四種偏微分方程的圖像去噪技術比較分析

賈超賢

(淮南職業技術學院智能與電氣工程學院，安徽 淮南 232001)

0 引言

圖像在成像過程中不可避免地會受到噪聲干擾，從而引起圖像質量的退化，人的視覺效果也隨之受到影響。如今，人們對圖像的要求越來越高，這讓圖像處理技術成為研究熱點。圖像去噪方法是指在含噪圖像中，利用各種模型濾除掉噪聲成分[1]。然而，在含噪圖像中，除了噪聲之外還有邊緣、紋理等不同成分，所以需要建立合適的數學模型，對圖像中的噪聲和圖像信息進行區分再處理。圖像去噪的關鍵在于以下兩點[2]：1)將圖像去噪看作一個分割問題，區分有用信息與噪聲再建立數學模型，在此基礎上通過開、閉運算等進行圖像處理。2)在去噪的同時，不僅要濾除噪聲，還要盡可能地減少圖像邊緣、紋理等細節信息的破壞。傳統的去噪方法在去噪的同時會破壞圖像邊緣、紋理等重要特征，這使得傳統的去噪方法難以維持圖像去噪與邊緣保持之間的平衡[3]。近些年發展起來的基于偏微分方程的圖像去噪方法能夠良好地兼顧噪聲去除和邊緣保持，較好地解決了這一問題[4]。同時，基于偏微分方程(PDE)對于圖像邊緣特征提取具有良好的控制效果，可以同時完成多個圖像處理任務，比如同時進行濾波和修復，由于其靈活的拓撲學結構、廣闊的應用領域而漸漸受到人們的重視[5]。本文基于PDE的圖像去噪方法理論，分析了四種基于PDE的圖像去噪模型，即選擇平滑擴散模型、各向異性擴散模型、全變差模型和四階偏微分方程模型。利用MATLAB軟件進行圖像去噪實驗設計及仿真，根據圖像質量評價標準SN對四種方程模型進行去噪效果評價。

1 相關理論概述

1.1 圖像噪聲概述

本文主要研究加性噪聲，加性噪聲圖像的數學模型[6]可以表示為

u(x,y)=u0(x,y)+n(x,y),

(1)

其中，u0(x,y)為原始圖像，u(x,y)為與u0(x,y)相同場景的觀察圖像，即退化圖像，n(x,y)是均值為0、方差為σ2的噪聲項。

圖像恢復問題就是從已知圖像u(x,y)得到恢復圖像u0(x,y)。其中，高斯噪聲的概率密度服從高斯分布。高斯分布，也稱正態分布，又稱常態分布，記為N(μ,σ2)，其中，μ,σ2為分布的參數，分別為高斯分布的期望和方差。當有確定值時，p(x)也就確定了，特別地，當u=0,σ2=1時，X的分布為標準的正態分布。

偏微分方程的去噪模型主要由兩種方式導出，一種為從高斯平滑算子導出的偏微分方程，即熱傳導方程，由高斯濾波方程u(x,y,t)=G(x,y,t)×I(x,y)導出熱傳導方程：

?tu=?2u,u(x,y,0)=I(x,y).

(2)

另一種是由變分方法導出的偏微分方程，將圖像去噪問題轉化成泛函求極值問題。

首先，建立泛函及其約束條件：

(3)

(4)

(5)

其次，通過泛函變分，由泛函的極值條件求得歐拉/拉格朗日方程：

?2u-λ(u-I)=0.

(6)

最后，在邊界條件下求解，即將最小化問題視為如下演化方程(梯度下降流)的穩態解：

?tu=?2u-λ(u-I)，

(7)

u(x,y,0)=I(x,y).

(8)

1.2 四種基于PDE的圖像去噪模型

1.2.1 選擇平滑擴散模型

1992年，Catte等人在P-M模型的基礎上，對梯度模進行正則化處理，得到更穩定的P-M模型[7]：

(9)

該模型用更平滑的Gσ×?u代替P-M模型中的?u，Gσ為高斯核函數，該式稱為正則化P-M模型，相對于P-M模型而言具有以下優點：更有效地去除了圖像中的大梯度噪聲點。噪聲點的梯度較大，擴散系數較小，與P-M模型比較，該模型先對圖像進行平滑處理，一定程度上減小了噪聲的影響，避免了噪聲在邊緣區域過分擴散。

1.2.2 各項異性擴散模型

1992年，Alvarez基于Catte模型的不足提出了“平均曲率流”各向異性擴散模型[8]：

(10)

其中，水平集曲線的曲率可表示為

(11)

其中，u(x,y,0)=u0(x,y)，t∈[0,T]。Gσ(x,y,t)為高斯平滑核，Gσ×?u為梯度?u的局部估計值，g(s)為非增函數。且s→∞時，g(s)傾向于0，當g(s)=1/s且σ=0時，得到一種極限情況：

(12)

該極限非常重要，因為它的解具有明顯的幾何解釋，實際上，該方程對應下述能量函數的最小化：

(13)

(14)

其中，u(x,y,0)=u0(x,y)，t∈[0,T]。

1.2.3 全變差模型

(15)

通過拉格朗日乘數法將上述問題轉化為無約束的最小化問題，并且證明了該問題解的適定性：

(16)

(17)

ut=g(|?u|)uTT-λ(u-u0).

(18)

1.2.4 四階偏微分方程模型

MAVEH等在2000年提出如下四階偏微分方程[10]：

(19)

此方程基于下面的能量泛函：

(20)

其歐拉方程為

?2[c(?2u)?2u]=0,

(21)

其中，c(·)與φ(·)滿足的條件與P-M模型一致。

1.3 去噪模型構建與質量評價

1.3.1 四種去噪模型的算法設計

用MATLAB進行仿真時，需要先判斷smooth_diffusion、directional_diffusion、TV_denoise和order4_diffusion算法中的變量是否已經存在。如果存在，就不再賦值；如果不存在，則需要賦值。以PM1為統一標準，計算歸一化g(·)的參數k,a。對四種偏微分方程模型的圖像去噪算法進行設計。

1)選擇平滑擴散模型圖像去噪算法設計，其迭代公式為

我國對美國出口的木質坐具和其他家具無論金額和數量在今年上半年還是保持著一定的增幅，木質坐具的出口金額增幅大于其他家具的出口金額增幅。可以看出今年北美木材的漲價對我國對美國家具出口中使用定制木材較多的臥室家具、辦公家具、廚房家具等的影響大于木坐具。中美貿易摩擦由于增加關稅還需要一段時間，今年上半年對我國向美國的家具出口影響不大，上半年不少家具出口企業抓緊完成美國訂單，對于其他國家的訂單先緩一緩，爭取在中美貿易戰爆發前盡快將美國訂單先運到美國，而且今年人民幣對美元匯率的一直走弱對我國向美國的家具出口還是有很大的促進作用(見表2)。

It+1=It+λ(cNx,y?N(It)+cSx,y?S(It)+cEx,y?E(It)+cWx,y?W(It)).

首先計算(N,S,E,W)四個方向的梯度：?N(Ix,y)=Ix,y-1-Ix,y，?S(Ix,y)=Ix,y+1-Ix,y，?E(Ix,y)=Ix-1,y-Ix,y，

1.3.2 圖像質量評價指標

本文采用信噪比SN和結構相似度SM作為圖像去噪評價指標。信噪比(反映圖像提供的信息量與所含噪聲的比值)越高，或結構相似度越高，則表示圖像質量越好，噪聲越少。表達式如下：

(22)

SM(u,u0)=L(u,u0)×C(u,u0)×S(u,u0),

(23)

(24)

2 仿真結果與分析

2.1 圖像加噪處理

為了比較四種偏微分方程圖像去噪技術的去噪效果，本文以scenery圖像為實驗對象，運用MATLAB軟件進行仿真程序編寫，給圖像加入均值為0，方差分別為5、15和30的高斯噪聲。圖像去噪實驗在相同的實驗環境進行，計算機配置：Inter?CoreTMi7-12800 H處理器，內存DDR4 16 G，顯卡CT540M 4 G，軟件MATLAB 2016b。當高斯均值為0、方差為15時加噪效果如圖1所示。

(a)原始圖像

(b)加噪圖像(σ=15)圖1 加噪圖像與原始圖像對比

2.2 圖像去噪效果主觀評價

為了比較不同去噪模型的去噪視覺效果與圖像恢復細節情況，本文以σ=15時的scenery圖像為例進行深入分析，效果圖見圖2。當高斯噪聲的方差σ=15時，圖像出現較為明顯的灰白點，由于方差數值較小，圖像沒有出現明顯的模糊或圖像破壞情況，見圖1(b)。對比加噪后效果圖，通過四種去噪模型處理后的圖像，噪聲效果處理非常明顯，噪聲白點基本消失，整體視覺效果較好，見圖2。但選擇平滑擴散模型有效地避免了在邊緣區域的過分擴散導致圖像邊緣的紋理保留較少情況，圖像趨于模糊狀態，見圖2(a)；而各向異性擴散模型在灰度變化不大的地方更加光滑，而在圖像的邊緣點上，梯度圖像的擴散速度較小，圖像邊緣能夠得以保持，該模型對孤立噪點的去除也有較好的效果，見圖2(b)；全變差模型不僅有效地去除了噪聲，同時邊緣特征也得以保持，在未添加fedality term處理時容易出現“塊狀”效應。對比圖2(c)和圖2(d)可以明顯看出，fedality term能有效處理圖像的“塊狀”效應，圖像中的天空上白云邊緣紋理更接近原圖，見圖1(a)；四階偏微分方程模型在噪聲去除方面能夠得到較好的效果，但是該模型對高頻成分敏感，容易破壞圖像的紋理信息[11]。從圖2(e)看出，圖像中出現“閃點”情況，通過中值濾波可以有效去除去噪后留下的“閃點”紋理，見圖2(f)。

(a)選擇平滑擴散模型

(b)各向異性擴散模型

(c)無fedality term的全變差模型

(d)含fedality term的全變差模型

(e)四階偏微分方程模型

(f)四階偏微分方程模型+中值濾波圖2 不同去噪模型去噪效果圖(σ=15)

2.3 圖像去噪效果客觀評價

為了客觀評價不同模型圖像去噪效果，分別使用SN和SM圖像質量評價指標對去噪處理后的圖像進行分析，結果如表1所示。隨著高斯噪聲方差值的升高，各個模型的去噪效果降低。當方差σ=5時，各模型的去噪效果最好，其中，選擇平滑擴散模型去噪仿真結果SN=16.230 4；各向異性擴散模型去噪結果SN=19.790 3；用全變差模型去噪時，若該模型無fedality term，該模型的去噪結果SN=22.221 7。若該模型有fedality term，該模型的去噪結果SN=21.874 1。四階偏微分方程模型去噪結果SN=19.189 2。再對處理后的圖片進行中值濾波，去除圖片中的閃點，SN值有所上升。整體而言，全變差模型的SM值最高能達到0.943 5，其次為各項異性擴散模型和四階偏微分方程模型，去噪效果最差為選擇平滑擴散模型。綜上所述，使用圖像質量評價指標客觀評價結果與主觀視覺效果評價結果一致。

表1 不同去噪模型去噪效果客觀評價結果

此外，為了綜合評價不同去噪模型的時效性，對四種模型的平均運行時間進行統計分析，結果如表2所示。全變差模型的運行時間最長，但在可接受范圍之內；其次為四階偏微分方程模型和各向異性擴散模型；選擇平滑擴散模型運行時間最短，但去除高斯噪聲效果較差。所以，綜合四種去噪模型的去噪圖像質量與時效性，全變差模型具有比較明顯的優勢。

表2 不同去噪模型運行時間對比

3 結語

降低圖像在采集、傳輸和存儲過程所造成的污染度從而得到清晰圖像是圖像處理技術的重要部分。圖像去噪就是對受污染的圖像進行優化處理，改善圖像質量而滿足實際應用需求。本文通過MATLAB軟件仿真對選擇平滑擴散模型、各向異性擴散模型、全變差模型和四階偏微分方程模型進行去噪效果評價。按去噪處理后圖像SN值從大到小進行排序為全變差模型、各向異性擴散模型、四階偏微方程模型、選擇平滑擴散模型。