具有部分分數階擴散項的三維Navier-Stokes 方程的適定性

黃耀芳,李 莉,董 玉,張洪林

（寧波大學 數學與統計學院,浙江 寧波 315211）

Navier-Stokes 方程描述了黏性流體的運動,而三維不可壓方程解的適定性問題仍然是公開的難題.1934 年,Leray[1]證明了不可壓Navier-Stokes 方程全局弱解的存在性.到目前為止,最優的正則性結果仍然歸功于Caffarelli 等[2],他們證明了Navier-Stokes 方程的任何適當弱解的奇異集具有一維Hausdorff 零測度.后來,Lin[3]使用緊性方法證明了相同的結果.Vasseur[4]使用De Giorgi 為橢圓方程引入的方法證明了同樣的結果.由于沒有足夠的耗散來控制方程的非線性性,因此標準的Navier-Stokes 方程是超臨界的.

為了增強Navier-Stokes 方程的耗散,諸多學者進行了一系列改進.考慮具有超耗散的廣義Navier-Stokes 方程

其中u=(u1,u2,u3)表示流體的速度場,p代表壓力.如果α≥ 5/4且初始數據是光滑的,則該方程具有全局光滑解并且解是具有唯一性的[5-8].2009年,Tao[9]研究了具有以下對數形式的超臨界超耗散項的Navier-Stokes 方程:

Tao 改進了上述結果并發現方程(2)對任何光滑且有緊支集的初始數據都有全局光滑解.Barbato 等[10]通過在對數弱耗散項上引入較弱的條件,進一步改進了Tao 的研究結果.學者們還研究了具有超耗散的不可壓磁流體動力學方程,但結果并不完全一樣[7,11].

一些數學家通過研究具有部分超耗散的Navier-Stokes 方程來改進方程(1)的結果.Yang 等[12]減少了方程(1)中的超耗散,研究了以下具有部分耗散的三維Navier-Stokes 方程的全局正則性:

并證明了當u0∈H1(R3)時,方程(3)的強解具有全局存在性和唯一性.2021 年,Li 等[13]證明了u0∈Hs(R3)(s＞ 5/2)時方程(3)H s解的全局存在性和唯一性.

當所有方程中都去除沿x3方向的超耗散時,可得

受Yang 等[12]研究的啟發,本文從u2和u3的方程中去除沿x3方向的超耗散,考慮以下不可壓Navier-Stokes 方程的適定性:

本文證明了方程(5)的1H解的全局存在性和唯一性.需要注意的是,如果u1,u2沒有沿x3方向的耗散,即將從u1,u2的方程中去掉,則使用此方法不能證明以下問題的適定性:

1 主要結果

首先介紹一些符號.在本文其余部分,分數階拉普拉斯算子(-Δ)α是通過傅里葉變換定義的[14]:

本文的主要結果可表示為如下兩個定理.

定理1 假設u0∈H1(R3),則方程(5)存在一個全局解u,且滿足

此外,如果有一個解在更好的函數空間,則可以得到下面的唯一性結果.

定理2 如果u(1),u(2)是方程(5)的兩個解,它們都滿足式(6)并且?9/4u(2)∈L2（0,∞;L2(R3)）,則u(1)≡u(2).

2 全局存在性和正則性的證明

首先給出用于證明上述定理的預備知識.

引理1 (Sobolev 嵌入不等式)假設2 ≤p≤∞且s＞d(1/2 -1/p),則存在一個僅依賴于d,p和s的常數C,使得

此外,如果2 ≤p＜+∞,式(7)對s=d(1/2 -1/p)也成立.

為了交換兩個Lebesgue 范數,證明中將會使用下列Minkowski 不等式和Gagliardo-Nirenberg 不等式.

引理2 (Minkowski 不等式)假設f(x,y)是一個測度函數,x∈Rm且y∈Rn,如果1 ≤q≤p≤∞,則

下面證明解的全局存在性和正則性.取方程(5)與u的內積,分部積分并利用?·u=0得

其中使用了如下記號:

其中

在利用散度條件?·u=0后,可以將I寫為

由于對u1及其導數有更多的控制,所以在此只給出I2和I3估計的計算.首先考慮I2,

將方程(8)中的項根據它們出現的順序依次標記為I21,I22,…,I29.

針對I21,通過分部積分有

利用H?lder 不等式和引理2 得

由Sobolev 不等式可得

和

由基本不等式

和Plancherel 定理,有

應用引理1 和引理3,取p=∞和s=1,有

其中使用了插值不等式

綜合估計式(9)～(13)并使用Young 不等式,有

對于I22的估計,可以利用類似于I21估計的方法.通過分部積分法有

事實上,

其中 ?h=(?1,?2).

針對I23估計,通過分部積分有

事實上,

類似地,

這就確定了I23的估計.

對于I24的估計,通過分部積分有

事實上,

類似地,

這就完成了I24的估計.

為了估計I25,利用分部積分得到

對I26的估計與I24類似.通過分部積分有

事實上,

同理得

因此就得到了I26的估計.

為估計I27,通過分部積分可以得到

對I271的估計與I22的估計類似,因此有

類似地,

因此就完成了I27的估計.

現在轉向I28和I29.通過分部積分和散度條件?·u=0得

對I20的估計與I21類似.因此可得

這就完成了I2的估計.

現在考慮I3.注意 ?3u3出現在I3的許多項中,通過散度條件可以將其轉換為 -(?u11+?2u2).更準確地說,

將方程(14)中的項根據它們出現的順序依次標記為I31,I32,…,I39.

首先處理I31.

通過分部積分有

對I321的估計與I22的估計類似,因此有

類似地,

用估計I321的方法去估計I33得

通過分部積分可得

對I341的估計跟I331的估計方法類似,因此有

同理得

現在轉向I35和I36.根據分部積分和散度條件?·u=0有

通過分部積分可得

因此有

考慮I37,通過分部積分得

事實上,

類似地,

根據?·u=0可得

用分部積分可以計算出

其中

由于I382=-I22,因此省略.

根據散度條件 ?·u=0,可以計算出

因此

利用散度條件?·u=0可以得到

由分部積分可得

因此

同理得

根據I342的估計,可以得到

正如之前提到的,u1包含三個方向的擴散,因此I1的估計比I2和I3更簡單,故在此省略了相關計算.將上述所有估計綜合在一起得到

通過Gr?nwall 不等式可知

則全局存在性和正則性成立.

3 唯一性的證明

本節證明定理2 中的唯一性結果.

則其滿足

由H?lder 不等式和引理1 得

其中使用了插值不等式

從而

類似地,

結合J1,J2和J3的估計得