基于模態試驗的夾具及產品模型修正

趙艷濤，陳耀，賈俊杰

（航天科工防御技術研究試驗中心，北京 100854）

前言

模態試驗與模態仿真是相輔相成的。建立的有限元模型后是否能夠開展應用，需要對有限元模型進行校準，模態試驗結果作為依據，通過修正有限元模型使模態仿真結果和模態試驗結果一致。本文采用錘擊法模態試驗獲取夾具、產品及組合體的各階振型、模態頻率等指標，作為修正有限元模型的依據，夾具、產品以及組合體分別依據模態試驗結果進行有限元模型修正，經過修正后的有限元模型可以用來搭建虛擬振動系統。

1 模態分析的基本理論[1-3]

對于一個結構來說，模態頻率、模態阻尼都是結構的本構特征，從數值上講是常值。模態分析就是對結構頻率響應譜中所有共振點模態進行識別從而得出結構特性。試驗模態通過對結構的動態測試和信號分析，來確定結構的模態參數。

在有限元法中，當把結構離散化為各種單元，組裝得到整個結構的運動方程為：

式中：

[M]—系統的質量矩陣；

[C]—系統的阻尼矩陣；

[K]—系統的剛度矩陣；

這是1個互相耦合的方程組，通過坐標變換將這個耦合的方程組變成一組正交的新的坐標系，即模態坐標，將復雜的多自由度系統簡化為一系列單自由度系統。這個模態坐標中的固有頻率、阻尼、質量、剛度等稱為模態參數，各階固有頻率下的模型各部位的位移即為模態振型。

假設系統初始狀態為零，對方程兩邊進行傅氏變換：

反映了i點激勵到j點響應之間的傳遞關系函數。反映了i點激勵對j點響應的貢獻，即i點激勵（其余部位激勵力為零）時，j點響應與i點激振力之比。

解微分矩陣方程（1），得到其特征值和特征向量便得到系統的固有頻率ωr和振型φr，振型具有正交性，同M、C、K均為實對稱陣，故而可以利用φr組成矩陣Φ=[φ1，φ2，φ3…φN]，對M、C、K進行對角化，得：

式中：

ωr—模態頻率；

φr—模態振型；

mr—模態質量；

cr—模態阻尼；

kr—模態剛度，代入（4）中得到模態參數表示的頻率響應函數矩陣。

可以看出，多自由度系統的頻響函數是系統各階特征值和特征向量的線性疊加。所以對線性系統來說，可以通過模態疊加的方法求得計算系統的響應。頻率響應矩陣的任意一行或任意一列包含模態參數的足夠信息。

完成模態試驗并進行模態參數辨識后應該驗證模態試驗的質量，通常可采用模態置信矩陣（Modal Assurance Criterion, MAC）來判斷模態振型的正交性。如果模態試驗質量較好，那么模態置信矩陣的主對角元素應該為1，非對角元素為0[4]。

2 模態試驗的基本流程

模態試驗假設一個結構的模態可以在除節點外的任何一點激勵出來，只需測頻率響應函數矩陣H(ω)的一行（多點激勵單點測量）或一列（單點激勵多點測量）就可以了。因此這里采用單點激勵、多點測量的方式。模態試驗示意圖如圖1所示。力錘敲擊激勵點通過力傳感器采集激勵力信號，測點布置ICP傳感器采集響應加速度信號，激勵力和響應加速度信號進入數據采集系統，通過模態分析軟件提取相應的傳遞函數進而識別出模態參數。

圖1 模態試驗示意圖

采用橡皮繩懸掛法，在這種“自由狀態”下可以測得更真實的結構模態。懸掛頻率低于1 Hz，夾具和產品的彈性振動固有頻率在30 Hz以上，遠低于被測試件的一階諧振頻率。避免了懸掛系統對被測試件固有特性的影響。

被測試驗件為中小型結構且為低阻尼結構，因此激勵方式采用錘擊法，不會給被測結構件附加任何質量而影響其的動態特性。信號處理加矩形窗。錘擊法能量小，測量信噪比低，采用5次敲擊的數據平均處理來消除噪聲的干擾，錘擊過程中避免連擊，每一次激勵的時間間隔不少于5 s。根據被測試件的質量和剛度，選擇合適的錘頭質量、錘頭材料，結合敲擊者的經驗，在整個頻段上相干越接近1越好，相干性作為判斷力錘敲擊測得的頻響函數（FRF）好壞的依據。信號采集需要選用合適的量程，使激勵和響應在合適的范圍內，量程過大采集信號不準確，量程過小會出現信號截斷，保證每一次激勵和響應信號測試的有效性。

激勵點如果選擇在節點上就激發不出來相應的模態，為了避免這種情況，通常要選用兩個以上激勵點開展模態試驗來進行相互備份和驗證。測得幾個頻響函數并進行比較，選擇曲線光滑、清晰的頻響函數，將關心頻段內相干達到0.9以上的點為激勵點。

測點采用均勻分布的原則，傳感器的選擇和安裝對測量結果都具有重要的影響，傳感器要求動態范圍寬、工作頻段寬、低頻性能好、線性度好、體積小、質量小[5]。

3 夾具及產品的模態試驗及模型校準

建立有限元模型，在保證模態試驗結果可信的基礎上修正有限元模型，使模態仿真和模態試驗結果一致。修正模型的過程如下：在振型一致、幾何模型與實物相符的前提下調整材料參數，在參考材料基本參數的基礎上，首先微調密度來保證質量與實際質量一致，再微調彈性模量，使模態仿真結果與模態試驗結果比較接近，固有頻率最大相對誤差在5%以內。則可認為有限元模型是可信的。

3.1 夾具的模態試驗及模型校準

夾具為平板狀夾具，見圖2。先開展夾具的模態試驗，將模態試驗結果作為參照，夾具模態試驗的MAC矩陣如圖3。在保證夾具質量和實物一致的前提下，微調彈性模量，使夾具模態仿真結果和模態試驗結果一致,夾具模態仿真結果和模態試驗結果見表1。夾具的參數為：密度：2 707 kg/m3，彈性模量：7.1×1010Pa ， 泊松比0.33。

表1 夾具模態仿真和模態試驗固有頻率比較

圖2 夾具

圖3 夾具模態試驗MAC矩陣

3.2 產品的模態試驗及模型校準

產品為類圓筒狀結構體。先開展產品的模態試驗，將模態試驗結果作為參照，產品模態試驗的MAC矩陣如圖4。和前文的模型修正方法相同，在保證產品質量和實物一致的前提下，微調彈性模量，使產品模態仿真結果和模態試驗結果一致,產品模態仿真結果和模態試驗結果見表2。修改后產品的參數為：密度：2 850 kg/m3，彈性模量：7.5 e10 Pa，泊松比0.3。

圖4 夾具模態試驗MAC矩陣圖5 組合體模態試驗MAC矩陣

表2 產品模態仿真和模態試驗固有頻率比較

3.3 組合體的模態試驗及模型校準

將模型和參數修改后的夾具和產品組合在一起，實物采用螺栓連接并開展模態試驗，將模態試驗結果作為參照。在有限元軟件里將螺栓連接處采用固定約束。組合體模態試驗的MAC矩陣如圖5，組合體模態仿真結果和模態試驗結果見表3。

表3 組合體模態仿真和模態試驗固有頻率比較

模態試驗和模態仿真是相輔相承的。一方面，在模態試驗前可以開展初步開展模態仿真，在大致了解了模態振型、節點等信息后，可以為模態試驗的測點、激振點的布點提供參考，避免激振點布置在節點，另外要布足夠的測點以及選擇合適的測點方向從而能完整表征振型。參考仿真的模態振型結果而不參考仿真的模態頻率結果，如果測點布置不夠，模態試驗就不容易分辨出振型來。另一方面，模態試驗結果作為修正模態仿真結果的依據，在二者振型對應一致的前提下修改有限元模型使二者的模態頻率也對應一致，在建有限元模型時會對模型進行簡化，材料參數和實際也會存在差異，因此模態仿真結果會和模態試驗結果存在差異。根據模態試驗結果來修正有限元模型，包括適當修改材料參數，優化網格等方法來使模態仿真結果和模態試驗結果在模態頻率和模態振型都一致起來。另外模態試驗結果和模態仿真結果不是一一對應的，往往仿真結果會比試驗結果的模態數量多，因為模態試驗時布置的測點是有限的，特別是高頻段實際模態比較密集，很多模態識別不出來，模態試驗結果和仿真結果會存在較大的差異。所以在修正有限元模型的過程中，要結合振型進行比對，對前幾階的重要模態進行對比和修正，使仿真結果和試驗結果對應。經過模態試驗修正過的有限元模型才具有工程實用價值。系統的響應可以看做各階模態振型響應的疊加[6]。

4 總結

模態試驗是進行有限元模型校準的有效手段，建立了夾具、產品、組合體在自由狀態下的有限元模型，并逐級分別進行相應的模態試驗，將模態試驗結果作為參照，校準有限元模型，使仿真結果和試驗結果的主要模態頻率誤差在5 %以內，滿足工程上的精度要求，則可以認為有限元模型是可信的，可以應用于后續的虛擬試驗。