類光曲線的類空達布侶線

錢金花，孫銘雨，殷 沛，田雪倩

(東北大學理學院，遼寧 沈陽 110819)

在三維Minkowski空間中，貝特朗曲線和曼哈姆曲線作為特殊的伴隨曲線已有大量研究成果[1-3].本文在此基礎上，定義類光達布曲線及其達布侶線，這里僅討論達布侶線為類空曲線時，伴隨曲線對的幾何性質，并給出它們的具體表達形式.

1 預備知識

其中：〈N，N〉=〈T，B〉=1，〈T，T〉=〈B，B〉=〈T，N〉=〈B，N〉=0.T，N，B分別稱為曲線r(s)的切向量、主法向量和副法向量，κ(s)稱為曲線r(s)的曲率函數.

(1)若r(s)為第一類類空曲線或第二類類空曲線，則滿足Frenet公式

其中：〈T，T〉=1，〈N，N〉=ε，〈B，B〉=-ε，〈T，N〉=〈N，B〉=〈T，B〉=0.當ε=1時，r(s)為第一類類空曲線；當ε=-1時，r(s)為第二類類空曲線.

(2)若r(s)為零型類空曲線，則滿足Frenet公式：

其中：〈T，T〉=〈N，B〉=1，〈N，N〉=〈B，B〉=〈T，N〉=〈T，B〉=0.T，N，B分別稱為曲線r(s)的切向量、主法向量和副法向量，κ(s)和τ(s)分別稱為曲線r(s)的曲率和撓率.

在空間曲線論中，當曲線r(s)做即時螺旋運動時，存在一個向量D(s)為旋轉軸，稱其為曲線r(s)的達布向量，其滿足如下的達布方程：

注1 給出三維Minkowski空間中各類空間曲線r(s)的達布向量場：

(1)當r(s)為類光曲線時，D(s)=-κ(s)T(s)-B(s)；

(2)當r(s)為第一類類空曲線時，D(s)=-τ(s)T(s)+κ(s)B(s)；

(3)當r(s)為第二類類空曲線時，D(s)=τ(s)T(s)-κ(s)B(s)；

(4)當r(s)為零型類空曲線時，D(s)=κ(s)T(s)-N(s)；

(5)當r(s)為類時曲線時，D(s)=τ(s)T(s)+κ(s)B(s).

2 主要結論

(1)

在(1)式兩端對s求導，可得

(2)

對(2)式兩邊分別與其自身做內積，并化簡可得

(3)

把(3)式代入(2)式，可得

(4)

2.1 類光曲線的第一類類空達布侶線

(5)

對(5)式兩邊分別與其自身做內積，得

(6)

對(4)和(5)式兩邊做內積，有

(7)

把(7)式代入(6)式，可得

(8)

把(4)、(7)和(8)式代入(5)式，可得

(9)

對(4)和(9)式兩邊做外積，得

(10)

在(10)式兩邊對s求導，可得

(11)

(12)

因此，λ(s)=as+b，a≠0，b∈.通過適當的平移變換，可令b=0，則κ(s)=c/s+(2a+1)/(2a2)，c∈.且(7)和(8)式可化簡為進一步地，和r(s)之間標架的關系可以表示為

根據上述討論過程，可得如下結論：

定理1 類光達布曲線與它的第一類類空達布侶線之間的距離函數是關于s的線性函數，即

λ(s)=as+b，a≠0，b∈.

定理2 設r(s)是具有第一類類空達布侶線的類光達布曲線，那么它的類光曲率為

其中：0≠a=λ′(s)；c∈；ε3=±1.

其中：0≠a=λ′(s)；ε0，ε3=±1.

定理5 設r(s)是具有第一類類空達布侶線的類光達布曲線，則它可以表示為

其中：Z1(s)是柱函數，J1(s)是第一類Bessel函數，Y1(s)是第二類Bessel函數.

證明根據定理2，類光達布曲線r(s)的類光曲率κ(s)可以表示為κ(s)=c/s+(2a+1)/(2a2)，根據引理1，通過做適當的平移變換，r(s)滿足如下微分方程s2r(4)-2csr″+cr′=0.解上述微分方程，可得

其中：Z1(s)是柱函數，J1(s)是第一類Bessel函數，Y1(s)是第二類Bessel函數[10].

其中：0≠a=λ′(s)；c∈；

證明根據定理5給出的類光達布曲線r(s)表達式，通過直接計算，達布向量D(s)可以表示為

D(s)=C1(2uu″+2u′2-2cu2/s)+C2(2u′v′+u″v+uv″-2cuv/s)+C3(2vv″+2v′2-2cv2/s).

根據定理1和注2，計算并化簡可得結論.

2.2 類光曲線的第二類類空達布侶線

(13)

對(13)式兩邊分別與其自身做內積，得

(14)

對(4)和(13)式兩邊分別做內積，有

(15)

定理6 類光達布曲線的達布侶線不能是第二類類空曲線.

2.3 類光曲線的零型類空達布侶線

(16)

對(16)式兩邊分別與其自身做內積，得

(17)

對(4)和(16)式兩邊做內積，有

(18)

把(17)式代入(18)式，可得1-λκ′=0，則(4)式可化簡為

(19)

在(19)式兩邊對s求導，可得

(20)

對(20)式兩邊做內積，得κ′=0.因此，根據1-λκ′=0，得0=1，顯然矛盾.

定理7 類光達布曲線的達布侶線不能是零型類空曲線.

注3 類光達布曲線的類時達布侶線與第一類類空達布侶線有相似的結論，本文不予詳細討論.

3 結語

本文在三維Minkowski空間中定義了類光達布曲線并得到了類光曲線及其類空達布侶線的性質和具體表達式.這為今后在Minkowski空間開展更深層次達布曲線的研究提供了很好的思路和方法.