基于正截面承載力及撓度控制的單筋矩形截面梁設計

徐 壯，蘇麗梅，張瑞剛

(1.長江水利委員會 河湖保護與建設運行安全中心，湖北 武漢 430014； 2.重慶市萬盛經濟技術開發區交通局，重慶 400800)

0 引 言

當梁截面尺寸及縱向配筋參數均未知時，傳統設計方法是先憑借梁高跨比經驗取值假定截面高度，再根據GB 50010-2010《混凝土結構設計規范》(以下簡稱《規范》)的相關公式進行縱向受力鋼筋面積計算及撓度驗算。對于單筋矩形截面梁，由于傳統方法不能主動控制梁截面混凝土受壓區高度，往往會出現少筋梁或超筋梁的現象，還可能不滿足撓度驗算要求，因而需重復設計，過程繁瑣且不直觀。張會平[1]推導了單筋受彎構件正截面配筋設計的簡化計算公式；張立人等[2]提出利用弦桿法簡化計算混凝土受彎構件正截面承載力；曾彬峻等[3]利用罰函數法對鋼筋混凝土梁的截面尺寸和鋼筋用量進行了優化設計；張鵠志等[4]對不同荷載工況下的鋼筋混凝土深梁開展了拓撲優化設計研究。Aschheim等[5]提出了一種用于單軸或雙軸彎曲的梁、柱和墻截面配筋設計的直接計算方法。

《規范》提倡采用HRB400和HRB500作為梁的縱向受力普通鋼筋，并規定當采用強度等級為400 MPa及以上的鋼筋時，混凝土強度等級不應低于C25。因此，本文主要探討以下不同強度等級的材料組合情況：① 縱筋采用HRB400，混凝土等級為C25、C30及C35；② 縱筋采用HRB500，混凝土等級為C30、C35及C40。當梁的縱向配筋率取經濟配筋率[6-7]ρ∈[0.6%，1.5%]，縱筋及混凝土采用以上組合時均為適筋梁。

本文將《規范》相關公式進行簡化，在縱向受力鋼筋取經濟配筋率的條件下，推導出滿足正截面承載力要求的梁截面高度計算公式。同時，通過簡化得出短期剛度系數的表達式，進而推導出由撓度驗算控制的梁截面高度計算公式。綜合正截面承載力及撓度驗算雙重控制計算所得的結果，即可簡單便捷地確定合理的梁截面高度。

1 正截面承載力控制的梁高度計算公式

根據《規范》，對于適筋情況下的單筋矩形截面梁，其正截面承載力計算公式為

α1fcbx=fyAs

(1)

(2)

式中：α1為fc的調節系數，當混凝土強度等級不超過C50時，α1取1.0，當混凝土強度等級為C80時，α1取0.94，其間按線性內插法確定；fc，fy分別為混凝土軸心抗壓強度設計值和鋼筋抗拉強度設計值；b為梁的截面寬度；x為混凝土受壓區高度；As為受拉區縱向鋼筋的截面面積；M，Mu分別為梁的彎矩設計值和正截面受彎承載力設計值；h0為截面有效高度，h0=h-as，其中h為梁截面高度，as為全部縱向受拉鋼筋合力作用點至截面近邊緣的距離。

聯立式(1)、(2)得

(3)

將梁的縱向受拉鋼筋配筋率ρ=As/bh0代入式(3)，根據h0=h-as，取h0≈0.93h[8-9]，則：

(4)

由式(4)可得

(5)

(6)

上述式中：梁的截面寬度b按構造要求確定；當梁的縱向受拉鋼筋配筋率ρ∈[0.6%，1.5%]時，截面高度系數α與配筋率ρ的關系如圖1所示。

圖1 截面高度系數α與配筋率ρ的關系曲線Fig.1 Relation between section height coefficient α and reinforcement ratio ρ

由圖1可知，當縱筋的強度等級相同，而混凝土的強度等級不同時，各曲線非常接近。經比較，忽略混凝土強度等級差異的誤差變化范圍為1.3%～4.1%，能滿足工程設計的精度要求。

當ρ=1%時，截面高度系數α的偏上限取值為① 采用HRB400級鋼筋時，α=0.616；② 采用HRB500級鋼筋時，α=0.561。結合式(6)及圖1的變化趨勢，并引入配筋率影響系數η，得到梁截面高度的偏上限取值表達式如下。

梁的縱筋采用HRB400級鋼筋時：

(7)

梁的縱筋采用HRB500級鋼筋時：

(8)

式中：當ρ=1%時，η=1.0；當ρ=0.6%時，η=1.247；當ρ=1.5%時，η=0.856；其他配筋率時根據式(9)依次進行線性插值。

η=0.856+43.44×(1.5%-ρ)

(9)

2 撓度控制的梁高度計算公式

《規范》規定：進行普通鋼筋混凝土受彎構件的撓度驗算時，應采用荷載準永久組合計算。在余先聲、張京穗等[8-9]的研究基礎上，設K=Mq/M。其中：Mq為按荷載準永久組合計算的彎矩值，M為彎矩設計值；具體計算見GB 50009-2012《建筑結構荷載規范》及《實用建筑結構靜力計算手冊》[10]。

設梁的短期剛度為Bs，單位為N·mm2，對于單筋矩形截面梁，根據《規范》有：

(10)

式中：Es，Ec分別為鋼筋和混凝土的彈性模量，N/mm2；ψ為裂縫間縱向受拉鋼筋應變不均勻系數。令梁短期剛度Bs=βsEcI，其中截面慣性矩I=bh3/12，βs為梁的短期剛度系數。經公式轉換可得

(11)

根據《規范》，鋼筋牌號為HRB400時Es=2.0×105N/mm2，fy=360 N/mm2；鋼筋牌號為HRB500時Es=2.0×105N/mm2，fy=435 N/mm2；C25，C30，C35和C40的Ec分別取2.80×104，3.00×104，3.15×104N/mm2和3.25×104N/mm2，相應ftk分別取1.78，2.01，2.20 N/mm2和2.39 N/mm2，fc分別取11.9，14.3，16.7 N/mm2和19.1 N/mm2。根據本文中的幾種不同強度等級材料組合情況，將上述參數代入式(11)得到相應短期剛度系數βs的具體表達式如下。

梁的縱筋采用HRB400級鋼筋時：

(12)

梁的縱筋采用HRB500級鋼筋時：

(13)

根據《規范》規定：單筋矩形截面梁采用荷載準永久組合并考慮荷載長期作用影響時，其剛度應按式(14)計算。

B=Bs/2

(14)

式中：B為矩形截面梁按荷載準永久組合計算并考慮荷載長期作用影響的剛度。

以承受均布荷載兩端簡支的單筋矩形截面梁為例，當采用荷載準永久組合時，滿足撓度驗算要求的梁截面高度計算公式如下。

(15)

式中：f，flim分別為梁跨中撓度和撓度限值；Mq為按荷載準永久組合計算的彎矩值；l0為梁的計算跨度。由式(15)可得

(16)

對于承受集中荷載或其他支承條件的情況，可根據具體條件計算相關參數，參考上述算式推導出相應的計算公式。

3 計算公式應用

3.1 應用步驟

(1) 按構造要求確定梁截面寬度b，并在經濟配筋率即[0.6%，1.5%]范圍內，選定縱筋配筋率ρ。

(2) 將配筋率ρ代入式(9)，計算得到η。

(2) 根據式(7)或式(8)計算得到滿足正截面承載力要求的梁截面最小高度hmin1。

(3) 根據K=Mq/M，計算K值。

(4) 將K值及選定的配筋率ρ代入式(12)或式(13)，求得短期剛度系數βs，再將相關參數代入式(16)，可得由撓度驗算控制的梁截面最小高度hmin2。

(5) 取hmin=max{hmin1，hmin2}，并考慮模數要求，從而可確定能同時滿足正截面承載力及撓度要求的梁截面高度h。

(6) 取h0≈0.93h，可根據As=ρbh0求出縱向受力鋼筋的面積。

3.2 算例驗證

3.2.1 算例1

簡支矩形截面梁混凝土強度等級為C25，采用HRB400級鋼筋，混凝土保護層c=25 mm，承受均布荷載，梁的計算跨度l0=6.0 m。跨中彎矩設計值M=81.2 kN·m，按荷載效應準永久組合計算的Mq=41.7 kN·m，撓度限值flim=l0/250。

3.2.1.1 按本文方法設計

設梁截面寬度b=200 mm，基于隨機數學理論方法，利用隨機函數RAND在經濟配筋率[0.6%，1.5%]范圍內隨機生成2個ρ值，分別為1.29%、0.88%。

3.2.1.2 按《規范》公式驗算

3.2.2 算例2

簡支矩形截面梁混凝土強度等級為C35，采用HRB500級鋼筋，混凝土保護層c=25 mm，承受均布荷載，梁的計算跨度l0=6.5 m。跨中彎矩設計值M=130 kN·m，按荷載效應準永久組合計算的Mq=60 kN·m，撓度限值flim=l0/250。

3.2.2.1 按本文方法設計

設梁截面寬度b=200 mm，基于隨機數學理論方法，利用隨機函數RAND在經濟配筋率[0.6%，1.5%]范圍內隨機生成2個ρ值，分別為1.08%、0.75%。

經計算，K=60/130=0.462，由式(13)得βs=0.388，又已知Ec=3.15×104N/mm2，flim=26 mm，將相關參數代入式(16)，可得hmin2=464 mm。

3.2.2.2 按《規范》公式驗算

4 結 論

(1) 本文在滿足正截面承載力及撓度驗算要求的基礎上，推導了用以確定縱筋配筋率ρ∈[0.6%，1.5%]時的單筋矩形截面梁截面高度的簡化公式，克服了傳統方法憑經驗取值的不足。通過選取配筋率ρ值并將其他已知參數代入相應的公式，即可得到符合要求的梁截面尺寸及縱向配筋量。

(2) 該方法能主動控制截面混凝土受壓區高度，有利于設計的優化，且不需再驗算是否出現少筋梁或超筋梁情況，也避免了撓度驗算的繁瑣過程。同時，梁的延性在經濟配筋率范圍內能夠得到保證。

(3) 由于選配鋼筋時，梁的實際配筋量一般會略大于計算配筋量，因而可有效保證設計結果滿足要求；但若出現不能滿足裂縫寬度要求的情況，則需適當增大配筋量或調整鋼筋直徑大小。

(4) 對于承受集中荷載或其他支承條件的單筋矩形截面梁，則根據具體情況計算彎矩值，將相關參數代入相應的撓度計算公式，同樣可通過類似方法推導出滿足撓度驗算要求的截面高度計算表達式。