非自治Schr?dinger-Bopp-Podolsky系統(tǒng)的基態(tài)解①

賈春容， 李麟，2

1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 400067； 2.經(jīng)濟(jì)社會(huì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400067

本文主要研究非自治Schr?dinger-Bopp-Podolsky系統(tǒng)基態(tài)解的存在性：

(1)

其中a>0，K(x)和b(x)滿足條件：

近年來(lái)， Schr?dinger-Bopp-Podolsky(簡(jiǎn)稱SBP)系統(tǒng)受到越來(lái)越多的關(guān)注． 文獻(xiàn)[1]證明SBP系統(tǒng)解的存在性與不存在性依賴于參數(shù)p和q； 隨后文獻(xiàn)[2]通過(guò)纖維法證明當(dāng)q足夠大時(shí)， SBP系統(tǒng)沒(méi)有解； 當(dāng)q足夠小時(shí)， SBP系統(tǒng)有兩個(gè)鏡像解； 文獻(xiàn)[3]使用Pohozaev-Nehari流形的方法證明非線性項(xiàng)臨界增長(zhǎng)的SBP系統(tǒng)存在基態(tài)解． 目前只有關(guān)于SBP系統(tǒng)自治的研究， 如文獻(xiàn)[3-6]， 未考慮非自治的情況． 受文獻(xiàn)[7-8]的啟發(fā)， 發(fā)現(xiàn)K(x)和b(x)對(duì)系統(tǒng)有影響． 本文利用文獻(xiàn)[8]中的思想來(lái)研究非自治SBP系統(tǒng)的基態(tài)解． 變分方法是一類很重要的方法， 已經(jīng)在其他問(wèn)題上用這個(gè)辦法解決了很多問(wèn)題[9-11].

本文通過(guò)建立緊性引理和使用Nehari流形的方法去找SBP系統(tǒng)的基態(tài)解． 為得到基態(tài)解的存在， 對(duì)K(x)和b(x)給出如下假設(shè)條件：

(B) 對(duì)所有的x∈R3有K(x)≤K∞，b(x)≥b∞成立， 且b(x)-b∞>0在一個(gè)正可測(cè)集上.

本文主要結(jié)果如下：

定理1如果滿足條件(A)和(B)， 則系統(tǒng)(1)有一個(gè)基態(tài)解.

注1本文主要在R3中討論SBP系統(tǒng)基態(tài)解的存在， 最大的困難在于我們無(wú)法在全空間R3中得到嵌入緊性． 為了克服障礙我們利用分裂引理恢復(fù)有界Palais-Smale序列的緊性． 同時(shí)為了找到方程對(duì)應(yīng)能量泛函的臨界點(diǎn)， 我們將通過(guò)限制在一個(gè)Nehari流形上， 然后尋找最小能量解． 文獻(xiàn)[12]已經(jīng)證過(guò)Nehari流形上的解， 就是原問(wèn)題的基態(tài)解.

本文根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的方法， 首先對(duì)系統(tǒng)的第二個(gè)方程進(jìn)行約化， 變成單變量方程， 系統(tǒng)(1)約化后的單變量方程如下：

-Δu+u+K(x)φK，uu=b(x)|u|p-2u在R3中

(2)

然后給出包含N的主要性質(zhì)的引理.

引理1

(i) N是一個(gè)C1正則流形同構(gòu)于H1(R3)的一個(gè)球；

(ii) 在N上， 存在C2∈R， 有u∈N， 使得J(u)>C2>0；

(iii)u是J的一個(gè)自由臨界點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)u是J限制在N上的臨界點(diǎn).

‖un‖≥C>0

(6)

因?yàn)镴是一個(gè)C2(H1(R3)， R)泛函，G是一個(gè)C1泛函， 則由(6)式推出

(7)

(iii) 與文獻(xiàn)[7]中的引理3.1(3)的證明一樣.

設(shè)m： =inf{J(u)：u∈N}． 由引理1中(ii)知，m是一個(gè)正常數(shù)． 由引理1中(i)知， 任意的u∈H1(R3)對(duì)應(yīng)(唯一)一個(gè)t(u)>0， 使得 J(t(u)u)=maxt(u)>0J(t(u)u)成立.

(8)

證與文獻(xiàn)[1]中引理4.5證明類似， 此處省略證明過(guò)程.

命題1存在w∈M， 使得I(w)=c成立.

現(xiàn)回到方程(2)， 基于J的臨界點(diǎn)的研究， 通過(guò)考慮(1)式的(PS)序列的情況， 得出如下引理.

(iv)uk是方程(8)的非平凡解． 若l=0， 則(2)式存在一個(gè)解u.

推論1設(shè){un}是一個(gè)(PS)d序列， 則對(duì)所有d∈(0，c)， {un}是相對(duì)緊的.

利用上述已證引理， 現(xiàn)給出定理1的證明.

定理1的證明為求證定理1， 由推論1可知， 現(xiàn)只需證明m0使tw∈N． 因?yàn)閠w∈N，w∈M和(B)成立， 則

即w∈N， 有I (w)=c． 所以w∈N是J的一個(gè)臨界點(diǎn)， 故由引理1(iii)知，w是J的一個(gè)自由臨界點(diǎn)， 最后得出(w，φK， w) ∈H1(R3)×D是(1)式的一個(gè)基態(tài)解.