U-系統與V-系統的理論及應用綜述

陳 偉，蔡占川，李 堅，梁延研，熊剛強，宋瑞霞

U-系統與V-系統的理論及應用綜述

陳 偉1，蔡占川2，李 堅3，梁延研2，熊剛強4，宋瑞霞5

(1. 江南大學人工智能與計算機學院，江蘇 無錫 214122； 2. 澳門科技大學計算機科學與工程學院，澳門 999078； 3. 澳門理工大學應用科學學院，澳門 999078； 4. 廣東醫科大學信息工程學院，廣東 東莞 523808； 5. 北方工業大學理學院，北京 100144)

傳統的Fourier 級數在逼近間斷信號時因 Gibbs現象的干擾，會產生比較大的誤差。針對此問題，國內學者齊東旭教授帶領的課題組提出了非連續正交函數系的研究課題，其中U-系統和V-系統是兩類典型的非連續完備正交函數系。從數學理論上來說，U-系統和V-系統分別是對著名的Walsh函數和Haar函數由分段常數向分段次多項式進行推廣的結果，其最重要的特點是函數系中既有光滑函數又有各個層次的間斷函數。因此，U，V-系統可以處理連續和間斷并存的信息，在一定程度上彌補了Fourier 分析和連續小波的缺憾。本文從理論與應用2個方面對U，V-系統進行了綜述。在理論方面，首先介紹了單變量U-系統與V-系統各自的構造方法，其次介紹三角域上U，V-系統的構造方法，最后介紹U，V-系統的主要性質。在應用方面，介紹了若干具有代表性的應用案例。

U-系統；V-系統；正交函數；非連續；頻譜分析

熟知，用有限項Fourier級數表達間斷信號時，在間斷點處會出現波動，且這種波動不能因求和項數增大而徹底消失，即著名的Gibbs現象。Wilbraham于1848年首先觀察到這一現象，之后Gibbs (1839—1903年)做了深入細致地研究。Gibbs現象的研究之所以引起關注，在于其出現造成了數據偏差。在數字圖像、語音處理，以及用Fourier方法求解微分方程等問題中，人們需設法消減其影響[1-2]。

在幾何信息處理問題中，Gibbs現象的影響更應引起重視。因為在二維及三維幾何造型中，幾何對象往往包含許多部件和零件。作為幾何圖組，其子圖相互分離(強間斷)以及非光滑連接(弱間斷)的情況不可避免。幾何造型的精度要求很高，如果說信號處理的某些問題中Gibbs現象的出現尚可接受，那么在幾何信息表達中則是不可容忍的。

眾所周知，在圖像、語音等信號處理中，正交函數理論是頻譜分析與綜合的數學基礎，由此發展出一系列強有力的實用算法，有利于生成或提取對象的特征，從而在分類，乃至識別問題里得到應用。正交函數與正交變換在數字信號處理領域的成功應用，有必要擴大到幾何信息特別是幾何造型的領域。將頻譜分析方法引入幾何造型，首先是正交重構問題，其關鍵是采用什么樣的正交函數才能避免Gibbs現象。具有好的連續性的正交函數，在此反而派不上用場。于是，研究既能用于通常的信號處理問題，又能適應幾何圖組整體表達與分析需要的非連續正交函數，無論是理論還是實用，都是十分重要的[3]。

非連續正交函數的研究，興起于20世紀初期。歷史上，為了回答“是否存在非連續的完備正交函數系”的問題，美國數學家WALSH[4]構造了后人稱之為Walsh函數(1923年)，初衷僅作為數學上的“反例”。然而，到了70年代，隨著半導體技術與大規模集成電路的出現，此類僅取值1或–1的二值函數，顯示了獨特的功效，在信號處理領域一度掀起Walsh函數的研究熱潮。

比Walsh函數出現得更早些，1910年匈牙利數學家HAAR[5]提出了稱之為Haar函數的完備正交函數系。若不考慮規范系數，Haar函數則僅取值1，–1或0。其中強調Walsh函數與Haar函數的等價性，給出了相互線性表示的關系，但是Haar函數具有更加簡潔的結構。幾十年后，當小波興起之后，人們發現Haar函數恰是最簡單、最基本的小波，從而使得Haar函數在小波分析中占有重要地位。

Walsh函數和Haar函數是非連續正交函數的典型代表，其均是分段零次多項式。從函數逼近角度，其收斂速度不高。而在實際問題中，信號往往既包含漸變(光滑)部分，又包含突變(間斷)部分，而只具有強間斷性的函數很難實現信號的自適應表達。

U-系統和V-系統，完整的名稱應該叫“次U-系統[6]和次V-系統[7]”，是由一系列次分段多項式組成的2[0, 1]上的2個正交完備函數系，猶如姊妹篇，特點是函數系中既有光滑函數又有各個層次的間斷函數。U，V-系統可以處理連續和間斷并存的信息，在一定程度上彌補了Fourier分析和連續小波的缺憾。

特別值得注意的是，當=0時，U-系統就是Walsh函數，V-系統則是Haar函數，因此U，V-系統分別是Walsh函數和Haar函數的自然推廣。將一個0次函數系推廣到次函數系，無疑是極具數學意義的。Walsh函數和Haar函數分別創建于1923年和1910年，而U，V-系統分別建立于1983年和2007年，Walsh函數推廣到U-系統歷時60年，而Haar函數推廣到V-系統則歷時近百年。

這里需要說明一下U，V-系統與小波的關系。小波分析是調和分析的重大發展，在小波分析的發展史上，最早可以追溯到1910年Haar構造的一組完備規范正交基(即Haar函數)，不過當時還沒有“小波”這個概念。一個公認的事實是，1984年法國工程師讓·莫萊特(Jean Morlet)在分析地震波的局部性質時，發現傳統的Fourier變換難以達到要求，因此其首次引入小波分析這一概念，用于地震數據的收集與分解中。隨后其與物理學家亞歷克斯格羅斯曼(Alex Grossmann)將該研究工作發表在學術期刊上，從而拉開了小波分析研究的序幕[8]。

U-系統的基礎理論研究由國內學者齊東旭教授與馮玉瑜教授在1980—1982年在美國Wisconsin (Madson)大學數學研究中心(MRC)訪問期間合作完成，并于1981年首次在MRC公開報告[9-10]，回國后隨即于1983年在國內中國科學技術大學學報上公開發表學術論文[11-12]。雖然U-系統不是嚴格意義上的小波，但是U-系統中已經出現了小波的“基因”，且離小波僅“一步之遙”。因此，當小波出現后，美國IBM公司的MICCHELLI和北達科他州立大學的XU[13]明確指出，U-系統是一類“預小波(prewavelet)”。而V-系統出現后，文獻[14]已從數學理論上證明了，V-系統是一類嚴格的有限區間上的多小波基。

在U-系統研究的初期，齊東旭教授將U-系統作為參與中國早期計算幾何協作組的專題，從1983年開始在吉林大學招收碩士研究生，接著在中山大學、中科院列入培養博士研究生計劃，同時在特區澳門科技大學招收博士研究生。繼而U-系統的研究獲得國家自然科學基金的資助。本世紀初，齊東旭教授團隊在U-系統的基礎上提出了V-系統，在保留U-系統幾乎全部優點的基礎上，更具有小波特性，從而在理論及應用上獲得更加滿意的結果。在連續十余年間，相關學者做出許多新推進，得到多項國家自然科學基金資助。作為階段性總結，本文將從理論和應用方面對U，V-系統進行綜述。

1 U-系統與V-系統理論

1.1 單變量U-系統與V-系統的構造

單變量U-系統是齊東旭教授和馮玉瑜教授于上世紀80年代初的研究成果，而單變量V-系統是齊東旭教授帶領學生們在2007年的研究成果。

U-系統的構造繼承了Walsh函數的思想，采用的是“壓縮與正、反復制”的方法，只是初始函數不同；V-系統的構造則是在U-系統的基礎上，繼承了Haar函數系的思想構造得到的。次U，V-系統均由分段次多項式構成，也都是2[0,1]上的完備正交系。

次U-系統的構造步驟：

步驟1.取區間[0,1]上的前+1個Legendre多項式，作為次U-系統的前+1個函數(即第一組函數)，記為0(),1(),···,l()，這是熟知的函數，有具體表達式。

步驟2.求出+1個分段次多項式，稱之為生成元{f(),=0,1,···,}(生成元滿足的條件見下文)，得到第二組函數。

再由新生成的函數組經過“壓縮、復制與反復制”，依次遞歸無限進行下去，得到的無限個函數構成的函數序列，即為次U-系統。

次V-系統的構造步驟：

步驟1和步驟2.同上述U-系統的過程完全一樣。

步驟3.壓縮并局部復制生成后續序列，將{f(),=0,1,···,}中每個函數按照下面的方式壓縮復制為

因此得到次V-系統，也是由可數無窮多個函數構成的函數系。(注：上述所有函數在間斷點處，可定義函數取值為左右極限的平均值)。

次U，V-系統均是從Legendre多項式出發，再構造+1個生成元，U-系統是通過對這些生成元的“壓縮、復制與反復制”所得到，V-系統則是通過“壓縮、局部復制”所得到。無論是U-系統還是V-系統，起核心作用的是共同的“生成元”，為了保證函數系的正交完備性，+1個生成元f(),=0,1,···,必須滿足以下條件：

按照生成元的條件，可以用待定系數法通過求解非線性方程組而得到。=0～3次的生成元有直接表達式，見文獻[3]。

文獻[15]從另一個角度研究了U，V-系統生成元(文獻[15]稱為小波函數)的構造，從Legendre 多項式和截斷單項式出發，通過Gram-Schmidt 正交化過程，得到生成元的數學通項表達，同時證明了生成元的存在性。

另一方面，次V-系統也可以經過次U-系統的線性組合得到。首先，完全相同的步驟1和步驟2，說明其前2(+1)個函數完全相同；其次，V-系統的步驟3得到每個函數，可以經過U-系統步驟)得到的某2個函數“相加或相減再除2”得到，見文獻[3]。因此次U-系統和次V-系統從代數關系上說是等價的。

V-系統還有很多等價的構造方法，如從Franklin函數出發，從截斷單項式出發，經過Gram-Schmidt正交化方法得到V-系統，見文獻[3]。

U，V-系統最突出的特點是函數系中的間斷信息，與物理學及工程技術領域的間斷、跳躍、突變等緊密相關，因此可用于這些“異類”信號的處理問題。

=0,1,2,3次U，V-系統的前若干個函數的圖形見圖1。

1.2 U、V變換及其快速算法

對離散信號進行U，V-系統分析，必須用到有限U，V變換。在實際應用中，一般需要構造離散U-系統或離散V-系統的正交矩陣。以離散U矩陣為例，將區間[0,1]等分為=2個子區間，在每個子區間上分別對前個基函數0(),1(),···,U-1()作積分，得到=2個向量，形成矩陣

一般說來，矩陣并不是正交的，需要再經正交化得到相應的正交U矩陣或正交V矩陣。有了正交矩陣，就可以對離散信號進行U，V正交變換與分析。

可以看出，通過上述方法實現的U，V變換，需要事先計算并保存某一固定階數的變換矩陣，當信號的長度很大時，計算效率將變得很低。

圖1 U-系統和V-系統部分函數圖((a) k=0～3次U-系統部分函數；(b) k=0～3次V-系統部分函數)

關于次離散U變換的研究，文獻[16]給出了更一般的闡述，特別對2次離散U變換，建立了矩陣表示的遞推關系與快速算法，具體給出了4點、8點、16點矩陣的快速算法流程圖。并利用Kronecher積，推導出正交U變換的直接分解算法。

而對于快速離散V變換，有2種算法給予實現[3]。一種是間接方法，先對信號進行快速U變換，再經Hadamard矩陣變換得到V變換結果；另一種是直接運用V-系統多小波的特性，得到相應的小波分解與重建算法，即Mallat算法，此不贅述。

1.3 三角域上U-系統與V-系統的構造

從一維情形向二維或更高維情形的推廣，簡單而直接的形式是張量積，將正交函數用于圖像處理問題，普遍用到張量積形式。但對幾何信息處理、特別是計算機輔助曲面造型問題，除了張量積形式，更有三角域形式要研究，因為三角面片在幾何造型中具有簡便靈活的優點，三角域上的曲面造型已經得到非常廣泛地應用。

研究三角域上次U，V-系統的定義[17-18]，一個重要目的在于實現曲面造型的正交重構，從而能將頻譜分析方法引入幾何設計。

1988年齊東旭教授得到了三角域上的Walsh 函數和Haar函數的具體表達，2008年又率領弟子們得到了三角域上的U，V-系統的表達，且有直角坐標和面積坐標2種表達形式。

由于三角域上的表達較復雜，限于篇幅，僅給出構造的大概思想，具體細節參考文獻[3]。

三角域上的次U，V-系統也是分組構造的：

第(≥3)組：對第二組中的生成元進行4-2倍壓縮，然后在三角域4-1剖分子區域上，U-系統按照“復制和反復制”生成后續函數列，V-系統則按照“局部復制”生成后續函數列，此過程中為了保證函數列的規范性，需要配置恰當的規范系數。至此得到完整的三角域上次U，V-系統。

圖2給出了三角域上V-系統的構造示意圖。

圖2 三角域上V-系統的構造示意圖

1.4 主要性質

作為2類關系十分緊密的完備正交函數系，U-系統與V-系統既具有相同的性質，也具有各自不同的特征。本文將列出一些主要的性質，具體證明可參考文獻[3]。

性質1.完備正交性。

任意次U-系統和次V-系統都是2[0, 1]上的完備正交函數系。

性質2.級數收斂性。

記{1(),2(),···,(),···}為次U-系統或次V-系統基函數，給定函數，相應的Fourier-U級數或Fourier-V級數為

則有

其中，SF為式(4)右端的部分和，即

性質3.級數再生性。

性質4.U-系統序率性。

當從0到1增大，U-系統函數值符號的改變次數呈遞增規律。

性質5.離散1次U-系統是斜變換。

斜變換在信號處理中有廣泛的應用價值，且有快速算法。因此U-系統也可以看作是斜變換的推廣。

性質6. U-系統是一類有限區間上的預小波。

性質7. V-系統是一類有限區間上的正交多小波。

V-系統中第一組函數，即前+1個Legendre多項式，就是多小波的尺度函數；第二組即+1個生成元函數就是小波函數。

小波分析是上世紀80年代末發展起來的調和分析方法，并在信號與圖像處理的眾多領域中得到了廣泛地應用。多小波是在單小波研究基礎上提出的概念，早期的單小波，是由一個尺度函數生成的小波。單小波不可能同時具備對稱性、有限支集、正交及二階消失矩等性質，但是多小波卻可以同時具備這些性質。因為V-系統的多小波特性使得V-系統的應用更為廣泛。

2 U-系統與V-系統的應用舉例

U，V-系統是Walsh函數和Haar函數向高次情形的推廣，在間斷點處具有各個層次的間斷：從-1階導數、-2階導數，···，直到函數本身間斷。正是由于U，V-系統中的函數出現各個層次的間斷，使其在表達用分段多項式描述的幾何對象時，用有限項的Fourier-U，V級數可以精確重構原來的幾何模型。

國內學者在U，V-系統的理論和應用方面做了許多探索[19-58]，本文僅摘錄幾類典型例子。

2.1 幾何模型的精確重構與頻譜分析[19-27]

幾何信息處理與圖像信息處理的數學技術有很大差別。前者的研究，大體歸為計算幾何學(代表性的數學工具諸如樣條插值與擬合、Bernstein- Bezier方法、子分割算法等數值逼近理論，及計算復雜性理論)；后者歸為數字圖像處理技術(代表性的數學工具有各種正交變換：Fourier，Walsh，Hadamard，Slant和Wavelet等)。以Fourier及小波分析為代表的變換理論，無論在理論上還是廣泛地應用方面，在包括圖像在內的信號處理方面，已經表明其是強有力的數學工具。然而，利用正交變換的頻譜分析這一強有力手段，在幾何信息的描述(如曲線、曲面的數學表達、幾何圖組的整體特征生成與提取)方面，卻沒有足夠的表現與施展。簡言之，關于曲線與曲面的數學，關注基函數(如Bernstein，B-樣條，NURBS等)的研究，但不追求基函數的正交性，因而計算幾何學的研究內容未包括頻譜分析。

為什么現行的諸多正交函數(如Fourier函數系、小波等)未被用來表達曲線與曲面呢？其中Gibbs現象是主要障礙。由Fourier分析理論可知，在間斷點出現的地方，Fourier級數的不一致收斂性質，使得有限的計算步驟不能避免Gibbs現象。U，V-系統的出現，使得頻譜分析方法引入計算幾何學，用U，V-系統表達幾何對象時可以消除Gibbs現象，做到精確重構。

圖3是V-系統對汽車模型(作為一個幾何圖形)的重構與Fourier重構效果的比較。顯然V-系統128項就可以精確表達，而Fourier重構中即使用3 000項，Gibbs現象依然存在。

三角域上U，V-系統可將3D幾何對象精確表達，圖4是三維模型中很有代表性并經常被引用的Dragon模型，試驗中使用的模型有871 414個三角面片。通過對三角面片的V-系統分解，得到，，3個方向的譜，就可以對模型精確重構。

圖3 V-系統對幾何圖組的精確重構((a)汽車輪廓； (b) Fourier重構(100項)；(c) Fourier重構(500項)； (d) Fourier重構(1500項)；(e) Fourier重構(3000項)； (f) 3次V-系統重構(128項))

圖4 Dragon模型及其3個方向的頻譜 ((a) 3D幾何模型；(b)頻譜)

當把一個幾何對象精確表達之后，就可以通過U，V-系統的正交性特點，從U，V-系統的譜系數中提取幾何對象的特征，進而進行分類識別，這就是幾何對象的頻譜分析方法。

2.2 分形曲線生成[28-29]

通過上述介紹可知，給定一個幾何對象(不論是單體的還是群組的)，U，V-系統可以實現對其的正交分解及精確重構。實際上，作為一類特殊的基函數，通過對U，V-系統的頻譜系數進行改變，能夠主動生成新的幾何模型。以分形為例，在分形的生成問題中，一般是通過對某個初始幾何對象的迭代操作來實現，經典的方法包括L系統、迭代函數系統(iterative function system，IFS)等。而在文獻[28-29]中，首次提出了分形曲線生成的頻譜方法，分別提出了基于V-系統和正交Franklin函數系的分形曲線生成算法。

若將第層全部基函數記作向量形式

相應的頻譜向量為

那么，

可以看出，上式給出了分形的一種新的表示方法，并使得分形的高低頻分布層次更加分明，更好地刻畫了分形的自相似結構。

為了對頻譜系數進行修改，對每層的頻譜向量引入一個調節參數α，=1,2,···,，得到

其中，()為對原分形頻譜系數進行修改而生成的新的分形。因此，通過設置不同的參數向量，可以得到不同的重構曲線。圖5給出一個從Hilbert曲線出發，通過改變V-系統參數，生成多種新的分形的例子。

2.3 2D形狀檢索和3D模型檢索[30-43]

U，V-系統可以定義相應的描述子和矩，用于識別、分類以及檢索。本文以V-系統為例(U-系統完全類似)，給出2D商標的特征描述。

圖5 基于V-系統頻譜的分形曲線生成

對商標檢索或幾何對象分類，需先解釋下面一些必需的概念。

(1) V-系統的離散化：即求一個2階的離散V-矩陣，其過程是：取V-系統的前2個基函數，對第個基函數在[0，1]區間均勻地取2個值(也可以取函數在每個小區間上的平均值)，構成一個2階方陣的第行，當=1,2,···,2，就構成一個2階方陣；一般來說這個方陣還不是正交矩陣，對其正交化即得到離散正交V-矩陣。的取值由所處理的信號來決定。

(2) V-描述子：對圖像或幾何對象提取邊界，得到邊界點列{P(x,y)|=1,2,···,2}(可以采用插值方法使其邊界點數為2)。對這個邊界點列進行正交V-變換為

利用特征向量的歐氏距離可以度量2幅圖像的差距，從而實現圖像的分類和檢索。檢驗算法的可靠性要在通用商標數據庫中進行實驗，V-描述子和V-矩在商標檢索時取得了較好的實驗結果。圖6給出了一個檢索例子。

圖6 針對實驗數據庫中的商標檢索比較實驗

(4) 分層V-系統：文獻[31]給出基于層次V系統的復雜商標表示方法，提出基于多階次(=0,1,2,3)的V-系統生成的分層V-系統(HV系統)，層次結構帶來了更詳細的形狀表示信息的同時，仍然保持了V系統本身在正交系統中的優勢。同時還提出層級式V系統的正交化描述子(HV描述子)，證明了HV描述子滿足旋轉、平移和尺度變換的不變性。層次V-系統方法可以在避免產生Gibbs現象的同時，用合理的描述符、且較少的項數來表示復雜的商標，并能獲得準確地表示結果。圖7給出層次V系統的算法流程。

圖7 層次V系統的算法流程圖

(5) U，V旋轉不變矩：旋轉不變性在圖像模式識別中具有基本的重要性，傳統的以Zernike矩為代表的變換在模式識別、邊緣檢測、紋理分類、方向估計、圖像重建等領域得到了廣泛地應用。然而，傳統矩方法均以多項式為核函數，存在表達式復雜、數值計算不穩定、特征提取能力弱等缺點。文獻[33]將U系統與三角函數結合，構造了一類極坐標系下的二維旋轉不變的數學變換。

記u()為次U系統中的第個基函數，定義單位圓盤上的U-調和基函數為

其中，=0,1,2,···；=0,±1,±2,···。可以看出，U-調和基函數由角向的三角函數和徑向的U系統函數的乘積組成。

設定義在單位圓盤上的圖像為(,)，其二維旋轉不變U變換為

則圖像(,)旋轉前后，其二維旋轉不變的U變換系數的模||M||不變。

除了旋轉不變性以外，二維旋轉不變的U變換還具有諸如多分辨率性、函數支撐均勻性、序率性、間斷性以及數值計算簡單等，這些性質在圖像特征提取中均起著重要的作用，詳細內容見文獻[33]。

需要指出的是，雖然U系統是一類正交函數系，但式(14)定義的U-調和基函數不再滿足正交性。一般說來，同時具備正交性、旋轉不變性以及分段低次性是很困難的。在文獻[34]中，通過對V系統基函數的改造，構造了一類正交旋轉不變V變換。

那么，需滿足正交性要求，即

因此，可實現正交旋轉不變V變換及正交重構。在實際計算過程中，由于在加權V-系統基函數在零點附近存在奇點，若直接計算會導致數值不穩定，文獻[34]通過重采樣技術得到極坐標系下等面積扇形像素(如圖8(a)，(b)所示)，從而能夠精確計算出積分結果。

圖8 正交旋轉不變V變換中的重采樣及正交重構((a)笛卡爾系下像素；(b)極坐標系下像素；(c)～(f)分別用8階、16階、32階、64階基函數進行圖像正交重構)

基于正交旋轉不變的V變換的圖像重構如圖8(c)所示。文獻[34]將正交旋轉不變的V變換應用于二值圖像的檢索，取得滿意效果。

對3D幾何模型的檢索要用到三角域U，V-系統，首先要將幾何模型參數化，將模型的三角網格映射到三角域(圖9)，然后對參數化后的模型進行U，V-系統的分解，得到，，3個方向的譜系數。設模型(可以是群組)在U，V-系統下頻域表達為

文獻[32]基于V-系統提出V-Laplace描述子，用于3D模型檢索，取得非常好的效果，圖11是其中一個檢索例子。

2.4 2D圖像和3D模型的數字水印[44-46]

將一個信號(2D圖像或3D幾何模型)在U，V-系統之下分解后，得到譜系數，可以精確重構原信息。基于這個原理，可以實現數字水印的植入。具體植入水印的方法很多，最基本的是在譜系數的中頻部分植入水印的譜系數。為了保證水印的魯棒性，要設計高質量的植入技巧，使得水印可以抵抗各種攻擊。

圖9 三角網格模型參數化示意圖

圖10 3D模型群組檢索的比較試驗((a)本文方法；(b)幾何矩方法；(c)剪影輪廓FV方法)

圖11 V-Laplace描述子用于3D模型檢索

圖12所示是2D圖像的數字水印例子，小圖像“手”是水印。

3D模型水印的植入，首先要將3D模型參數化，然后在V-系統下展開，得到3個方向的譜系數，將水印的譜植入到模型的譜中，整個過程技巧很多。表1～3是一個3D模型水印植入和提取以及抗攻擊的效果，其中的二值圖像“中國夢”為水印。

圖12 基于V-系統的數字水印植入及抗攻擊實驗

Tabel 1 Subjective and objective evaluation of the watermarked model and extracted watermark

表1 水印模型和提取水印的主觀及客觀評價

表2 噪聲攻擊實驗結果

2.5 多尺度全月球粗糙度分析[47]

地形粗糙度是描述地理信息中地形復雜程度的重要參量。傳統的粗糙度技術只將粗糙度當作是地形高低差異的統計參量，并未對粗糙度信息進行提取和分析。因此，現存的粗糙度可視化模型(圖像、三維模型)并不能準確地顯示出地形的粗糙度信息。通常對于地形粗糙度的研究更多是將粗糙度當作描述地形高程變化的參量，并未將粗糙度特征提取作為重心，更多只是在地形高程變化差值的基礎上，改變統計量化的方式來描述地形粗糙度特征。基于高階離散小波V-系統(2次，3次)能夠使用非線性分段次多項式來表達幾何信息的特點，提出了基于V-系統的地形特征提取因子的構造算法和提取后特征量化算法，用來反映不同尺度復雜地形地貌表面的起伏程度，解決傳統大部分算法基于局部高低差進行量化，導致結果忽略密度高，地形起伏頻度高，但高低變化不明顯特征變化的問題。

表3 裁剪攻擊實驗結果

傳統算法不僅無法將地形信息中的光滑部分去掉，還會丟失相當一部分的粗糙度信息。使用V-系統中的非連續函數可以更準確地將地形粗糙度特征從原始數據中提取出來。如圖13所示，V-系統粗糙度技術不僅在可視化圖像中能夠顯示出更多的粗糙度信息，且從統計結果上看(表4)，V-系統粗糙度地圖對于細小的粗糙度信息的提取更加準確，0.0～0.1區間內，V-系統的特征點比傳統技術更少，說明V-系統在這些被傳統算法認為完全或者幾乎是光滑的區域內識別到更多的粗糙度信息。

圖13 基于V系統的月球地形地貌分析

2.6 數字圖像處理[48-56]

U，V-系統在圖像處理中的應用，與一般正交系原理相同，但V-系統因為是多小波，所以具備更多小波的功能。圖14說明V-系統能有小波一樣的分解，這樣的性質使得V-系統在圖像壓縮、圖像去噪、圖像去霧、圖像增強、圖像融合中有特別的應用。圖15～17所示為圖像去霧、增強及融合的例子。

表4 月球地表粗糙度統計結果

圖14 圖像的三層V-系統分解

圖15 圖像去霧((a)霧圖；(b)去霧圖像)[52]

2.7 V-系統與神經網絡結合[57]

文獻[57]提出了一種基于V-變換與卷積相結合的圖像超分辨率模型(圖18)。新的模型主要由V-變換模塊、特征融合模塊和上采樣模塊組成。一張低分辨圖像(low resolution image，LR)首先經過V-變換模塊完成初級特征提取的任務，然后經過特征融合模塊獲取更豐富的信息，所有的信息輸入到下采樣模塊中，將學習到的特征變為需要的大小，最終得到清晰的超分辨圖像(super-resolution image，SR)。特征融合模塊的位置可以被現存的任何卷積神經網絡替代，只需要匹配接入網絡的輸入和輸出通道大小。

圖16 圖像增強((a)低照度圖像；(b)增強圖像)[53]

圖17 醫學圖像融合((a) CT圖像；(b) MRI圖像；(c)融合圖像)[54]

圖18 模型示意圖

2.7.1 V-變換與卷積

V-變換需要經過兩次矩陣乘法，因為矩陣乘法的計算方式，使得運算對于正交V-矩陣和LR圖像的大小有很大的限制，且必須保持一致。因此帶來了計算力和時間的消耗，而且一旦的大小發生變化，一個固定大小的矩陣在大小上不能與之匹配，網絡的訓練就會出錯，對于V-變換的使用變得死板。文獻[55]通過將矩陣乘法轉化為卷積點乘的方式解決該問題，用2×2矩陣示意，即

2.7.2 V-變換模塊

圖19為V-變換模塊。一張輸入圖像分別經過V-變換、卷積層和激活層之后，將過程中產生的所有信息都相加輸入到后續網絡中。以往的超分辨卷積神經網絡模型，無論是否與小波變換相結合，網絡結構多么復雜，模型深度如何，在網絡特征提取的初期都會使用一個3×3的卷積，直接將網絡的通道數增加到64，這樣直接且簡單地處理不能很好地完成早期的特征提取任務，后續深度卷積神經網絡的表達能力會受到限制，造成網絡效果不好。

圖19 V-變換模塊示意圖

V-變換能更好地在特征提取的初期提取頻次信息，豐富的信息可以促進卷積神經網絡的表達能力。首先利用V-變換作為過渡，將網絡通道數緩慢地增加到64，既可以提取到更多超分辨任務關注的頻次信息也可以細致地捕捉更多細節；其次，V-變換與普通卷積并行，也就是空域與頻域并行，將所有捕獲的特征都輸入到后續的卷積神經網絡中，為后續的訓練提供豐富的特征。

2.7.3 V-損失函數

本文提出新損失函數的理論基礎是，無論在空域還是頻域，超分辨圖像(SR)和高分辨圖像(high-resolution image，HR)損失函數的值達到最小時，預測結果最準確。V-損失為

采用兩階段的訓練方法。將式(19)作為主損失函數，先對網絡進行一輪訓練，充分利用L1損失函數保留信息的能力和V-損失對于高頻信息在重建中的引導作用，訓練得出的參數對于超分辨任務已經有了很好地預測作用。第二階段的訓練，用(2.5)對已經訓練好的參數進行提純，進一步提升網絡預測能力。無論第一階段的訓練還是第二階段的訓練，都是在頻域上進行，因此兩階段的訓練都有V-損失函數的出現。

只是一個簡單的訓練手段，未添加任何新的模塊，兩階段法可以提升PSNR值，這樣低成本的提升方式是人們一直尋找的。

上述方法在圖像超分辨率重構任務中有出色的表現，在通用數據集上的實驗結果表明，與當前很多優秀的算法相比，無論是定性還是定量標準，都具有更好的實驗結果，見文獻[57]。

2.8 V-系統用于新冠肺炎評估[58]

數字圖像特征識別技術的研究具有重要的意義，諸如生物工程、醫療診斷、機械行業等。為了開展基于胸部CT圖像的新冠肺炎感染區分割、檢測和診斷研究，文獻[58]提出了一種基于V系統的從胸部CT影像中識別肺部感染特征新方法，并根據選取的影像特征評估COVID-19肺部感染的嚴重性(圖20)。首先在胸部CT影像中，針對雙肺的分割，校正確定肺部區域，并獲得肺輪廓；然后，選取粗糙度、對比度、粗略度和熵作為感染區域紋理特征以獲取COVID-19感染區域，以及病變輪廓；最后，將紋理特征和V描述子融合為COVID-19嚴重性估計的評估描述符。與大多數現有方法相比，新描述符包含的信息更多，因此，新方法更適合評估COVID-19肺部感染的嚴重性。

圖20 基于V描述子的新冠肺炎評估算法流程圖

3 結 論

一百年前，Haar函數與Walsh函數相繼面世，且為分段的2值或3值函數。在微積分發展歷程中，注重連續函數，對這樣的間斷對象，其研究成果并不多見。到了上世紀初，人們的關注點大有改變，物理學及工程技術領域的熱點話題是間斷、跳躍、突變、跨音速、沖擊波等。相應地，數學家對非連續函數的研究興趣出現甚至可以說高漲起來。

Walsh函數和Haar函數都是2[0,1]上的完備正交系，這2類函數的跳躍間斷出現在/2處(,為正整數)。其元素的成分，皆為方波或若干個方波的組合，而方波恰是狄拉克函數()經斯切克洛夫平滑算子作用的第一步結果；而引申出的U，V-系統，其結構中的元素均為都是分段多項式，形成了分段多項式族。U，V-系統最突出的特點是函數系中的間斷信息，這與物理學及工程技術領域的間斷、跳躍、突變等緊密相關，因此均可以用于這些“異類”信號的處理問題。

本文僅對U，V-系統的理論及典型應用進行了階段性總結，不足與欠妥之處在所難免，希望對本文內容有興趣的讀者提出寶貴意見，我們誠懇歡迎任何批評和建議。

(致謝：齊東旭教授是我國計算幾何和計算機圖形學學科的主要開創者和引領者之一，U，V-系統是齊東旭教授的重要研究成果之一，他對本文的寫作給予熱情支持和親切關懷，在此表示崇高敬意！)

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A Survey of theory and applications of U-system and V-system

CHEN Wei1, CAI Zhan-chuan2, LI Jian3, LIANG Yan-yan2, XIONG Gang-qiang4, SONG Rui-xia5

(1. School of Artificial Intelligence and Computer Science, Jiangnan University, Wuxi Jiangsu 214122, China; 2. School of Computer Science and Engineering, Macau University of Science and Technology, Macau 999078, China; 3. Faculty of Applied Sciences, Macao Polytechnic University, Macau 999078, China; 4. School of Information Engineering, Guangdong Medical University, Dongguan Guangdong 523808, China; 5. College of Sciences, North China University of Technology, Beijing 100044, China)

The traditional Fourier analysis and continuous wavelet method will produce relatively enormous errors due to the interference of Gibbs phenomenon. To solve this problem, Qi Dongxu proposed the research topic of discontinuous orthogonal function systems, among which U-system and V-system are two typical discontinuous complete orthogonal function systems. In terms of the mathematical theory, U-system and V-system are the results of the extension of the well-known Walsh function and Haar function from piecewise constant to piecewisedegree polynomial, respectively. The most important feature of U-system is that there are both smooth functions and discontinuous functions at various levels in the function system. Therefore, U- and V- systems can process both continuous and discontinuous information, making up for the shortcomings of Fourier analysis and continuous wavelet to a certain extent. This paper reviewed U- and V- systems from two aspects: theory and application. Theoretically, firstly, the construction methods of univariate U-system and V-system were introduced, respectively, then the construction methods of V-system on triangular domain were introduced, and finally the main properties of U- and V-systems were introduced. In terms of application, some representative cases of applications were introduced.

U-system; V-system; orthogonal function; discontinuity; spectral analysis

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2022061002

A

2095-302X(2022)06-1002-16

2022-07-31；

：2022-10-19

陳 偉(1986-)，男，副教授，博士。主要研究方向為計算機圖形學、信號處理。E-mail：chenwei.must@gmail.com

宋瑞霞(1963-)，女，教授，碩士。主要研究方向為計算機圖形學、計算幾何。E-mail：songrx@ncut.edu.cn

31 July，2022；

19 October，2022

CHEN Wei (1986-), associate professor, Ph.D. His main research interests cover computer graphics and signal processing. E-mail：chenwei.must@gmail.com

SONG Rui-xia (1963-), professor, master. Her main research interests cover computer graphics and computational geometry. E-mail：songrx@ncut.edu.cn