限制Heisenberg李超代數的限制上同調

郝博茹，遠繼霞

(黑龍江大學數學科學學院，黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引言

李代數與李超代數在數學和物理學中都起著重要的作用.限制李代數和限制李超代數在李代數及李超代數理論中占據著重要的地位.李(超)代數的上同調是研究拓撲學、光滑向量場、全純函數等領域問題的重要工具.文獻[1]給出了李代數的標準復形；文獻[2]給出了李代數的上同調理論；文獻[3]首次構造出限制李代數的限制上同調.近年來，限制李代數的限制上同調理論引起了許多研究者的興趣[4-5]；文獻[6-7]介紹了李超代數的上同調；在限制李代數的限制上同調理論的基礎上，學者進一步研究了限制李超代數的限制上同調[8-9]；Heisenberg李超代數是一類重要的冪零李超代數，對于其上結構的研究引起眾多學者的興趣；文獻[10]證明了具有偶中心的Heisenberg李超代數同構于超外代數的商代數，并且具有奇中心的Heisenberg李超代數同構于超外代數的直和；文獻[11]提出Heisenberg李超代數的中心擴張；文獻[12]計算出了2維Heisenberg李超代數的Heisenberg的Rota-Baxter算子.

本文研究了Heisenberg限制李超代數的系數取自1維平凡模的1，2維限制上同調.給出了具有偶(奇)中心的Heisenberg李超代數的限制結構，使其成為一個限制李超代數，計算了具有偶(奇)中心的限制Heisenberg李超代數的系數取自1維平凡模的1，2維限制上同調，并計算了系數取自伴隨模的1階限制上同調.

1 預備知識

文獻[13]指出Heisenberg李超代數分為具有偶中心的Heisenberg李超代數Hm，n和具有奇中心的Heisenberg李超代數Hn：

關于李超代數上同調的概念以及李超代數的限制上同調，詳細的定義可參考文獻[8-9].

設L是一個李超代數，且M是一個L-模，當q>0時，令Cq(L；M)=Hom(ΛqL，M)，這里ΛqL為L的q次超外積；當q=0時，令Cq(L；M)=Hom(F，M)?M；當q<0時Cq(L；M)=0.

下面給出計算需要的相關公式：

(1)

ind1(φ)(x)=φ(x[p])-xp-1φ(xp)；

(2)

(3)

2 系數取自1維平凡模的限制Heisenberg李超代數的限制上同調

為了計算方便，分別給出Hm，n和Hn的系數取自1維平凡模的上鏈復形的基底.Hm，n的系數取自1維平凡模的上鏈復形的基底如下：

C0(Hm，n；F)Ω0={1}，C1(Hm，n；F)Ω1={ui，z*，ωj|1≤i≤2m，1≤j≤n}，

C2(Hm，n；F)Ω2={ui，j，ωk，l，usz*，usωj，z*ωk|1≤i，j，s≤2m，i

C2(Hm，n；F)Ω3={ui，j，k，ωr，s，t，ua，bz*，ua，bωe，ucωe，f，ucz*ωe，z*ωe，f|1≤i，j，k，a，b，c≤2m，

i

Hn的系數取自1維平凡模的上鏈復形的基底如下：

C0(Hn；F)Ω0={1}，C1(Hn；F)Ω1={vi，z*，ωj|1≤i，j≤n}，

C2(Hn；F)Ω2={vi，j，ωk，l，z**，vsz*，vsωk，z*ωk|1≤i，j，s≤n，i

C3(Hn；F)Ω3={vi，j，k，ωr，s，t，z***，va，bz*，vcz**，z**ωe，z*ωe，f，va，bωr，vcωe，f，vcz*ωe|

1≤i，j，k，a，b，c≤n，i

Hm，n的系數取自1維平凡模的限制上鏈復形的基底如下：

Hn的系數取自1維平凡模的限制上鏈復形的基底如下：

由(1)式直接計算可得如下引理：

結論(ⅱ)證明方法與結論(ⅰ)類似，此處略去.

故由引理2.1可知結論成立.

由(3)式有

結論(ⅱ)證明方法與結論(ⅰ)類似，此處略去.

3 系數取自伴隨模的限制Heisenberg李超代數的限制上同調

引理3.1[14](ⅰ)設D是Hm，n的偶線性變換，則D是Hm，n的超導子，當且僅當D在標準基下的矩陣形式為

其中：A為任意m階方陣；B，C為任意m階對稱矩陣；R為任意n階反對稱矩陣；M，E為任意1×m階矩陣；λ∈F.并且有

(ⅱ)設D是Hm，n的奇線性變換，則D是Hm，n的超導子，當且僅當D在標準基下的矩陣形式為

其中J，K為任意n×m階矩陣，并且有

經過簡單計算易得到如下定理：

定理3.1 (ⅰ)在標準基下，Hm，n內導子的基底為

{e2m+1，i，e2m+1，i+m，e2m+1，f+2m+1|1≤i≤m，1≤f≤n}.

(ⅱ)在標準基下，Hn內導子的基底為

{e2n+1，i+n，e2n+1，i|1≤i≤n}.

定理3.2 (ⅰ)系數取自伴隨模的具有偶中心的Heisenberg李超代數的一維限制上同調為

(ⅱ)系數取自伴隨模的具有偶中心的Heisenberg李超代數的一維限制上同調為

證明(ⅰ)設D∈Der(Hm，n)，采用引理3.1中的符號.先證D是一個限制導子，當且僅當λ=0.當D∈Der(Hm，n)時由引理3.1有D(z)=2λz.D是一個限制導子，當且僅當

當D∈Der(Hm，n)時由引理3.1有D(z)=0，則

從而D是一個限制導子，結論成立.

故Hm，n的限制導子在標準基下的矩陣形式為

其中：A為任意m階方陣；B，C為任意m階對稱矩陣；F為任意n階反對稱矩陣；M，E為任意1×m階矩陣；λ∈F；F為任意1×n階矩陣；J，K為任意n×m階矩陣.故

Derres.(Hm，n)=spanF{ei，j-ej+m，i+m，es+m，t+et+m，s，es，t+m+et，s+m，ei，i+m，ei+m，i，

ek，l-el，k，ef+2m+1，i-ei+m，f+2m+1，ef+2m+1，i+m+ei，f+2m+1，e2m+1，i，

e2m+1，i+m，e2m+1，f+2m+1|1≤i，j≤m，1≤s，t≤m，2m+2≤k≤l≤2m+1+n，1≤f≤n}.

由引理3.2和定理3.1可得結論.

結論(ⅱ)證明方法與結論(ⅰ)類似.