對流環境下具有額外食物資源的Leslie-Gower捕食者-食餌模型①

楊旺，張國洪

西南大學 數學與統計學院， 重慶 400715

捕食者和食餌之間的相互作用是自然界中最常見的現象之一，長期以來受到生態學家和數學家的廣泛關注.文獻[1-2]提出了各種類型的捕食者-食餌模型， 并研究了其動力學行為.特別地， Leslie提出了如下Leslie-Gower捕食者-食餌模型[3-4]：

(1)

文獻[7]在模型(1)的基礎上建立了具有隨機擴散的Leslie-Gower捕食者-食餌模型，其動態結果和模型(1)類似，即系統的唯一正平衡點是全局穩定的[8].除了隨機擴散，許多物種還可能向某個方向定向遷移，如在對流環境(如河流)中被單向流動的水流推動等.近年來，越來越多的學者開始研究河流生態系統中單向水流的沖刷作用對種群的動態影響[9-10].綜合上述討論，本文建立如下對流環境下修正的Leslie-Gower捕食者-食餌模型：

(2)

這里d1，d2是相應的擴散速度，q是捕食者受到的對流速度，l表示河流長度，均為正常數.其他變量和參數與模型(1)的意義相同.u0(x)和v0(x)分別表示食餌與捕食者的初始分布.這里我們假設模型(2)中的捕食者進行包含隨機擴散和定向遷移的混合運動，而食餌進行純粹的隨機擴散，這種情況在生態學中是有可能發生的，例如食餌是常居于河底的藻類植物(此處的流速為0)，而捕食者是常居于流速不為0區域的食藻類生物. 由于食餌只進行隨機擴散，邊界條件ux(0，t)=ux(l，t)=0表示沒有食餌會通過邊界.捕食者的邊界條件d2vx(0，t)-qv(0，t)=vx(l，t)=0表示上游為無流的邊界(即沒有個體通過上游)，下游為自由流的邊界條件(表示下游個體離開水域的速度和流速相同，例如溪流進入湖泊).在本文中，我們總是假設d1，d2，r1，r2，c，a，b，q皆為正常數，并且河流長度為固定值l=1.

為了研究模型(2)的動力學行為，首先考慮在沒有食餌(即u≡0)的情況下， 模型(2)所對應的如下單物種模型：

(3)

模型(3)的動力學行為由如下線性特征值問題決定：

(4)

由Krein-Rutman定理易知， 特征值問題(4)存在單的主特征值λ1(d2，q，r2)和對應的嚴格正的特征函數φ1(d2，q，r2). 根據文獻[11]的引理2.2(b)和文獻[12]的引理2.2，可得如下的兩個結論，其在后文將對模型(2)的理論分析發揮重要作用：

引理1設d2，r2，q>0，存在唯一的q*>0，這里的q*由λ1(d2，q*，r2)=0唯一確定，使得當00， 并且模型(3)存在唯一正穩態解θ(d2，q)， 且是全局漸進穩定的. 當q≥q*時，λ1(d2，q，r2)≤0，并且模型(3)的解u=0是全局漸進穩定的.

1 模型的耗散性

定理1對于給定的初始條件，存在正常數ρ1和ρ2， 使得模型(2)的解滿足0

證根據文獻[13]， 可知模型(2)的解局部存在且唯一.故接下來只需證明解的有界性.由極大值原理可知u(x，t)>0，v(x，t)>0.結合模型(2)中關于u的方程可得

ut≤d1uxx+u(r1-u) 00

令V(x，t)滿足

因此存在一個只依賴于初值u0(x)和v0(x)的正常數ρ2， 使得0

2 邊界平衡態解的穩定性

易得模型(2)總是存在邊界平衡態解(0， 0)，(r1， 0). 當0

定理2模型(2)的滅絕平衡態解(0， 0)總是不穩定的.

證模型(2)在(0， 0)處線性化后對應的特征值問題為

(5)

由引理1知，特征值問題(5)第一個方程的主特征值λ1(d1， 0，r1)=r1>0， 因此模型(2)的平衡點(0， 0)總是不穩定的.

定理3當0q*時， 平衡態解(r1， 0)是全局漸進穩定的.

證首先證明平衡點(r1， 0)的局部穩定性. 考慮模型(2)在(r1， 0)處線性化后的特征值問題

(6)

定義Λ是特征值問題(6)的譜， 顯然Λ=Λ{ψ=0}∪Λ{ψ≠0}.當ψ=0時，考察特征值問題

d1φxx-r1φ=λφ0

(7)

易知問題(7)的主特征值λ1(d1， 0， -r1)=-r1<0. 因此對特征值問題(7)的特征值λ都有Reλ≤λ1<0， 則sup{Reλ：λ∈Λ{ψ=0}}<0.當ψ≠0時，考察特征值問題

(8)

sup{Reλ：λ∈Λ{ψ=0}∪Λ{ψ≠0}}>0

(r1， 0)不穩定.若q>q*，則問題(8)的主特征值λ1(d2，q，r2)<0， 因此

sup{Reλ：λ∈Λ{ψ=0}∪Λ{ψ≠0}}<0

(r1， 0)局部漸進穩定.

現在證明平衡點(r1， 0)是全局吸引的. 由極大值原理易知u(x，t)>0，v(x，t)>0. 且根據定理1知

(9)

故對任意ε>0， 存在T1>0， 當t>T1時，u(x，t)

ut≥d1uxx+u(r1-aε-u) 0T2

考慮方程

(10)

因此(r1， 0)是全局吸引的， 故(r1， 0)全局漸進穩定.

注1定理3表明總存在一個流速閾值q*，使得當模型(2)的流速大于該閾值(即q>q*)時， 平衡態解(r1， 0)總是全局穩定的.這意味者流速較大時，捕食者滅絕，而食餌存活.

接下來，我們考慮流速較小，即0

定理4設0

證模型(2)在(0，θ(d2，q))處線性化后的特征值問題為

(11)

同樣地， 定義Λ′是特征值問題(11)的譜， 則Λ′=Λ′{ψ=0}∪Λ′{ψ≠0}. 當φ=0時，考察特征值問題

(12)

因此sup{Reλ：λ∈Λ{φ=0}}<0. 故特征值問題(11)主特征值的正負將由φ≠0時的特征方程

(13)

(14)

(15)

3 模型的一致持續性

在這一節中，我們使用一致持續性理論來研究模型(2)的一致持續性條件，相關理論的詳細介紹可以參見文獻[15-16].

(16)

的解. 由比較原理， 當t≥t0時，

Ws((0， 0))∩D-1(0， +∞)=?Ws((r1， 0))∩D-1(0， +∞)=?

Ws(0，θ(d2，q))∩D-1(0， +∞)=?