二元對(duì)稱多項(xiàng)式空間的冪和基①

倪雨晴， 李雪珊

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 400715

給定正整數(shù)k， 設(shè)f(x)=f(x1，x2， …，xk)是域K上的一個(gè)多項(xiàng)式， 若對(duì){1， 2， …，k}的任意一個(gè)排列ω， 有

f(x1，x2， …，xk)=f(xω(1)，xω(2)， …，xω(k))

則稱f(x)是一個(gè)k元對(duì)稱多項(xiàng)式． 令Λk為所有k元對(duì)稱多項(xiàng)式構(gòu)成的向量空間， 則

首先， 給出一些基本概念及記號(hào).

其中α取遍λ的所有不同排列.

對(duì)正整數(shù)i， 定義

及

給定分拆λ=(λ1，λ2， …，λl)， 定義初等對(duì)稱多項(xiàng)式eλ=eλ1eλ2…eλl， 完全齊次對(duì)稱多項(xiàng)式hλ=hλ1hλ2…h(huán)λl以及冪和對(duì)稱多項(xiàng)式pλ=pλ1pλ2…pλl.

命題1[8]對(duì)任意正整數(shù)n，

{mλ：λ|-n，l(λ)≤k}

(1)

{eλ：λ|-n，λ1≤k}

(2)

{hλ：λ|-n，λ1≤k}

(3)

{pλ：λ|-n，l(λ)≤k}

(4)

注文獻(xiàn)[8]的推論7.8.2實(shí)際給出的是(1)，(2)，(3)式以及

{pλ：λ|-n，λ1≤k}

(5)

證由文獻(xiàn)[8]的推論7.7.6，

其中對(duì)λ=〈1j12j2…〉|-i， 有zλ=1j1j1!2j2j2!…，ελ=(-1)i-l(λ)． 由對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理知， {e1，e2， …，ek}是Λk的代數(shù)獨(dú)立生成元， 所以{p1，p2， …，pk}是Λk的生成元． 因此

定義1給定正整數(shù)n， 設(shè)A是Par(n)的子集， 若

{pλ(x1，x2， …，xk)：λ∈A}

(6)

線性無關(guān)(相關(guān))， 則稱A是k-線性無關(guān)(相關(guān))的． 記

p(n，k)=#{λ：λ|-n，l(λ)≤k}

由命題1及命題2知

s1(n，k)={pλ(x1，x2， …，xk)：λ|-n，l(λ)≤k}

及

s2(n，k)={pλ(x1，x2， …，xk)：λ|-n，λ1≤k}

s(n，k)={pλ(x1，x2， …，xk)：λ|-n}

(7)

即p(1， 1， 1， 1)(x1，x2)，p(2， 1， 1)(x1，x2)，p(3， 1)(x1，x2)線性相關(guān).

pμ∪(1， 1， 1， 1)(x1，x2)=3pμ∪(2， 1， 1)(x1，x2)-2pμ∪(3， 1)(x1，x2)

因此s(n， 2)的任意包含{pμ∪(1， 1， 1， 1)(x1，x2)，pμ∪(2， 1， 1)(x1，x2)，pμ∪(3， 1)(x1，x2)} 的p(n， 2)元子集都是線性相關(guān)的． 更一般地， 我們有：

命題3設(shè)A是Par(n)的一個(gè)p(n，k)元子集， 若存在μ∈Par， 及A′?Par， 使得A′是k-線性相關(guān)的， 且{λ∪μ：λ∈A′}?A， 則A也是k-線性相關(guān)的.

定理1設(shè)A?Par(n)， 令

證對(duì)正整數(shù)n， 有

以下用反證法證明當(dāng)n=2r-1時(shí)，A′也線性無關(guān)． 若不然， 則存在常數(shù)a1，a2，…，ar， 使得

(8)

一方面， 考慮到

因此我們有

(9)

另一方面， 設(shè)λ*=〈2m24m4…2rm2r〉， 則我們有

(10)

將(9)，(10)式代入(8)式并比較m(n+1-j， j)(0≤j≤r)的系數(shù)得如下r+1個(gè)等式：

(11)

由前r個(gè)等式， 有