的定義，如圖5。

圖5 裂紋尖端網格示意圖

軸頸材料為42CrMo，彈性模量為216 000 MPa，泊松比為 0.3。載荷為拉伸載荷，為軸頸兩個端面施加200 MPa的拉應力，采用靜力通用分析步，初始增量步設定為0.01，并在歷程輸出中輸出裂紋應力強度因子數值。

2.2 應力強度因子的計算結果分析

通過對軸頸初始裂紋的擴展進行仿真分析，可以在Abaqus軟件的輸出文件中直接獲得軸頸初始疲勞裂紋前緣的應力強度因子，并將所得數據進行整理和分析，如圖6。

圖6 軸頸半圓形裂紋前緣應力強度因子

由圖6可知，305.23為裂紋尖端的KI值最大，254.87為裂紋自由邊的KI值最小，通過圖形可以發現KI呈現出兩端大中間小的對稱規律。KII的變化規律與KI相反，其中裂紋尖端的KII值最大為10.60，裂紋自由邊的KII值最小為0.30，圖形呈現出類似拋物線的變化規律。KIII則與KI、KII均不相同，其變化規律呈現出逐漸增加的線性規律。通過對KI、KII、KIII進行比較可以發現，在整個裂紋前緣的三種應力強度因子中，KI數值遠大于KII、KIII，其中KII、KIII最大值也只占到KI最大值的3.4%和3.2%。由此可以發現，在軸頸裂紋發生疲勞擴展的過程中，I型應力強度因子占主導，遠大于II型、III型，說明軸頸裂紋的擴展主要為張開型裂紋。

2.3 裂紋大小的影響

圖7 不同裂紋深度時半圓形初始裂紋尖端A和自由邊B(C)處的KIeq

由圖7可以發現，當載荷不發生變化時，裂紋尖端A和自由邊B(C)處的KIeq值隨著半圓形裂紋半徑的增加呈現出上升趨勢。由于裂紋尖端處的擴展過程對整個裂紋擴展最為重要，因此根據圖7的結果，對A點處應力強度因子與裂紋大小進行了擬合，結果如下：

KIeq=61-57×0.96a

(5)

3 結 論

采用Abaqus分析了含有半圓形初始裂紋的曲軸軸頸的Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型應力強度因子。最后分析了初始裂紋大小對軸頸半圓型裂紋尖端A和自由邊B處復合型裂紋應力強度因子的影響。得到以下結論。

(1) 對于Ⅰ型裂紋，其前緣的應力強度因子表現為自由邊的值大于尖端處的值，并呈現對稱規律。Ⅱ型裂紋前緣的應力強度因子表現出與Ⅰ型相反的變化規律。Ⅲ型呈現出逐漸增加的線性規律。此外，Ⅰ型應力強度因子遠大于Ⅱ、Ⅲ型，因此軸頸裂紋擴展過程表現為張開型。

(2) 通過計算不同初始裂紋大小模型下裂紋前端的應力強度因子，研究裂紋大小對裂紋前端應力強度因子變化的影響發現，在同等受力水平下，KIeq隨裂紋半徑的增大而增大。

(3) 在考慮到裂紋深度對應力強度因子影響的基礎上，給出曲軸應力強度因子的表達式，具有廣泛的適應性，為曲軸的裂紋擴展和剩余壽命預估提供了理論依據。