一類帶p(x)-雙調和算子的Kirchhoff型方程解的存在性①

余穎，儲昌木，何忠菊

貴州民族大學 數據科學與信息工程學院， 貴陽550025

設Ω?RN(N≥3)是具有光滑邊界?Ω的有界域，考慮一類帶p(x)-雙調和算子的Kirchhoff型方程

(1)

近年來，涉及p(x)-拉普拉斯算子的橢圓方程及變分方法的研究， 受到了許多學者的關注[1-8].特別地，文獻[1]研究了涉及凹凸非線性項的p(x)-雙調和方程

(2)

針對q(x)，r(x)和p(x)滿足不同的條件，分別應用強制弱下半連續性、Ekeland’s變分原理及山路引理等變分方法獲得了方程(2)非平凡弱解的存在性. 然而，關于帶p(x)-雙調和算子的Kirchhoff型方程的研究結果相對較少[9-11].受以上文獻的啟發，本文討論方程(1)非平凡弱解的存在性.

(3)

則方程(1)至少有一個非平凡弱解.

1 預備知識

令

Lp(x)對應的范數為

Wk，p(x)(Ω)={u∈Lp(x)(Ω)：Dγu∈Lp(x)(Ω)，|γ|≤k}k=1，2，…

其范數為

‖u‖X=‖u‖1，p(x)+‖u‖2，p(x)

令

由文獻[12]知，在X中‖‖與‖‖X等價，X是可分的自反Banach空間.

若‖u‖≤1，則有‖u‖p+≤ρ(u)≤‖u‖p-； ‖u‖=0當且當ρ(u)=0.

且滿足：

(i)ψ′(u)是連續且有界的嚴格單調算子；

(iii)ψ′(u)是同胚的.

定義1如果對任意的v∈X， 有

則稱u∈X為方程(1)的弱解.顯然，方程(1)的弱解與泛函

的臨界點等價.

2 主要結果的證明

在證明主要結果前，先證明泛函J滿足(PS)c條件.

證設{un}?X為J的(PS)c序列，即

J(un)→cn→∞

(4)

且在X*中J′(un)→0(n→∞). 其中X*是X的對偶空間.

(5)

由p->1知， {un}在X中有界.

接下來證明在X中un→u.由于X是自反Banach空間，且{un}在X中有界，所以存在子列(仍用{un}表示)和u∈X，使得當n→∞時，

(6)

由(6)式和H?lder不等式可知，當n→∞時，

(7)

類似地，當n→∞時，

因此

(8)

由(4)式可知， 〈J′(un)，un-u〉→0， 即

綜上所述， 可得

(9)

因為{un}在X中有界，所以存在子列(仍用{un}表示)和u∈X，使得當n→∞時，

由(6)式和H?lder不等式，對任意v∈X， 有

(10)

因為

且當n→∞時，〈J′(un)，v〉→0，故

因此

根據變分法基本原理[16]可得

f(x)|u(x)|α(x)-2u(x)-g(x)|u(x)|β(x)-2u(x)=0 a.e.x∈Ω

又因為f(x)，g(x)>0，所以u=0.因此

(11)

由(9)式可得

下面驗證泛函J滿足山路引理.

引理2當定理1的條件成立時，泛函J具有如下山路幾何結構：

(i) 存在ρ，δ>0，使得對任意u∈X且‖u‖=ρ，有J(u)≥δ>0；

(ii) 存在w∈X滿足‖w‖>ρ且J(w)<0.

證由緊嵌入XLα(x)(Ω)知，存在C>0，使得|u|α(x)≤C‖u‖.

設‖u‖=ρ<1，則

注意到p+<2p-且p+<α-，故存在ρ，δ>0，使得對任意u∈X且‖u‖=ρ，有J(u)≥δ>0.

由(3)式可得，當t→+∞時，有J(tφ)→-∞.則當t>1足夠大時，令w=tφ， 使得‖w‖>ρ且J(w)<0.

定理1的證明由引理2知，J具有山路幾何結構.定義

Γ={ξ∈C([0， 1]，X)：ξ(0)=0，ξ(1)=w}