力密度法在空間索面人行懸索橋主纜找形分析中的應用

朱友鎧

（西華大學建筑與土木工程環境學院，四川 成都 611730）

0 引言

近年來，隨著我國旅游業的高速發展，人行懸索橋由于其強大的跨越能力和優美的結構形式廣泛地應用于中西部山區和部分旅游景區。目前,對懸索橋主纜線路形的計算基礎理論研究,大致包括了傳統的拋物線基礎理論、分段拋物線基礎理論、分段直線基礎理論以及分段懸鏈線基礎理論等,在忽視了主纜抗彎剛度的因素下,以分段懸鏈線基礎理論較為準確[1]。平行索面懸索橋幾種設計方法的誤差探討已較完善，如唐茂林《大跨度懸索橋空間幾何非線性分析與軟件開發》[2]。而關于空間索面吊橋各設計理論的最大誤差及其應用情況的探討,目前國內研究尚缺乏。本文對力密度法在空間索面懸索橋主纜找形分析中的應用進行介紹。

1 力密度法

1.1 力密度法的概念

力密度法是一個高效的索膜結構找形方法,所謂“力密度”便是桿單元內力和長度之比，由H.J.Shcek首先提出，并用于索網與膜結構等建筑物的找形分析，后來針對膜結構的特點，L.Grunidg等人改進并推廣了該理論[3]。通過對節點平衡方程組加以適當的變化,在引入力密度法后可以將非線性方程組化為一次方程組，在簡化運算的同時，也提高了運算的速度和精確度。通過選取所預期的力密度值作為平衡方程中的已知值,從而獲取有關節點位置的線性方程組,進而求出節點的三維坐標,便可得出所欲解析結構的幾何線形,并同時求出各單元的內力及無應力長度,通過該方法規避了初始坐標系的設置和非線性控制系統的收斂兩大問題。

1.2 力密度法的基本原理

在基于力密度法的找形計算中,主要基礎技術參數包含:單元與節點之間的拓撲聯系、邊界約束要求、平衡內力分布和平衡條件下的結構幾何形狀，結構的拓撲聯系確定了結構單元和連接節點之間的規律和次序[4]。

根據力密度的基本原理，將描述各單元與節點聯系的拓撲矩陣定義為：

式中：e——單元編號，取值范圍為[1，m]；

i——節點號，取值范圍為[1，n](n為自由節點和固定節點之和)；

Ct——有m行和n列。

以x方向為代表,假設節點位置由n維向量{x}組成，則得到各節點的位置差矢量{u}為：

設單元長度和單元內力的m維向量分別為{l}和{t},外荷載向量為{P}。取屬于{u}和{l}的對角矩陣[U]和[L]，即可表示各節點的合力均為零。其中[U]屬于{u}的意義為將m維矢量{u}轉化為m×m維的對角矩陣[U]。則結構平衡關系表達式為：

令：

則可以得到等效于式（3）的方程。

此時力密度為m維的矢量{q}為單元內力與單元長度之比。據式（4）可得出平衡方程為：

據：

式中：[Q]——屬于{q}的對角矩陣，將式（6）代入式（5）后得：

令：

則式（7）改寫為：

式（8）為力密度法的基本方程組。式中，n維方陣[D]是[Ct]的廣義高斯變換，對角矩陣[Q]的元素為力密度，若結構中不存在孤立點，且q>0，則[D]為正定矩陣。

對于任何一個既定的荷載體系，就有一組與之相對應的力密度值，且在這組力密度下的荷載體系擁有其唯一平衡形態：

單元內力{t}為：

對于既定的結構內部關系即為拓撲矩陣，在已知的荷載和邊界條件下，矢量{q}和平衡形態的改變保持同步。由此可見，根據力密度法對空間索面懸索橋主纜結構體系進行描述是適用的。

2 程序實現

2.1 力密度法找形基本假定

分析與設計程序中，假定：

（1）材料遵循胡克定律，應力-應變呈線性關系；

（2）主纜屬于既不受壓也不受彎的理想柔性，因主纜的截面尺寸與索長相比非常小，所以截面的抗彎剛度在計算中可以忽略不計；在索曲線有轉折的地方，如果轉折的曲率半徑足夠大，那么局部彎曲同樣忽略不計；

（3）由于懸索橋主纜橫截面積在外荷載作用下變化量十分微小，因此在計算纜索變形時主纜的抗拉剛度忽略這種變化帶來的細微影響[5]。

2.2 空纜纜型求解

由于空纜主跨垂度為已知量，因此可以將主纜的垂度作為迭代求解的重要依據。在此過程中，其他所需基本參數如下：單元數、節點數、邊界條件、節點荷載數、主纜自重集度、垂度、彈性模量、力密度區間及收斂限等。主纜線形求解流程如圖1所示。

圖1 主纜線形求解流程圖

將上述參數進行編輯，利用Matlab軟件的強大的矩陣運算功能進行編程求解。根據力密度法，則式（10）可改寫為：

由式（12）~（14）則可以求出任意張力體系下自由節點的坐標，從而獲得體系平衡狀態的精確位置。當懸索橋主纜的荷載及約束條件確定后，主纜的最終狀態也是唯一的。因此，在此方法中，以主纜垂度作為控制條件，找到一組合適的力密度值，進而完成各索段的循環分析。

3 工程算例與找形結果分析

本文以某空間索面懸索橋為工程背景（見圖2），該橋僅在跨中495m長度范圍內設加勁梁，兩側分別有55.0m和60.0m無吊索區。主塔為非對稱設計，一側主塔塔頂高程為891.0m，主纜橫向間距為3.0m；另一側主塔塔頂高程為911.0m，主纜橫向間距為30.0m；中跨主纜跨中在恒載作用下成橋垂度為50.0m，成橋矢跨比為1/12。

圖2 橋型布置圖

該橋設置上游、下游兩根主纜，主纜采用預制平行鋼絲索股，每股由91根直徑為5.3mm鍍鋅高強鋼絲組成，鋼絲標準抗拉強度不小于1960MPa，每根主纜由37股索股組成。

針對該橋空纜線形的確定問題，基本參數如下：索塔高差h=20m，主纜計算跨徑L=600m，無應力長度分別為609.5841m和609.8555m，等效直徑D=307.537mm，等效橫截面積A=0.07428m2，彈性模量E=1.98E+5MPa，沿主纜弦線的自重均布荷載為q=5831.1N/m。單幅空纜狀態線形計算結果見圖3。

圖3 懸索橋單幅空纜狀態計算線形

為驗證本文采取的力密度法應用于空間索面懸索橋主纜找形研究的正確性，根據計算結果采取Midas/Civil有限元軟件對其建立有限元模型并進行自平衡校驗。Midas/Civil有限元模型見圖4，主纜位移分析結果見圖5。

圖4 中跨空纜有限元模型圖

圖5 單幅空纜狀態位移分析結果

從主纜橫橋向和縱向位移結果可以看出：基于力密度法理論建立的Midas/Civil有限元模型靜力分析中主纜橫橋向位移均小于0.01mm；主纜豎向位移最大值僅為3.047mm，表明力密度法應用于空間索面懸索橋主纜找形得出的計算結果精度高，且滿足工程精度要求。

4 結束語

通過對力密度法的推演、程序實現以及依托工程的算例分析，得出以下結論：

（1）力密度法在空間索面懸索橋主纜進行找形分析中具有較強的適用性和可靠性，能將計算結果應用于施工流程中，同時成為施工作業的指導性資料，能更有效地幫助空纜架設的順利進行。

（2）力密度法及本文基于力密度法的實現程序，對其他類型懸索橋同樣適用，根據力密度法原理，力密度在結構體系各單元中的分布規律和相對值才是真正影響找形結果的因素，因此，通過計算迭代得出一組合適的力密度值，不僅規避了初始坐標問題和非線性系統的收斂問題，而且進一步證實了力密度法在空間索面懸索橋主纜找形分析中具有收斂穩定、高效率和高精度的特點。