一類整數階分數階單擺不確定混沌系統的自適應滑模同步

王建軍，毛北行

(鄭州航空工業管理學院數學學院，河南 鄭州 450015)

0 引言

混沌現象在物理學中大量存在，學者們對于混沌同步控制問題的研究取得了一系列成果[1-4].滑模控制具有良好的魯棒性，易于實現，已成為當下研究的熱點.文獻[5]采用積分滑模方法研究了一類整數階分數階單擺系統的同步問題；文獻[6]研究了分數階大氣混沌系統的比例積分滑模同步問題；文獻[7]采用有限時間滑模方法，對于Victor-Carmen系統設計新型滑模面，實現了該系統的快速高效收斂；文獻[8]采用滑模控制和反演控制相結合的策略，研究了不確定分數階Genesio系統的同步問題；文獻[9]研究了一類單擺系統的終端滑模同步問題；文獻[10]采用自適應滑模控制方法研究了一類具有不確定項與外界干擾情形下多混沌系統的自適應滑模同步問題.單擺系統是常見的一種物理現象，具有周期性、等時性等豐富的動力學特征，在機械傳動、儀表控制等領域有著非常重要的作用.本文針對含有不確定項和外界干擾的一類整數階分數階單擺系統，采用自適應滑模控制理論，設計了適應規則及一種簡潔滑模面，實現了驅動-響應系統的滑動模態混沌同步.

1 主要結果

定義1 Caputo分數階導數定義為[11-12]

考慮如下分數階有阻尼單擺混沌系統：

(1)

取g=9.8，l=1，γ=0.46，q=0.86時出現吸引子，系統的相圖如圖1所示.

(a)x1相圖 (b)x2相圖 (c)x1，x2吸引子圖

其響應系統設計為

(2)

其中：Δfi(y1，y2，t)為不確定項，di(t)為有界外擾，ui(t)為控制器.

定義誤差：e1(t)=y1(t)-x1(t)，e2(t)=y2(t)-x2(t)，則誤差系統為

(3)

假設1 設不確定項Δif(y1，y2，t)和外部擾動di(t)有界，即存在未知參數mi，ni>0使得|Δfi(y1，y2，t)|

定理1 在假設1條件下，設計滑模面si=ei(t)，(i=1，2)選取控制器：

由引理2有si→0.

考慮有阻尼的整數階單擺系統：

(4)

以上述系統作為驅動系統，其響應系統設計為：

(5)

其中：Δfi(y1，y2，t)為不確定項，di(t)為有界外擾，ui(t)為控制器.

定義誤差e1(t)=y1(t)-x1(t)，e2=y2(t)-x2(t)，得到誤差系統：

(6)

定理2 在假設1條件下，設計滑模面si=ei(t)(i=1，2)，選取控制器

證明當狀態變量位于滑模面上時si=0?ei=0.

2 數值仿真

以不確定分數階、整數階單擺混沌系統為例.

設計系統參數為g=9.8，l=1，γ=0.46，α=0.86，Δf1(y1，y2，t)=cos(2πy2)，d1(t)=0.2cost.Δf2(y1，y2，t)=cos(2πy1)，d2(t)=0.1sint.

誤差曲線如圖2—3所示，由圖2—3中可以看到，初始時系統的誤差距離坐標原點較遠，但隨時間推移系統的誤差逐漸趨于一致，分數階系統取得同步的所需時間比整數階更短，說明分數階建模的優越性.

圖2 定理1中的系統誤差

圖3 定理2中的系統誤差

3 結論與展望

研究了整數階、分數階單擺不確定混沌系統的自適應滑模同步，得到了分數階單擺不確定混沌系統取得自適應滑模同步的充分性條件，數值仿真驗證了方法的正確性.分數階單擺不確定混沌系統的有限時間滑模同步是下一步需要考慮的課題.