Riech型Edelstein不動點定理

魯書敏，賀 飛，路 寧

(內蒙古大學數學科學學院，內蒙古 呼和浩特 010021)

1 預備知識

Banach不動點定理[1]在不動點理論中占據著非常重要的位置.1969年，Kannan[2]給出一種不同于Banach型的不動點定理，后人稱之為Kannan型不動點定理.之后，許多學者研究了不同空間下的Kannan型不動點定理[3-7].1971年，Riech[8]建立一類不動點定理，它是Banach型和Kannan型不動點定理的統一.

1961年，Edelstein[9]在距離空間中引入ε-可鏈的概念，并且在ε-可鏈的距離空間中建立了一類不動點定理，后人稱之為Edelstein不動點定理(Banach型).這一結果可以應用于解決復變量的解析函數的不動點的存在性和唯一性問題.之后許多學者討論了Edelstein不動點定理[10-13].

定義1[9]設(X，d)是距離空間.對x，y∈X，若存在l∈和有限集{ξ0，ξ1，…，ξl}?X，使得

x=ξ0，y=ξl，且d(ξi-1，ξi)<ε，i=1，2，…，l，

則稱x與y是ε-可鏈的，其中l稱為鏈長.若X中任意兩點都是ε-可鏈的，則稱距離空間(X，d)是ε-可鏈的.

定理1[9]設(X，d)是完備的距離空間，f：X→X是自映射且ε>0.若(X，d)是ε-可鏈的且存在λ∈[0，1)，使得

(x，y)∈X×X，d(x，y)<ε?d(fx，fy)≤λd(x，y)，

則f有唯一不動點.

文獻[9]認為Edelstein型不動點定理比Banach不動點定理更寬泛，但事實并非如此.事實上，雖然Edelstein不動點定理的壓縮條件比Banach型不動點定理的條件弱，但是定理1要求空間是ε-可鏈的.下面的例子可以應用Banach型不動點定理但不能應用Edelstein不動點定理證明不動點存在.

d(x，y)=|x-y|.

顯然(X，d)是完備的距離空間.對任意的ε>0，取n0滿足2n0>ε，x0=2n0+1，y0=2n0.可以證明，對任意的x∈X，d(x0，x)≥2n0>ε，故x0與y0不是ε-可鏈的，從而(X，d)不是ε-可鏈的.因此，在(X，d)上不可以應用Edelstein不動點定理.對于任意的x，y∈X，

故由Banach型壓縮映射的不動點定理可得，f有唯一不動點x*.事實上，0是f的唯一不動點.

本文建立了Riech型Edelstein不動點定理.由此推出了Banach型Edelstein不動點定理和Kannan型Edelstein不動點定理.特別地，減弱了空間是ε-可鏈的條件，使得Riech型Edelstein不動點定理可以推出Riech不動點定理.同時，修改后的Edelstein不動點定理可以推出最初的Banach不動點定理.最后給出一個例子可以應用修改后的Edelstein不動點定理，但不能應用Banach不動點定理.

2 主要結果

定理2 設(X，d)是完備的距離空間，f：X→X是自映射且ε>0.假設存在x0∈X，使得x0與fx0是ε-可鏈的且鏈長為l.若存在α，β，γ≥0且α+l(β+γ)<1，使得

(x，y)∈X×X，d(x，y)<ε?d(fx，fy)≤αd(x，y)+βd(x，fx)+γd(y，fy)，

(1)

則f有不動點.

證明設x0∈X滿足x0與fx0是ε-可鏈的，則存在有限集{ξ0，ξ1，…，ξl}?X，使得

x0=ξ0，fx0=ξl，且d(ξi-1，ξi)<ε，i=1，2，…，l.

由(1)式可得

由此可得

由此可得

類似地，對于i=1，2，…，l，由(1)式可得

由此可得，對于i=1，2，…，l，

(2)

下面用數學歸納法證明對于i=1，2，…，l和任意的m∈，

d(fmξi-1，fmξi)≤λmε<ε.

(3)

當m=1時，由(2)式可得(3)式成立.假設對于i=1，2，…，l，d(fmξi-1，fmξi)≤λmε<ε成立，下證(3)式對于m+1成立.由(2)式可得

由此可得，對于i=1，2，…，l，

因此由數學歸納法可得(3)式成立.

下證{fmx0}是Cauchy列.由三角不等式，

對于任意的m，n∈且m

因此{fmx0}是Cauchy列.

d(fm+1x0，fx*)≤αd(fmx0，x*)+βd(fmx0，fm+1x0)+γd(x*，fx*).

令m→∞，可以得到

d(x*，fx*)≤αd(x*，x*)+βd(x*，x*)+γd(x*，fx*)=γd(x*，fx*).

由于γ>1，故d(x*，fx*)=0，即x*是f的不動點.

定理3 假設定理2的條件成立.若f的任意兩個不動點x，y是ε-可鏈的且鏈長p≤l，則f存在唯一的不動點.

證明由定理2可知，f存在不動點x.下證不動點是唯一的.設y是f的不動點，則存在有限集{η0，η1，…，ηp}?X使得

x=η0，y=ηp，且d(ηi-1，ηi)<ε，i=1，2，…，p.

下證對于任意的m∈，對于i=1，2，…，p，有

d(fmηi-1，fmηi)≤μmε<ε，

(4)

當m=1時，先證p為奇數時，(4)式成立.

d(fηi-1，fηi)≤αd(ηi-1，ηi)+βd(ηi-1，fηi-1)+γd(ηi，fηi)≤

αd(ηi-1，ηi)+β[d(ηi-1，ηi-2)+…+d(η1，η0)+d(η0，fη0)+d(fη0，fη1)+…+

d(fηi-2，fηi-1)]+γ[d(ηi，ηi-1)+…+d(η1，η0)+d(η0，fη0)

+d(fη0，fη1)+…+d(fηi-1，fηi)]≤

[α+2β(i-1)+γ(2i-1)]ε+γd(fηi-1，fηi).

由此可得

(5)

d(fηi-1，fηi)=d(fηi，fηi-1)≤αd(ηi，ηi-1)+βd(ηi，fηi)+γd(ηi-1，fηi-1)≤

αd(ηi，ηi-1)+β[d(ηi，ηi+1)+…+d(ηp-1，ηp)+d(ηp，fηp)+

d(fηp，fηp-1)+…+d(fηi+1，fηi)]+γ[d(ηi-1，ηi)+…+d(ηp-1，ηp)+

d(ηp，fηp)+d(fηp，fηp-1)+…+d(fηi，fηi-1)]≤

[α+2β(p-i)+γ(2p-2i+1)]ε+γd(fηi，fηi-1).

由此可得

(6)

d(fηi-1，fηi)≤αd(ηi-1，ηi)+βd(ηi-1，fηi-1)+γd(ηi，fηi)≤

αd(ηi-1，ηi)+β[d(ηi-1，ηi-2)+…+d(η1，η0)+d(η0，fη0)+d(fη0，fη1)+…+

d(fηi-2，fηi-1)]+γ[d(ηi，ηi+1)+…+d(ηp-1，ηp)+d(ηp，fηp)+

d(fηp，fηp-1)+…+d(fηi+1，fηi)]≤[α+β(p-1)+γ(p-1)]ε≤με.

(7)

因此，當m=1且p為奇數時，(4)式成立.

再證，當m=1且p為偶數時，(4)式成立.

(8)

(9)

因此，當m=1且p為偶數時，(4)式成立.

綜上可得，當m=1時，(4)式成立.

當m=2時，先證p為奇數時，(4)式成立.

d(f2ηi-1，f2ηi)≤[α+β(p-1)+γ(p-1)]με≤μ2ε.

因此，當m=2且p為奇數時，(4)式成立.

再證，當m=2且p為偶數時，(4)式成立.

因此，當m=2且p為偶數時，(4)式成立.

綜上可得，當m=2時，(4)式成立.

繼續上述過程，可以得到，對任意的m∈，對于i=1，2，…，p，(4)式成立.

下證x=y.對任意的m∈，由(4)式可得

故d(x，y)=0，即x=y.因此x是f的唯一不動點.

在定理3中，令β=γ=0可以得到下面的推論.

推論1 設(X，d)是完備的距離空間，f：X→X是自映射且ε>0.假設存在x0∈X，使得x0與fx0是ε-可鏈的且鏈長為l.若存在α∈[0，1)，使得

(x，y)∈X×X，d(x，y)<ε?d(fx，fy)≤αd(x，y)，

則f有不動點.進一步地，若f的任意兩個不動點x，y是ε-可鏈的且鏈長p≤l，則f的不動點唯一.

注1 推論1可以推出原始的Edelstein不動點定理，也可推出Banach不動點定理.顯然推論1可推出定理1.下證推論1可推出Banach不動點定理.

對任意的y0∈X，由Banach不動點定理的壓縮條件可得，對任意的n∈，

d(fny0，fn+1y0)≤λd(fn-1y0，fny0)≤λ2d(fn-2y0，fn-1y0)≤…≤λnd(y0，fy0)→0(n→∞)，

故對ε>0，存在N∈，使得d(fNy0，fN+1y0)<ε.取x0=fNy0，則

d(x0，fx0)=d(fNy0，fN+1y0)<ε，

從而x0和fx0是ε-可鏈的且鏈長l=1.設x，y是f的不動點，則由壓縮條件可得

d(x，y)=d(fx，fy)≤λd(x，y).

由于0≤λ<1，故d(x，y)=0<ε，即不動點x，y是ε-可鏈的且鏈長p=1=l.由推論1可得，f有唯一不動點.

在定理3中，令α=0，β=γ可以得到下面的推論.

(x，y)∈X×X，d(x，y)<ε?d(fx，fy)≤β[d(x，fx)+d(y，fy)]，

則f有不動點.進一步地，若f的任意兩個不動點x，y是ε-可鏈的且鏈長p≤l，則f的不動點唯一.

在推論2中，令l=1可以得到下面的推論：

(x，y)∈X×X，d(x，y)<ε?d(fx，fy)≤β[d(x，fx)+d(y，fy)]，

則f有不動點.進一步地，若f的任意兩個不動點x，y是ε-可鏈的且鏈長p≤l，則f的不動點唯一.

注2 推論3可以推出Kannan型不動點定理.

下面的例子可以用推論1證明不動點存在，但是不能應用Banach不動點定理證明不動點存在.

又由于X中的任意兩點都是ε-可鏈的，故由推論1可得，f有唯一不動點.