一類二階非齊次邊值問題正解的存在性與多解性

石軒榮

一類二階非齊次邊值問題正解的存在性與多解性

石軒榮

（西北師范大學 數學與統計學院,甘肅 蘭州 730070）

正解；多解性；上下解方法；拓撲度理論

0　引言

Neumann邊值問題在數學物理中有重要應用，如平衡梁問題、流體流向問題、熱傳導問題等，因此備受關注，并在特定條件下驗證了其解的存在性［1-7］。JIANG等［8］研究了二階Neumann邊值問題：

或

SUN等［9］研究了二階Neumann邊值問題

值得注意的是，文獻［8-9］研究了齊次邊界條件下二階Neumann邊值問題正解的存在性。涉及非齊次邊界條件下二階微分方程邊值問題的研究較少，當二階Neumann邊值問題的邊界條件為非齊次時是否存在正解？本文將給出一個肯定的回答。

1　預備知識

有唯一解：

其中，

證明由文獻［8-9］，易得

定義

有唯一解：

證明由引理1易證。

2　主要結果及其證明

假設：

考察問題

正解的存在性與多解性，則有以下主要結果。

證明考察輔助問題：

定義

定理2的證明主要分為4步。

的解，易得

的正解。

的唯一解。

可得

定義

令

令

所以

且

此外，由于式（5）的所有解有界，所以

［1］ TARIBOON J， SITTHIWIRATTHAM T. Positive solutions of a nonlinear three-point integral boundary value problem［J］. Boundary Value Problems， 2010， 24（5）： 1-11. DOI：10.1155/2010/519210

［2］ CHU J F， SUN Y G， CHEN H. Positive solutions of Neumann problems with singularities［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2008， 337（2）： 1267-1272. DOI：10.1016/j.jmaa.2007.04.070

［3］ WANG H Z， LI Y. Neumann boundary value problems for second-order ordinary differential equations across resonance［J］. SIAM Journal on Control and Optimization，1995， 33（5）： 1312-1325. DOI：10.1137/S036301299324532X

［4］ JIANG D Q， YANG Y， CHU J F， et al. The monotone method for Neumann functional differential equations with upper and lower solutions in the reverse order［J］. Nonlinear Analysis： Theory， Methods & Applications， 2007， 67（10）： 2815-2828. DOI：10. 1016/j.na.2006.09.042

［5］ MA R Y， GAO C H， CHEN R P. Existence of positive solutions of nonlinear second-order periodic boundary value problems［J］. Boundary Value Problems， 2010， 2012： 1-18. DOI：10.1155/2010/626054

［6］ WANG F， ZHANG F， WANG F L. The existence and multiplicity of positive solutions for second-order periodic boundary value problem［J］. Journal of Function Spaces and Applications， 2012， 2012： 1-13. DOI：10.1155/2012/725646

［7］ ZHANG Z X， WANG J Y. On existence and multiplicity of positive solutions to periodic boundary value problems for singular nonlinear second order differential equations［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2003， 281（1）： 99-107. DOI：10.1016/S0022-247X（02）00538-3

［8］ JIANG D Q， LIU H Z. Existence of positive solutions to second-order Neumann boundary value problem［J］. Journal of Mathematical Research and Exposition， 2000， 20（3）： 360-364.

［9］ SUN J P， LI W T. Multiple positive solutions to second-order Neumann boundary value problems［J］. Applied Mathematics and Computation， 2003， 146（1）： 187-194. DOI：10.1016/S0096-3003（02）00535-0

［10］MA R Y. Existence of positive radial solutions for elliptic systems［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1996， 201（2）： 375-386. DOI：10.1006/jmaa.1996.0261

［11］ERBE L H， WANG H Y. On the existence of positive solutions of ordinary differential equations［J］. Proceedings of the American Mathematical Society，1994， 120（3）： 743-748. DOI：10.2307/2160465

［12］JIANG D Q， CHU J F， ZHANG M R. Multiplicity of positive periodic solutions to superlinear repulsive singular equations［J］. Journal of Differential Equations， 2005， 211（2）： 282-302. DOI：10.1016/j.jde.2004.10.031

Existence and multiplicity of positive solutions for a class of second-order nonhomogeneous boundary value problems

SHI Xuanrong

（，，730070，）

positive solutions; multiplicity; upper and lower solutions; topological degree theory

O 175.8

A

1008?9497（2023）01?038?05

2022?01?08.

國家自然科學基金資助項目（12061064）.

石軒榮（1998—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-7496-6348，男，碩士研究生，主要從事常微分方程與動力系統研究，E-mail： SXR15209336785@163.com.