數(shù)控加工中路徑規(guī)劃與速度插補(bǔ)綜述

馬鴻宇，申立勇，姜 鑫，鄒 強(qiáng)，袁春明

數(shù)控加工中路徑規(guī)劃與速度插補(bǔ)綜述

馬鴻宇1，申立勇1，姜 鑫2，鄒 強(qiáng)3，袁春明4

(1. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100049； 2. 北京航空航天大學(xué)人工智能研究院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083； 3. 浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，CAD&CG國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027； 4. 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京 100190)

數(shù)控技術(shù)在現(xiàn)代制造工業(yè)中被廣泛使用，相關(guān)研究一直為學(xué)界和業(yè)界共同關(guān)注。數(shù)控技術(shù)的傳統(tǒng)流程主要包含刀具路徑規(guī)劃和進(jìn)給速度插補(bǔ)。為實(shí)現(xiàn)高速高精加工，人們通常將路徑規(guī)劃與速度插補(bǔ)中的若干問(wèn)題轉(zhuǎn)換成數(shù)理優(yōu)化模型，針對(duì)工程應(yīng)用問(wèn)題的復(fù)雜性，采用分步迭代優(yōu)化的思路進(jìn)行求解，但所得的結(jié)果往往只是局部最優(yōu)解。其次，路徑規(guī)劃與速度插補(bǔ)都是為了加工一個(gè)工件曲面，分兩步進(jìn)行處理雖然簡(jiǎn)化了計(jì)算，但也導(dǎo)致不能進(jìn)行整體優(yōu)化。因此，為了更好地開(kāi)展路徑規(guī)劃與速度插補(bǔ)一體化設(shè)計(jì)與全局最優(yōu)求解的研究，系統(tǒng)性地了解并學(xué)習(xí)已有的代表性工作是十分有必要的。所以將逐次介紹數(shù)控加工中刀具路徑規(guī)劃與速度插補(bǔ)的相關(guān)方法與技術(shù)進(jìn)展，包括基于端銑的加工路徑規(guī)劃；刀軸方向優(yōu)化；G代碼加工以及拐角過(guò)渡；參數(shù)曲線路徑的進(jìn)給速度規(guī)劃等國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究以及最新提出的一些新型加工優(yōu)化方法。

計(jì)算機(jī)輔助制造；數(shù)控技術(shù)；路徑規(guī)劃；速度插補(bǔ)；G代碼加工

數(shù)控機(jī)床(computer numerical control machine tools)是數(shù)字化控制機(jī)床的簡(jiǎn)稱(chēng)，是一種裝有程序控制系統(tǒng)的零件加工生產(chǎn)設(shè)備，可以高效生產(chǎn)各種復(fù)雜曲面零部件，如大型艦船螺旋槳、航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉輪、隱形戰(zhàn)機(jī)一體成型機(jī)翼，汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)零部件，5G高精度零部件等。數(shù)控機(jī)床作為工業(yè)母機(jī)是支撐國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的戰(zhàn)略性產(chǎn)業(yè)。數(shù)控機(jī)床加工技術(shù)具有加工精度高、自動(dòng)化程度高、可靠性高、對(duì)加工對(duì)象的適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)成為當(dāng)前制造業(yè)中主要力量，也是未來(lái)先進(jìn)制造加工領(lǐng)域中必不可少的核心組成。數(shù)控系統(tǒng)作為數(shù)控機(jī)床的控制核心，是數(shù)控機(jī)床的“大腦”，其功能、控制精度和可靠性直接影響機(jī)床的整體性能、性?xún)r(jià)比和市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。數(shù)控技術(shù)則是數(shù)控系統(tǒng)中技術(shù)概括，傳統(tǒng)意義上涵蓋數(shù)理模型、加工工藝、系統(tǒng)控制、軟硬件協(xié)同等，在當(dāng)前智能框架下還可以延伸到前端的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(computer aided design，CAD)幾何設(shè)計(jì)分析，后端的數(shù)控加工(computer numerical control，CNC)智能控制等。

隨著國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)日益激烈，各國(guó)對(duì)高、精、尖裝備的需求日益擴(kuò)大，向現(xiàn)代制造加工技術(shù)提出了新的挑戰(zhàn)，所以數(shù)控加工技術(shù)已經(jīng)是各主要國(guó)家的重要產(chǎn)業(yè)戰(zhàn)略布局點(diǎn)。美國(guó)先后發(fā)布了《先進(jìn)制造伙伴關(guān)系計(jì)劃》、《先進(jìn)制造業(yè)國(guó)家戰(zhàn)略計(jì)劃》、《美國(guó)先進(jìn)制造業(yè)領(lǐng)導(dǎo)戰(zhàn)略》等多項(xiàng)法案計(jì)劃來(lái)大力發(fā)展先進(jìn)制造加工技術(shù)；德國(guó)提出了工業(yè)4.0的發(fā)展計(jì)劃，力圖將其打造為新一輪工業(yè)革命的技術(shù)平臺(tái)；日本公布了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)藍(lán)圖，旨在強(qiáng)化國(guó)內(nèi)制造業(yè)；英國(guó)、韓國(guó)、印度、中國(guó)臺(tái)灣等地區(qū)亦提出積極的戰(zhàn)略和政策，推動(dòng)新興技術(shù)在數(shù)控機(jī)床等裝備產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域加快融合。在2015年，由國(guó)務(wù)院印發(fā)的《中國(guó)制造 2025》中提到，要將高檔數(shù)控機(jī)床和基礎(chǔ)制造裝備列為“加快突破的戰(zhàn)略必爭(zhēng)領(lǐng)域”，錨定我國(guó)裝備制造業(yè)全球競(jìng)爭(zhēng)地位，支撐國(guó)防和產(chǎn)業(yè)安全的戰(zhàn)略需求，特別是支撐我國(guó)從制造大國(guó)到制造強(qiáng)國(guó)的過(guò)渡中，核心戰(zhàn)略技術(shù)研發(fā)是重中之重。

數(shù)控加工的主要流程包括CAD、計(jì)算機(jī)輔助制造(computer aided manufacturing，CAM)、后處理過(guò)程以及機(jī)床加工，如圖1所示。

隨著數(shù)控機(jī)床的快速發(fā)展，人們?cè)趯?shí)際數(shù)控加工中對(duì)CAM的精度和效率提出了更高的要求。CAM一般包含加工路徑規(guī)劃和刀軸方向規(guī)劃。由于刀具必須沿著規(guī)劃好的加工軌跡行進(jìn)，因此，加工路徑和刀軸方向的優(yōu)劣在一定程度上決定了后繼的加工精度和加工效率。其中加工路徑規(guī)劃又可以分為基于側(cè)銑和基于端銑的刀具路徑。側(cè)銑在加工一些特定曲面(如直紋面等)具有很高的加工效率，而端銑則在加工自由曲面時(shí)具有更好的效果。本文將主要介紹針對(duì)自由曲面的相關(guān)數(shù)控加工技術(shù)，因此關(guān)于側(cè)銑的方法將不做展開(kāi)。

圖1 數(shù)控加工流程圖

而機(jī)床加工過(guò)程的核心內(nèi)容則是進(jìn)給速度規(guī)劃。根據(jù)刀具路徑的類(lèi)型可分為：G代碼加工及拐角過(guò)渡；針對(duì)參數(shù)曲線的進(jìn)給速度規(guī)劃。在得到刀具路徑之后，總是希望刀具在滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和幾何誤差約束的前提下能夠更快地沿著刀具路徑進(jìn)行切削，從而縮短加工時(shí)間。所以進(jìn)給速度規(guī)劃直接決定了加工工件的質(zhì)量與效率，在數(shù)控加工中起著至關(guān)重要的作用。

1 加工路徑規(guī)劃

加工路徑指工件與機(jī)床刀具的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡，其決定著刀具如何切削毛坯，以形成設(shè)計(jì)幾何所規(guī)定的曲面形狀。加工路徑在很大程度上決定著進(jìn)給速度、切屑面積、切削力甚至是顫振(chatter)的發(fā)生與否，因此，路徑質(zhì)量直接關(guān)系著實(shí)際加工的精度和效率。從CAD/CAM一體化角度來(lái)看，加工路徑是CAD模型(即設(shè)計(jì)幾何)和CNC加工代碼的中間狀態(tài)(即制造幾何)，是數(shù)字空間和物理空間之間的橋梁(圖2)。故而能否自動(dòng)規(guī)劃加工路徑直接關(guān)系著產(chǎn)品生命周期的整體自動(dòng)化程度和效率。

圖2 加工路徑是數(shù)字-物理二元空間的橋梁

廣義上，加工路徑包括刀位點(diǎn)位置與刀軸方向2個(gè)方面；狹義上，加工路徑僅指刀位點(diǎn)位置(一方面由于刀軸方向規(guī)劃一般是在刀位點(diǎn)規(guī)劃的基礎(chǔ)之上進(jìn)行，另一方面是因?yàn)槿S數(shù)控機(jī)床的廣泛應(yīng)用，其刀軸方向是固定不變的，不需要額外的刀軸方向規(guī)劃)。因此，本文采用后者定義。加工路徑的質(zhì)量有3個(gè)主要評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)[1]：

(1) 相鄰路徑間殘留材料的高度(簡(jiǎn)稱(chēng)殘高)不超過(guò)給定容差，以保證加工精度；

(2) 加工路徑總長(zhǎng)度盡量小，以減少加工時(shí)間；

(3) 加工路徑的光滑程度盡量高，以防止頻繁加減速，從而提高平均進(jìn)給速度，降低加工時(shí)間。

其中，標(biāo)準(zhǔn)(1)是加工精度方面的要求，標(biāo)準(zhǔn)(2)和(3)是加工效率方面的要求。對(duì)于簡(jiǎn)單幾何，3個(gè)要求一般可以同時(shí)滿(mǎn)足，如對(duì)于平面，行型(direction parallel)的等殘高路徑同時(shí)也是最短且光順的(除各條路徑首尾相連處)；然而，對(duì)于復(fù)雜曲面，其之間往往是不相容的，不能同時(shí)滿(mǎn)足。加工路徑規(guī)劃的難點(diǎn)就在于如何平衡三者，尤其是全局最優(yōu)的平衡。

針對(duì)上述3個(gè)要求，人們?cè)谶^(guò)去的30余年里提出了一系列路徑規(guī)劃方法，其中具有基礎(chǔ)意義的加工路徑生成方法主要有等參數(shù)法(iso-parametric)、截平面法(iso-planar)、等殘高法(iso-scallop)等[2]，新近發(fā)展的加工路徑優(yōu)化方法有向量場(chǎng)方法、等水平法等。

1.1 傳統(tǒng)加工路徑規(guī)劃方法

在三大傳統(tǒng)方法中，等參數(shù)法最早被學(xué)術(shù)界提出。如圖3所示，對(duì)于三維空間中的自由曲面，該方法通過(guò)固定一個(gè)參數(shù)()，變動(dòng)另一參數(shù)()，在參數(shù)域生成一條直線段，并選取其所對(duì)應(yīng)的三維空間曲線為加工路徑[3]。相鄰加工路徑對(duì)應(yīng)的參數(shù)增量由工程師指定的容差確定，即殘高不超過(guò)給定容差值。

圖3 等參數(shù)路徑規(guī)劃方法示意圖[3]

等參數(shù)法具有路徑光滑、計(jì)算簡(jiǎn)單、與NURBS曲面表示方法契合度高等優(yōu)點(diǎn)，但也存在路徑質(zhì)量不高的缺點(diǎn)，主要表現(xiàn)為路徑總長(zhǎng)度過(guò)大(其原因在于路徑疏密不一致、冗余加工過(guò)多)，且該方法不適用于離散的網(wǎng)格和點(diǎn)云曲面。

針對(duì)前一缺點(diǎn)，常用的改進(jìn)方法有：ELBER和COHEN[4]對(duì)過(guò)密區(qū)域進(jìn)行路徑裁剪；HE等[5]對(duì)過(guò)密區(qū)域進(jìn)行路徑間距微調(diào)。針對(duì)后一缺點(diǎn)，可用網(wǎng)格模型和點(diǎn)云模型進(jìn)行參數(shù)化，重建參數(shù)域解決；這方面典型的工作見(jiàn)文獻(xiàn)[6-7]，其分別面向網(wǎng)格和點(diǎn)云。

通過(guò)上述改進(jìn)方法，等參加工路徑的總長(zhǎng)度雖有所降低，但問(wèn)題仍然突出。為進(jìn)一步降低路徑總長(zhǎng)度，DING等[8]提出截平面法(截平面法被學(xué)術(shù)界正式提出之前，工業(yè)界已獨(dú)立應(yīng)用該方法，但具體的算法步驟要么未披露，要么不夠系統(tǒng))。其基本思路是將待加工自由曲面與一組平行面相交，然后以相交線為加工路徑，如圖4所示。除使用一組平面外，人們還嘗試過(guò)使用一組曲面與待加工自由曲面進(jìn)行相交以生成加工路徑，如KIM和CHOI[9]提出的引導(dǎo)面方法中的投影操作在幾何上等價(jià)于求交。實(shí)際加工表明，截平面路徑較等參路徑具有更均勻的路徑疏密度，更小的路徑總長(zhǎng)度。與此同時(shí)，截平面法具有可直接應(yīng)用于網(wǎng)格和點(diǎn)云模型的優(yōu)勢(shì)，如文獻(xiàn)[10-11]所提的方法。然而，截平面路徑仍未徹底解決路徑疏密不一致、冗余加工過(guò)多的問(wèn)題。

圖4 截平面路徑規(guī)劃方法示意圖[8]

對(duì)上述問(wèn)題，常用的改進(jìn)思路有2個(gè)：曲面分割法和等殘高法。其中，曲面分割法將待加工曲面分為多個(gè)區(qū)域，然后在不同區(qū)域生成具有不同疏密度的截平面加工路徑，以此讓各自區(qū)域內(nèi)的路徑疏密度盡量一致，其典型工作有HU等[12]提出的方法。顯然，該方法只能在一定程度上減輕截平面法缺點(diǎn)帶來(lái)的影響，不能完全解決問(wèn)題，在各自區(qū)域內(nèi)仍存在路徑疏密不一致、冗余加工過(guò)多的問(wèn)題。然而，曲面分割的思想在加工軌跡規(guī)劃領(lǐng)域具有重要意義，最近這一思想又被重新挖掘出來(lái)，形成了近期基于方向場(chǎng)的加工軌跡規(guī)劃方法[13]。

等殘高法是一個(gè)能夠完全解決路徑疏密不一致和冗余加工問(wèn)題的方法。其基本思路如圖5所示，主要包括2部分：

(1) 選定一條初始路徑(如某段邊界)并以此為基礎(chǔ)在待加工曲面上生成一簇偏移曲線；

(2) 在偏移時(shí)，相鄰曲線間的殘高保持恒定(即嚴(yán)格等于給定容差值，而不是像等參數(shù)法或截平面法中的不超過(guò)給定容差值)。

圖5 等殘高路徑規(guī)劃方法示意圖[19]

這一方法一經(jīng)提出便受到廣泛關(guān)注，多個(gè)改進(jìn)方案隨之被提出，F(xiàn)ENG和LI[14]在提高計(jì)算精度方面做出工作，TOURNIER和DUC[15]在提高計(jì)算效率方面做了嘗試，WEN等[16]在工作應(yīng)用范圍方面做了拓廣(如平底刀具，網(wǎng)格或點(diǎn)云曲面)。與此同時(shí)，針對(duì)不同的加工需求，人們還將之拓展到如圖6所示的多種拓?fù)湫问絒17]，如螺旋形加工軌跡適用于高速加工[18]。

圖6 加工路徑拓?fù)鋄7]((a)行型；(b)回型；(c)螺旋型)

等殘高法因徹底解決了冗余加工問(wèn)題，具有相對(duì)其他方法較少的加工路徑總長(zhǎng)度。然而，也存在兩方面問(wèn)題：

(1) 加工路徑的總體形狀依賴(lài)于初始路徑的選取，其總長(zhǎng)度也會(huì)有所不同，因此，還有改進(jìn)空間；

(2) 等殘高加工路徑的生成依賴(lài)于偏移操作，而曲線偏移往往會(huì)在路徑上產(chǎn)生尖角，如圖7所示(藍(lán)色為初始路徑，黑色為偏移曲線)，因此等殘高路徑在光滑度方面還有優(yōu)化空間。

圖7 曲線偏移導(dǎo)致尖角問(wèn)題

針對(duì)這2個(gè)問(wèn)題，人們提出了一系列優(yōu)化方法，如最近的基于方向場(chǎng)的加工路徑生成方法[13]便是一種通過(guò)方向場(chǎng)的流線來(lái)對(duì)路徑進(jìn)行優(yōu)化選擇的方法。

1.2 新型加工路徑優(yōu)化方法

針對(duì)初始路徑選擇的問(wèn)題，其使用一種類(lèi)似貪心算法的策略——所選取的初始路徑具有最優(yōu)的加工條件，其他路徑仍然使用傳統(tǒng)偏移的方法得到。最優(yōu)初始路徑的選取標(biāo)準(zhǔn)也多種多樣，經(jīng)典的有最大加工帶寬(圖8)、最大/最小曲面曲率等。這類(lèi)貪心策略有一個(gè)明顯的缺點(diǎn)，遠(yuǎn)離初始路徑的加工路徑的最優(yōu)性難以保證。

圖8 最大加工帶寬示意圖[2]((a)最大帶寬方向示意圖；(b)根據(jù)向量場(chǎng)生成最優(yōu)初始路徑)

上述問(wèn)題的一大改進(jìn)策略是對(duì)曲面進(jìn)行分割，然后在各個(gè)被分割區(qū)域分別選取最優(yōu)初始路徑。由于被分割區(qū)域一般不大，初始路徑與區(qū)域內(nèi)的其他路徑相距不遠(yuǎn)，其最優(yōu)性在一定程度上能夠被保證。傳統(tǒng)上曲面分割方法是直接對(duì)曲率、加工帶寬、運(yùn)動(dòng)學(xué)性能等加工性能指標(biāo)進(jìn)行自底向上的聚類(lèi)或自頂向下的分類(lèi)，最近的曲面分割的方法是通過(guò)將加工性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化成方向場(chǎng)(很多文獻(xiàn)中使用矢量場(chǎng)來(lái)描述這類(lèi)方法，這是不嚴(yán)格確的，此類(lèi)方法只利用了方向信息，不利用模長(zhǎng)信息)，并利用場(chǎng)中的奇異點(diǎn)來(lái)對(duì)曲面進(jìn)行分割，如圖9和圖10所示。場(chǎng)方法的依據(jù)在于奇異點(diǎn)分割出來(lái)的區(qū)域內(nèi)部的流線一般具有很好的相似性[19]，這可以保持偏移路徑與初始路徑的一致性。

圖9 方向場(chǎng)奇異點(diǎn)示意圖[19]

圖10 基于方向場(chǎng)的曲面分割方法[13]((a)代表最優(yōu)加工方向的方向場(chǎng)；(b)根據(jù)奇異分界對(duì)曲面進(jìn)行分割)

利用方向場(chǎng)(或者說(shuō)張量場(chǎng)，本質(zhì)一樣)的奇異點(diǎn)來(lái)進(jìn)行曲面分割的思想首先由文獻(xiàn)[13]提出。隨后，學(xué)者提出一系列改進(jìn)方法[20-24]，主要沿著以下3方面展開(kāi)研究：

(1) 向量場(chǎng)生成方法：將生成方向場(chǎng)的加工性能指標(biāo)從最大加工帶寬推廣至最大材料去除率[20]、最大進(jìn)給速度[21]、最小能量消耗[22]；

(2) 分割區(qū)域內(nèi)路徑生成方法：將文獻(xiàn)[13]中的初始路徑人工選擇方法擴(kuò)展至自動(dòng)選擇方法[23]；

(3) 分割區(qū)域內(nèi)路徑拓?fù)浯_定方法：文獻(xiàn)[24]將文獻(xiàn)[13]中的人工指定路徑拓?fù)浞椒〝U(kuò)展至根據(jù)流線形狀自動(dòng)確定路徑拓?fù)涞姆椒ā?/p>

雖然基于方向場(chǎng)的加工路徑規(guī)劃方法取得了很好的效果，方向場(chǎng)也具有表示多種加工指標(biāo)的優(yōu)點(diǎn)，但仍有一個(gè)重要問(wèn)題有待回答：按奇異點(diǎn)來(lái)分割曲面是否是全局最優(yōu)分割，分割區(qū)域內(nèi)路徑生成方法是否為全局最優(yōu)？目前的方法在這兩方面均采用啟發(fā)式算法，其與全局最優(yōu)路徑的關(guān)系尚未知。最近ZOU[25]提出了一種將方向場(chǎng)推廣至矢量場(chǎng)的方法，首次實(shí)現(xiàn)了路徑總長(zhǎng)度的全局優(yōu)化，但尚未包含其他加工指標(biāo)的全局優(yōu)化?？傊瑘?chǎng)方法未來(lái)仍有很大的改進(jìn)空間。

與路徑長(zhǎng)度優(yōu)化相比，有關(guān)路徑光滑度的工作較少。初期的方法是在已有路徑基礎(chǔ)上對(duì)尖角部分進(jìn)行局部修正[26]。這類(lèi)方法具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，但也存在2個(gè)問(wèn)題：①在修正處破壞了等殘高性質(zhì)；②局部修正只能給出次優(yōu)路徑，不是全局最優(yōu)路徑。

近期提出的等水平方法[27]是一種加工路徑全局優(yōu)化方法。與傳統(tǒng)方法不同，其采用隱式加工路徑表示方法(圖11)，并將各加工指標(biāo)(如等殘高，最大帶寬)表達(dá)為能量函數(shù)，然后通過(guò)最小化這些能量函數(shù)獲得全局最優(yōu)加工路徑，如全局優(yōu)化殘高分布[27]、光滑度[28]、長(zhǎng)度[25]等。這一方法與場(chǎng)方法的結(jié)合具有很大的發(fā)展?jié)摿Α?/p>

圖11 加工路徑隱式表示示意圖[27]

除上述方法外，基于拓?fù)湫问降目臻g填充曲線、擺線等路徑生成方法[28]也得到了人們的廣泛研究。該類(lèi)方法在自由曲面拋光、恒定材料去除率(material removal rate，MRR)切削等方面有較好地應(yīng)用。另外，人們還將啟發(fā)式算法，如基因算法[29]、粒子群算法等，引入到加工路徑全局優(yōu)化中。這部分工作雖然仍處于初期，但具有很大地發(fā)展?jié)摿Α?/p>

2 刀軸方向優(yōu)化

相比于三軸數(shù)控機(jī)床，五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床具有2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸(圖12)，從而可以加工三軸機(jī)床所不能加工的工件，同時(shí)能夠以更高的效率和精度加工待加工曲面并提高表面質(zhì)量。然而旋轉(zhuǎn)軸的存在導(dǎo)致在五軸數(shù)控加工中出現(xiàn)工件坐標(biāo)系和機(jī)床坐標(biāo)系非線性耦合的問(wèn)題[30]，使得軌跡規(guī)劃比三軸加工時(shí)更為復(fù)雜。在五軸數(shù)控加工中除了需要規(guī)劃刀位點(diǎn)的軌跡外，還需要對(duì)刀具姿態(tài)(刀軸方向)進(jìn)行規(guī)劃。

圖12 搖籃式五軸數(shù)控機(jī)床示意圖[30]

刀軸規(guī)劃一般需要實(shí)現(xiàn)2個(gè)目標(biāo)：避免干涉和刀軸方向的光順。其中避免刀具干涉是基礎(chǔ)，因?yàn)榈毒吒缮鎸?huì)產(chǎn)生刀具和工件或者周?chē)h(huán)境的碰撞，根據(jù)碰撞所產(chǎn)生的位置，大致可以分為全局干涉、局部干涉和尾部干涉(圖13)等情況(以下統(tǒng)稱(chēng)為干涉)。刀具干涉會(huì)損壞機(jī)床或工件，嚴(yán)重的會(huì)影響生產(chǎn)安全。無(wú)論哪種干涉情況，都會(huì)對(duì)刀具和工件造成不可修復(fù)的損害，因此必須保證高速加工中的刀具與工件之間是無(wú)干涉的。另一方面，在加工曲面曲率較大的地方時(shí)，可能出現(xiàn)刀軸方向突變的情況(圖14)，同樣會(huì)影響加工效率和質(zhì)量。因此需要對(duì)刀軸方向進(jìn)行優(yōu)化，保證整體刀軸方向是光順的，得到更高地加工效率和加工質(zhì)量。

圖13 五軸加工中的3種干涉情況((a)局部干涉；(b)尾部干涉；(c)全局干涉)

圖14 刀軸方向變化示意圖[31]((a)光滑刀軸變化；(b)刀軸方向突變)

目前，刀軸優(yōu)化的方法主要分為局部調(diào)整優(yōu)化和全局優(yōu)化。其中局部調(diào)整方法的思路是在設(shè)計(jì)好的刀軸附近作微小的調(diào)整，使得刀軸方向具有更好的連續(xù)性。而全局優(yōu)化的方法則是在刀軸方向的無(wú)干涉區(qū)域內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化，主要是基于構(gòu)型空間(C空間或V空間)的方法。

2.1 刀軸方向的局部?jī)?yōu)化方法

2.1.1 考慮誤差和刀軸方向的連續(xù)性

針對(duì)五軸折線段光滑過(guò)渡的工作主要考慮折線段連接處的光滑過(guò)渡處理。BI等[32]在機(jī)床坐標(biāo)系中用一條三次Bézier曲線光滑移動(dòng)軸路徑的拐角，再用一條Bézier曲線光滑轉(zhuǎn)動(dòng)軸路徑的拐角(圖15)。2條曲線需要進(jìn)行參數(shù)統(tǒng)一化處理，并能保證刀尖點(diǎn)和刀軸方向在工件坐標(biāo)系中的誤差。TULSYAN和ALTINTAS[33]提出了一個(gè)解耦的方法，在刀尖點(diǎn)和刀軸方向路徑的拐角處分別插入五次樣條，且在工件坐標(biāo)系下考慮允許加工誤差的約束，同時(shí)采用牛頓-辛普森迭代優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)刀軸方向的光滑化和參數(shù)統(tǒng)一問(wèn)題。YANGT和YUEN[34]在拐角處生成五次樣條光滑路徑，刀尖點(diǎn)路徑在工件坐標(biāo)系中表示，而刀軸方向路徑在機(jī)床坐標(biāo)系中表示，雖然實(shí)現(xiàn)了2條路徑參數(shù)的統(tǒng)一和誤差約束，但不能得到曲率極值點(diǎn)的解析解。HUANG等[35]提出了一個(gè)解析的拐角光滑化算法，刀尖點(diǎn)路徑在工件坐標(biāo)系下進(jìn)行規(guī)劃，刀軸方向在機(jī)床坐標(biāo)系下進(jìn)行光滑化，根據(jù)加工時(shí)間將2條曲線進(jìn)行參數(shù)化統(tǒng)一。

圖15 機(jī)床坐標(biāo)系移動(dòng)軸和轉(zhuǎn)動(dòng)軸拐角過(guò)渡曲線示意圖[32]((a)線性移動(dòng)軸拐角過(guò)渡曲線圖；(b)轉(zhuǎn)動(dòng)軸拐角過(guò)渡曲線圖)

2.1.2 刀軸的雙樣條表示和拐角光滑

此類(lèi)方法用刀軸上2個(gè)點(diǎn)擬合得到的上下2條曲線來(lái)光滑化刀軸方向和刀尖點(diǎn)位置，以進(jìn)行拐角處光滑處理。BEUDAERT等[36]提出拐角處用2條三次B樣條光滑過(guò)渡的方法，一條底部曲線定義刀尖點(diǎn)的位置，另一條頂部曲線定義刀軸上的第2個(gè)點(diǎn)(圖16)。用這2條曲線同時(shí)表示刀尖點(diǎn)位置和刀軸方向。并利用牛頓-辛普森迭代算法光滑刀軸方向的連接，得到較高的加工速度。SHI等[37]在工件坐標(biāo)系路徑的拐角處插入一對(duì)滿(mǎn)足刀尖點(diǎn)位置和刀軸方向誤差的PH曲線，并通過(guò)優(yōu)化控制點(diǎn)使刀軸方向的連續(xù)度更高。XU和SUN[38]在拐角處獲得更小的曲率和更高的加工速率，但在計(jì)算曲率極值點(diǎn)時(shí)計(jì)算耗時(shí)較大。

圖16 五軸加工拐角過(guò)渡及誤差示意圖[36]

2.2 基于C空間的全局刀軸方向優(yōu)化方法

以下以搖籃式機(jī)床為例介紹基于C空間的刀軸優(yōu)化方法。對(duì)于五軸數(shù)控加工，在局部坐標(biāo)系中刀軸方向完全由俯仰角和傾斜角確定(圖17)。將三維空間中單位球的上半球映射到由俯仰角和傾斜角張成的二維平面，則平面上每個(gè)點(diǎn)都代表了空間中的一個(gè)刀軸方向。

圖17 局部坐標(biāo)系與刀軸方向

在每個(gè)刀位點(diǎn)處，所有可行(無(wú)干涉)的刀軸方向組成的集合稱(chēng)為該點(diǎn)處的構(gòu)型空間，或稱(chēng)C空間。為了在C空間內(nèi)規(guī)劃刀具姿態(tài)，需要先算出每個(gè)刀位點(diǎn)處的C空間。但是，計(jì)算曲面上某點(diǎn)處的精確C空間是非常復(fù)雜和困難的。對(duì)于球頭刀，MORISHIGE等[39]將加工工件視為多面體，計(jì)算了球頭刀與多面體的碰撞邊界，進(jìn)而計(jì)算出二維C空間(圖18)，最后將不可行的刀軸方向移動(dòng)到C空間的邊界，從而生成無(wú)碰撞的刀軸方向。關(guān)于平底刀和環(huán)形刀的工作此處不再贅述。

求得每個(gè)刀位點(diǎn)的C空間后，刀位點(diǎn)序列的C空間就構(gòu)成了一個(gè)三維的可行區(qū)域，刀軸優(yōu)化問(wèn)題就是在這個(gè)三維可行區(qū)域中選取一條連續(xù)的路徑，使得刀軸光順，利于高速高精加工。這方面有著豐富的研究工作。JUN等[40]提出一種搜索算法來(lái)計(jì)算C空間，并通過(guò)極小化刀軸突變來(lái)光順刀軸方向，能夠得到較好的結(jié)果。WANG和TANG[41]在限制刀軸變化角速度的情況下，通過(guò)構(gòu)建可視圖(visibility map，V-map)來(lái)避免干涉問(wèn)題，保證了刀軸角速度變化的一致性。LU等[42]考慮了抬刀高度，提出一種基于三維C空間的刀軸規(guī)劃方法，可同時(shí)考慮殘高和干涉情況。LIN等[43]在C空間中整體調(diào)整刀軸方向，以避免刀軸方向的奇異位置。

圖18 二維C空間示意圖[39]

在只考慮刀軸軌跡的光順性方面，HO等[44]利用四元數(shù)插值優(yōu)化刀軸軌跡。CASTAGNETTI等[45]給出了可行方向域(domain of admissible orientation，DAO)的概念，將機(jī)床各軸的速度、加速度的限制融入刀具姿態(tài)的優(yōu)化，進(jìn)一步改善了刀具的運(yùn)動(dòng)性能。YE等[46]針對(duì)材料去除率和刀軸的二階運(yùn)動(dòng)學(xué)的連續(xù)性，將刀軸優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二階運(yùn)動(dòng)學(xué)約束下的時(shí)間最優(yōu)插補(bǔ)的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，得到了兼顧加工效率和加工質(zhì)量的刀軸優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[31]將可行域進(jìn)行離散后，利用圖論中的算法，生成比較光順的刀軸軌跡。文獻(xiàn)[47-48]為了得到更為光順的加工路徑，引入了差分圖的概念，得到二階光滑的刀軸路徑。這一方法適用于任意刀具，區(qū)別在于C空間的計(jì)算方法不同。該方法在求得每個(gè)刀位點(diǎn)的C空間后，將其離散化，得到每個(gè)刀位點(diǎn)處離散的可行刀軸方向。然后以可行刀軸方向?yàn)轫旤c(diǎn)，將相鄰2個(gè)可行域內(nèi)的頂點(diǎn)進(jìn)行連邊得到一個(gè)分層有向圖，每條邊以前后2個(gè)頂點(diǎn)的角度變化值賦予權(quán)重。利用 Dijkstra 算法，能夠找到圖中的最短路徑，并找到最短路徑上各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的刀軸方向，即為最終刀軸軌跡。這一方法的優(yōu)勢(shì)在于得到全局優(yōu)化的刀軸路徑的同時(shí)，通過(guò)修改C空間的結(jié)構(gòu)，較容易避開(kāi)機(jī)床的奇異位置。以分層圖的每個(gè)邊為頂點(diǎn)，以前后2個(gè)邊的角度變化的差(可以看成刀軸方向的二階微分)為權(quán)，構(gòu)建一個(gè)差分圖。對(duì)其進(jìn)行最短路徑求解，就可以得到最終兼顧角度的一階和二階光滑度的刀軸優(yōu)化方向。ZHANG等[49]應(yīng)用強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法給出了一個(gè)刀軸方向的全局優(yōu)化方法。

3 G代碼加工

在數(shù)控加工中，為了加工復(fù)雜曲面，通常使用小線段去逼近刀具的運(yùn)動(dòng)軌跡，因此小線段(G01)插補(bǔ)是數(shù)控加工中的核心問(wèn)題之一。如果機(jī)床嚴(yán)格按照小線段所表示的路徑進(jìn)行加工，為了滿(mǎn)足加工誤差，在線段拐角處的允許速度非常低，引起頻繁的加減速，降低加工的質(zhì)量和效率。因此，目前小線段插補(bǔ)的方式主要分為以下幾類(lèi)：

(1) 小線段拐角過(guò)渡插補(bǔ)，即在2個(gè)小線段處插入一段光滑曲線，達(dá)到光滑化刀具路徑的效果；

(2) 小線段擬合成光滑曲線，再對(duì)光滑曲線進(jìn)行插補(bǔ)；

(3) 基于FIR濾波的過(guò)渡插補(bǔ)算法。

3.1 小線段拐角過(guò)渡方法

小線段拐角過(guò)渡方法分為2種。

第一種方式是根據(jù)加工誤差約束在拐角處插入一條曲線(圖19)，然后整體進(jìn)行小線段和拐角處曲線的速度規(guī)劃。HAN等[50]在拐角處插入三次B樣條。SUN和ALTINTAS[51]在拐角處插入G3連續(xù)的雙Bézier樣條曲線，滿(mǎn)足加加速度有界和誤差約束。ZHANG等[52]使用G4連續(xù)的B樣條曲線在拐角處過(guò)渡，考慮了切向加速度以及加工誤差約束。以上方法所采用的這種方式雖然可以滿(mǎn)足加工誤差，也可以提高拐角處的加工速度，但是由于需要進(jìn)行曲線的速度規(guī)劃，不能滿(mǎn)足實(shí)時(shí)加工的要求。

圖19 折線段拐角過(guò)渡示意圖[52]

第二種方式是根據(jù)加工誤差和拐角處局部滿(mǎn)足Bang-Bang最優(yōu)控制為目標(biāo)，確定一條以時(shí)間為參數(shù)的拐角過(guò)渡曲線。該曲線自動(dòng)滿(mǎn)足加工誤差、機(jī)床動(dòng)力性能約束且局部加工時(shí)間最短為優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型。該方法另外一個(gè)最大的優(yōu)勢(shì)是自動(dòng)生成速度規(guī)劃曲線，滿(mǎn)足第一種方式所不具備的高效計(jì)算，達(dá)到數(shù)控系統(tǒng)的實(shí)時(shí)加工要求。這種方式又分為加速度有界的速度規(guī)劃、加加速度有界、jounce有界、三角函數(shù)速度規(guī)劃方法等。DUAN和OKWUDIRE[53]在拐角處插入以時(shí)間為參數(shù)的NURBS曲線。LIN等[54]提出一種基于加加速度有界的拐角過(guò)渡方法，該方法同時(shí)考慮了機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)學(xué)性能和刀尖點(diǎn)的幾何誤差，不過(guò)未考慮轉(zhuǎn)動(dòng)軸的幾何誤差。LI等[55]根據(jù)Sigmoid函數(shù)的特點(diǎn)，使用其作為拐角過(guò)渡曲線，滿(mǎn)足切向加速度以及幾何誤差約束。ZHANG等[56]在五軸數(shù)控加工時(shí)，在局部拐角處根據(jù)Bang-Bang最優(yōu)控制目標(biāo)，生成滿(mǎn)足加速度有界的拐角過(guò)渡曲線，根據(jù)整體前瞻算法，進(jìn)行全局速度優(yōu)化。該算法適用于五軸數(shù)控加工，并將加工路徑表示在五維空間中，通過(guò)將工件坐標(biāo)系中拐角誤差轉(zhuǎn)化到機(jī)床坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)了誤差與機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的約束，且計(jì)算效率滿(mǎn)足在線加工的要求。

3.2 小線段擬合與插補(bǔ)方法

在三軸數(shù)控加工時(shí)，常用B樣條擬合刀具路徑，B樣條擬合一般采用最小二乘擬合方法和前進(jìn)迭代逼近算法，最小二乘方法只考慮數(shù)據(jù)點(diǎn)間誤差，未考慮中間過(guò)程的誤差。這些方法得到的B樣條不以弧長(zhǎng)為參數(shù)，CHEN和KHAN[57]使用最小二乘方法將B樣條轉(zhuǎn)化為以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線，但是折線與曲線間的誤差并沒(méi)有嚴(yán)格限制。在五軸數(shù)控加工時(shí)，刀位點(diǎn)和刀軸方向矢量需要同時(shí)進(jìn)行擬合，相對(duì)于三軸數(shù)控加工，曲線擬合復(fù)雜度提高。目前已有的方法主要采用B樣條曲線、球面樣條曲線[58]和四元數(shù)曲線這3種方法。MIN等[59]在六維空間對(duì)五軸的加工數(shù)據(jù)進(jìn)行B樣條擬合，滿(mǎn)足刀心點(diǎn)和刀位點(diǎn)以及刀軸方向的誤差約束。

然而，以上方法生成的曲線刀具路徑，在數(shù)控系統(tǒng)中需要進(jìn)行速度規(guī)劃，轉(zhuǎn)化為以時(shí)間為參數(shù)的插補(bǔ)點(diǎn)序列，計(jì)算過(guò)程相對(duì)耗時(shí)，對(duì)于高次參數(shù)曲線較難達(dá)到實(shí)時(shí)加工的要求。為此，ZHANG等[60]將G01代碼表示的折線段利用二次樣條曲線進(jìn)行擬合，然后通過(guò)分軸加速度有界的時(shí)間最優(yōu)插補(bǔ)方式進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算[61]，并給出了速度函數(shù)的顯示解，最終得到了誤差和機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)約束下的高效加工方式，優(yōu)化了加工路徑和加工效率。

3.3 基于FIR濾波的小線段過(guò)渡插補(bǔ)算法

有限脈沖響應(yīng)(finite impulse response，F(xiàn)IR)濾波器插補(bǔ)算法是實(shí)時(shí)的拐角過(guò)渡算法，其特點(diǎn)為不需要先確定拐角路徑、然后規(guī)劃拐角速度2個(gè)步驟，只需根據(jù)拐角誤差約束自動(dòng)規(guī)劃拐角路徑和拐角速度。首先，規(guī)劃點(diǎn)到點(diǎn)的速度曲線時(shí)，勻速運(yùn)動(dòng)曲線經(jīng)過(guò)2個(gè)線性濾波器卷積變成光滑的7段式速度曲線，可根據(jù)線段長(zhǎng)度、加速度和加加速度約束等求得2個(gè)濾波器的延遲時(shí)間，從而確定具體的速度曲線，如圖20所示。然后，規(guī)劃連續(xù)路徑，為了提高運(yùn)動(dòng)光滑度和加工效率，將相鄰2個(gè)線段的速度曲線復(fù)合一部分，即前一段線段的運(yùn)動(dòng)還未完成時(shí)，提前開(kāi)始下一段運(yùn)動(dòng)，這會(huì)導(dǎo)致拐角誤差，根據(jù)拐角誤差約束確定速度曲線復(fù)合段的時(shí)間，拐角速度和拐角誤差都可由相鄰2段運(yùn)動(dòng)的復(fù)合計(jì)算得到，從而完成連續(xù)線性路徑的插補(bǔ)。

圖20 基于FIR濾波器生成的點(diǎn)到點(diǎn)的速度曲線[57]

BIAGIOTTI和MELCHIORRI[62]提出用FIR濾波器規(guī)劃加加速度約束的點(diǎn)到點(diǎn)的速度。文獻(xiàn)[63-64]提出用FIR濾波器插補(bǔ)三軸連續(xù)線性路徑的實(shí)時(shí)算法。文獻(xiàn)[65-66]提出用FIR濾波器插補(bǔ)五軸連續(xù)線性路徑的實(shí)時(shí)算法。在五軸FIR濾波器插補(bǔ)算法中，濾波器分別用于刀位點(diǎn)和球形坐標(biāo)表示的刀軸方向，通過(guò)統(tǒng)一用于刀位點(diǎn)和刀軸方向的濾波器的時(shí)間常數(shù)，實(shí)現(xiàn)各刀軸的運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一。

除了上述幾類(lèi)算法，還有其他相關(guān)的算法。如通過(guò)結(jié)合拐角過(guò)渡與擬合插補(bǔ)2種方式，對(duì)小線段進(jìn)行分段，分為長(zhǎng)直線段和連續(xù)的微小折線段，在連續(xù)的微小折線段處進(jìn)行曲線擬合插補(bǔ)，在長(zhǎng)直線段和微小折線段處進(jìn)行拐角過(guò)渡處理。此外，針對(duì)特別微小的折線段，拐角過(guò)渡并不合適，YE等[67]針對(duì)這一問(wèn)題，根據(jù)其幾何特征進(jìn)行分段和速度標(biāo)記，然后通過(guò)對(duì)分段的折線段進(jìn)行加速度有界約束下的前瞻處理使得得到的速度可達(dá)，從而使得插補(bǔ)可以跨越多個(gè)微小折線段。

4 參數(shù)曲線的進(jìn)給速度規(guī)劃方法

進(jìn)給速度規(guī)劃是加工軌跡插補(bǔ)中最重要的過(guò)程之一，其目的在于在幾何和運(yùn)動(dòng)學(xué)條件約束下生成平滑的刀具運(yùn)動(dòng)進(jìn)給率曲線，對(duì)加工過(guò)程特別是加工效率和質(zhì)量方面具有重要影響。

在實(shí)際加工軌跡插補(bǔ)過(guò)程中，如何在滿(mǎn)足限制條件下，盡可能得到具有更高加工效率的進(jìn)給率值，成為進(jìn)給率規(guī)劃中重要的研究?jī)?nèi)容。主要的限制可以分為3類(lèi)：

(1) 弓高誤差限制：相鄰插補(bǔ)點(diǎn)之間的直線與原曲線之間的偏差；

(2) 輪廓誤差限制：實(shí)際加工軌跡與理想加工軌跡之間的偏離；

(3) 加速度和加加速度限制：反映了驅(qū)動(dòng)電機(jī)所能提供的最大扭矩以及提供扭矩變化的能力。

常用的進(jìn)給速度規(guī)劃方法可分為加減速模型方法、優(yōu)化方法和光滑進(jìn)給一體化方法3類(lèi)。加減速模型方法通常給定一個(gè)固定的函數(shù)類(lèi)型，用來(lái)實(shí)現(xiàn)2個(gè)不同速度階段之間的平滑過(guò)渡，常用的函數(shù)類(lèi)型包括梯形函數(shù)、S型函數(shù)、Sigmoid函數(shù)和三角函數(shù)等。對(duì)于給定的刀具軌跡，首先會(huì)選出一些間斷點(diǎn)和曲率極值點(diǎn)作為關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)幾何與運(yùn)動(dòng)學(xué)的限制給出關(guān)鍵點(diǎn)處進(jìn)給速度的上限值，并最終利用給定的函數(shù)類(lèi)型，實(shí)現(xiàn)相鄰關(guān)鍵點(diǎn)之間的速度變化銜接。優(yōu)化方法一般未給定固定的函數(shù)類(lèi)型，通常使用一條或多條自由曲線來(lái)表示速度進(jìn)給曲線。對(duì)于給定的刀具軌跡，通過(guò)采樣一些刀具軌跡點(diǎn)，以進(jìn)給速度最大為目標(biāo)，以幾何誤差和運(yùn)動(dòng)學(xué)約束為限制條件構(gòu)造優(yōu)化問(wèn)題，并最終求解優(yōu)化問(wèn)題，得到刀具軌跡對(duì)應(yīng)的進(jìn)給速度曲線。光滑進(jìn)給一體化方法則將刀具軌跡的光滑化處理和進(jìn)給速度規(guī)劃合并為一步處理。經(jīng)典方法包括有限濾波(FIR)方法、運(yùn)動(dòng)交疊方法和時(shí)間樣條方法等。

4.1 加減速模型方法

由于加速度的劇烈變化會(huì)導(dǎo)致加加速度過(guò)大，從而引起機(jī)床的不良振動(dòng)，目前的加減速模型通?？紤]讓加加速度小于某個(gè)給定閾值，這個(gè)閾值是由機(jī)床特性決定的。ERKORKMAZ和ALTINTAS[68]首先提出使用形函數(shù)來(lái)生成加加速度受限的速度曲線，如圖21所示，在這個(gè)形曲線中，加加速度為階梯狀，且取值為最大值、零和最小值這三者之一。該形曲線由7段組成，加速階段3段，勻速階段1段，減速階段3段組成。該形曲線能實(shí)現(xiàn)2個(gè)不同速度之間的平滑過(guò)渡。在JAHANPOUR和ALIZADEH[69]提出的方法中，一個(gè)2連續(xù)的5次Bézier函數(shù)被用來(lái)生成加速度和加加速度均連續(xù)的速度曲線。JIA等[70]提出了速度敏感區(qū)域的概念，在速度敏感區(qū)保持勻速，在過(guò)渡區(qū)平滑過(guò)渡不同速度敏感區(qū)的進(jìn)給速度，減少了進(jìn)給速度的變化頻率，提升了加工質(zhì)量。

為了生成更光滑的進(jìn)給速度曲線，一些加加速度連續(xù)、加加速度的導(dǎo)數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)振動(dòng))受限的模型被提出。FAN等[71]提出了由15段構(gòu)成的進(jìn)給速度模型，其中加速階段7段，勻速階段1段，減速階段7段。該速度模型中，振動(dòng)為階梯狀，且取值為最大值、零和最小值這三者之一。ZHANG和DU[72]對(duì)上一模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，刪掉了加(減)速階段中加加速度恒定的2段，使得相關(guān)時(shí)間參數(shù)的計(jì)算過(guò)程得以簡(jiǎn)化，但是總體插補(bǔ)時(shí)間有小幅度增加。WANG等[73]將7段的形函數(shù)簡(jiǎn)化為5段，即不存在加速度恒定階段，并使用三角函數(shù)代替階梯函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了加加速度的連續(xù)。由于該模型的分段數(shù)目大大減少，相關(guān)時(shí)間參數(shù)的計(jì)算過(guò)程被簡(jiǎn)化。但是由于三角函數(shù)中，加加速度僅在少數(shù)幾個(gè)點(diǎn)達(dá)到極大值或極小值，總體插補(bǔ)時(shí)間也會(huì)有小幅度增加。

圖21 S形函數(shù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)輪廓[68]

4.2 優(yōu)化方法

SUN等[74]提出了一種考慮幾何、工藝和驅(qū)動(dòng)約束的五軸加工進(jìn)給速度調(diào)度方法。首先利用限制弦誤差、角速度和軸速度構(gòu)建初始進(jìn)給速度曲線。然后，對(duì)進(jìn)給速度敏感區(qū)域進(jìn)行比例調(diào)整，以同時(shí)減小角加速度、線加速度、軸加速度和急動(dòng)等約束的大小(圖22)。由于涉及迭代調(diào)整，該方案無(wú)法實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。后SUN等[75]又提出了一種對(duì)相鄰B樣條進(jìn)給速度曲線具有2連續(xù)性保證的分段線性規(guī)劃方案，以實(shí)時(shí)解決進(jìn)給速度調(diào)度優(yōu)化模型。然而，在上述方法中，五軸刀具軌跡曲線是用歸一化弧長(zhǎng)參數(shù)進(jìn)行參數(shù)化的，這是一個(gè)相對(duì)較強(qiáng)的條件，需要提前對(duì)刀具軌跡弧長(zhǎng)參數(shù)化。此外，針對(duì)雙機(jī)器人對(duì)雕刻曲面零件的同步加工，SUN等[76]建立了雙刀具路徑上對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的同步映射關(guān)系，求出保證兩刀同步運(yùn)動(dòng)的約束條件。然后，建立了具有加加速度和同步約束的時(shí)間最優(yōu)同步進(jìn)給調(diào)度模型，該模型可以充分利用機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，并充分保持刀具的切削性能。為了進(jìn)一步加快非線性模型的求解過(guò)程，構(gòu)造約束相對(duì)于進(jìn)給速度平方的線性關(guān)系，從而使用線性規(guī)劃算法來(lái)實(shí)現(xiàn)進(jìn)給速度曲線的精確表達(dá)。

圖22 比例調(diào)整的進(jìn)給速度優(yōu)化方法[75]

LIU等[77]通過(guò)使用原始連續(xù)目標(biāo)函數(shù)的離散格式，推導(dǎo)出了用于優(yōu)化進(jìn)給速度的線性目標(biāo)函數(shù)。然后，將預(yù)設(shè)的多約束近似為線性目標(biāo)函數(shù)中決策變量的線性約束條件。進(jìn)給速度優(yōu)化的線性模型可以通過(guò)成熟的線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解，最優(yōu)解被擬合到光滑的樣條曲線上，作為最終的進(jìn)給速度曲線。為了保證弗勒內(nèi)-塞雷(Frenet-Serret)框架下各種約束均被滿(mǎn)足，YE等[78]首先將參數(shù)曲線形式的刀具軌跡弧長(zhǎng)參數(shù)化，并分析了在Frenet-Serret框架下速度、加速度和加加速度的約束。然后引入時(shí)間最優(yōu)方法在時(shí)域生成采樣點(diǎn)，并將時(shí)間最短為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換為以速度的平方和最大為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化模型，采用線性方程求解該模型的次優(yōu)解，并采用三次B樣條擬合采樣點(diǎn)處的速度，最終得到進(jìn)給速度曲線。

YUAN等[79]提出弓高誤差、進(jìn)給速度和切向加速度界下的時(shí)間最優(yōu)插補(bǔ)算法和弓高誤差和切向加速度界下的貪心插補(bǔ)算法。其核心思想是將弓高誤差限制在向心加速度限制上，從而得到速度極限曲線，稱(chēng)為弦誤差速度極限曲線。然后，速度規(guī)劃是在弦誤差速度極限曲線下，找到由加速度或加加速度限制的適當(dāng)速度曲線，如圖23所示。

4.3 光滑進(jìn)給一體化方法

LIU等[80]提出了一種在工業(yè)五軸機(jī)床中連續(xù)插補(bǔ)G01指令的方法。采用有限脈沖響應(yīng)(finite impulse response，F(xiàn)IR)濾波器來(lái)生成線性段的時(shí)間最優(yōu)和加加速度限制的軌跡，其中平移運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)分別在WCS和MCS中進(jìn)行過(guò)濾。并建立了一個(gè)縮放原則使平移和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)相對(duì)于FIR濾波器的持續(xù)時(shí)間同步，同時(shí)最小化循環(huán)時(shí)間。與現(xiàn)有的兩步幾何方法不同，G01指令通過(guò)一步直接重疊相鄰的運(yùn)動(dòng)學(xué)曲線來(lái)連續(xù)插值?；谒岢龅娜菰S面積概念，通過(guò)調(diào)制相鄰2段的重疊時(shí)間，將拐角誤差限制在給定范圍內(nèi)。為了確保軸向和切向運(yùn)動(dòng)學(xué)約束均得到很好的保持，提出了一種新的預(yù)測(cè)和校正方案來(lái)預(yù)測(cè)平移運(yùn)動(dòng)的最大可達(dá)切向運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，同時(shí)校正最大可達(dá)到的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軸向運(yùn)動(dòng)學(xué)約束。TAJIMA和SENCER[81]提出了一種新穎的在線奇點(diǎn)避免的5軸機(jī)床實(shí)時(shí)軌跡生成技術(shù)。其中平移和旋轉(zhuǎn)刀具運(yùn)動(dòng)由進(jìn)給脈沖信號(hào)表示，并經(jīng)過(guò)低通濾波以產(chǎn)生具有受控頻譜的同步平滑運(yùn)動(dòng)。過(guò)渡誤差通過(guò)調(diào)節(jié)進(jìn)給速度來(lái)控制，降低進(jìn)給率可減少過(guò)渡錯(cuò)誤。因?yàn)槁窂交旌峡刂坪瓦M(jìn)給率規(guī)劃是共同實(shí)現(xiàn)的，這為進(jìn)給速度規(guī)劃打開(kāi)了新的潛力。該算法，通過(guò)直接卷積2個(gè)串聯(lián)的FIR濾波器鏈來(lái)保證進(jìn)給速度曲線的全局切向平滑度。為了控制過(guò)渡誤差，分析了濾波誘導(dǎo)誤差的原理，該誤差可以通過(guò)進(jìn)給參數(shù)和曲率半徑來(lái)計(jì)算，并在軸向運(yùn)動(dòng)學(xué)約束之外增加了最大誤差作為額外的約束。

圖23 速度極限及其構(gòu)成的速度函數(shù)[79]((a)弦誤差速度極限曲線；(b)進(jìn)給速度曲線)

ZHANG等[82]使用一步過(guò)渡軌跡生成策略，其以時(shí)間為參數(shù)的二次曲線，且在一定意義下是時(shí)間最優(yōu)的。此外，該算法還考慮了合理的軸向加速度限制，并提出了一種新的拐角過(guò)渡模型，以充分利用拐角誤差，過(guò)渡路徑是由最大軸向加速度和最大誤差容限確定的時(shí)間參數(shù)化二次曲線。TAJIMA和SENCER[83]提出了考慮加加速度限制的對(duì)稱(chēng)運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)角平滑方法，該方法直接規(guī)劃了在轉(zhuǎn)角處的加加速度限制的進(jìn)給率曲線實(shí)現(xiàn)局部轉(zhuǎn)角光滑。并基于局部光滑方法針對(duì)連續(xù)微小線段提出了全局的光滑方法，通過(guò)對(duì)局部光滑進(jìn)給率延長(zhǎng)或合并，在滿(mǎn)足角度誤差的前提下實(shí)現(xiàn)全局的光滑。ZHANG等[84]使用對(duì)稱(chēng)的加加速度限制模型進(jìn)行每段直線軌跡的進(jìn)給率規(guī)劃，然后對(duì)轉(zhuǎn)角過(guò)程運(yùn)動(dòng)交疊的幾種情況進(jìn)行分析，將軌跡光滑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)時(shí)間優(yōu)化問(wèn)題，在滿(mǎn)足轉(zhuǎn)角誤差、各軸加速度和加加速度的限制條件下，計(jì)算每段直線上的切向加加速度，隨后將這種方法推廣到五軸的情形上。為了充分利用各軸的運(yùn)動(dòng)特性，WANG等[85]提出了一種局部非對(duì)稱(chēng)運(yùn)動(dòng)角平滑方法，其中局部轉(zhuǎn)角光滑的進(jìn)給速度是非對(duì)稱(chēng)的，這意味著減速和加速過(guò)程的位移可以按照相鄰直線段的位移大小進(jìn)行調(diào)節(jié)。

隨著人工智能技術(shù)的蓬勃發(fā)展，相關(guān)理論與方法也陸續(xù)被應(yīng)用到進(jìn)給速度規(guī)劃中。如粒子群優(yōu)化方法[86]和遺傳算法[87]。人工智能方法在多目標(biāo)和多約束優(yōu)化中具有天然的優(yōu)勢(shì)。即：在目標(biāo)函數(shù)中增加相應(yīng)的項(xiàng)，就可以起到對(duì)多個(gè)不同目標(biāo)的約束；在模型中增加相應(yīng)的條件，就可以對(duì)高階、非線性的約束起到良好的限制效果。人工智能方法在數(shù)控加工中的實(shí)時(shí)應(yīng)用，將會(huì)是未來(lái)發(fā)展的一個(gè)重要方向。

5 新型加工優(yōu)化

在數(shù)控機(jī)床的快速發(fā)展過(guò)程中，人們?cè)趯?shí)際加工中對(duì)各個(gè)流程的精度與效率提出了更高的要求，因而涌現(xiàn)出了眾多的新型加工優(yōu)化算法。下面本文將從CAD，CNC的22個(gè)方面介紹目前最新的一些數(shù)控加工方法。

5.1 CAD：滿(mǎn)足加工約束的新型自由分片逼近

七十年代，計(jì)算機(jī)開(kāi)始應(yīng)用于汽車(chē)、艦船和航空、航天工業(yè)，由此催生了計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)這一領(lǐng)域。但是，早期的奠基者多是工程師和計(jì)算數(shù)學(xué)家，其設(shè)計(jì)的CAD理論和方法只考慮了拓?fù)浜?jiǎn)單的局部曲面設(shè)計(jì)，未考慮復(fù)雜拓?fù)淝娴恼w設(shè)計(jì)，以及相應(yīng)的加工特性約束，從而導(dǎo)致在后續(xù)的流程中，加工設(shè)計(jì)好的曲面，需要手動(dòng)進(jìn)行多項(xiàng)安全測(cè)試(如刀具防碰撞檢測(cè)等)，從而間接降低加工效率。為此，有學(xué)者提出，在實(shí)際加工中，給定曲面進(jìn)入到CAM環(huán)節(jié)之前，對(duì)其進(jìn)行一系列的加工可行性分析。在滿(mǎn)足誤差約束的前提下，對(duì)曲面進(jìn)行分片逼近，使得輸出的結(jié)果可以直接用來(lái)加工。

在規(guī)劃刀具路徑之前，需要先配置一個(gè)刀具加工方向，此時(shí)待加工曲面上任意一點(diǎn)的外法向量與刀具加工方向的內(nèi)積必須大于0。所以在加工一個(gè)完整的復(fù)雜曲面時(shí)，由于數(shù)控機(jī)床加工空間受自由度的限制，幾乎不可能僅靠一個(gè)刀具方向來(lái)加工完成。且需要對(duì)這個(gè)復(fù)雜曲面進(jìn)行分片處理，然后在每一片上進(jìn)行路徑規(guī)劃并加工，如圖24所示。

圖24 數(shù)控加工流程示意

通常情況下，上述如規(guī)劃全局加工流程、保證刀具可達(dá)性等任務(wù)是交給富有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)控工程師來(lái)手動(dòng)完成。然而，隨著3D建模能力的增加以及由此產(chǎn)生的待加工曲面的復(fù)雜性使得手動(dòng)任務(wù)愈加困難。因此，許多計(jì)算機(jī)圖形學(xué)文獻(xiàn)研究了如何將曲面或銑削體自動(dòng)分解為適合數(shù)控加工的若干曲面片。

而基于高度域(height field)的曲面分片方法無(wú)論是在算法效果，還是發(fā)展?jié)摿Ψ矫婢罹叽硇?。此?lèi)方法中，輸入的自由曲面的表達(dá)形式一般為三角網(wǎng)格模型=(,)。表示三角網(wǎng)格的頂點(diǎn)集合以及各自的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)。而網(wǎng)格內(nèi)的三角形可表示其頂點(diǎn)索引。目標(biāo)是將三角網(wǎng)格模型分割成少量的曲面片，以便每個(gè)曲面片都適合用于數(shù)控加工，且滿(mǎn)足約束

其中，E為給定曲面分割出來(lái)的曲面片，如果滿(mǎn)足以下所提的5個(gè)加工約束，則稱(chēng)之為高度域。

(2) 體積約束：大多數(shù)數(shù)控加工設(shè)備對(duì)毛胚都有體積限制，即長(zhǎng)、寬、高不能不超過(guò)機(jī)床容許最大值[88]。而這個(gè)約束同樣適用于各曲面片。

(3) 可達(dá)性(accessibility)約束：在數(shù)控加工中，需要無(wú)碰撞地加工曲面。在待加工曲面上任意一點(diǎn)都有一個(gè)方向集合，且包含所有在該點(diǎn)加工時(shí)刀具與曲面無(wú)碰撞的方向。這個(gè)集合被稱(chēng)為可達(dá)性錐(accessibility cone)[89]。圖25顯示了二維平面下的錐體，而在三維空間該集合往往會(huì)形成一個(gè)圓錐體。一個(gè)三角形上所有點(diǎn)的可達(dá)性錐的交構(gòu)成了這個(gè)三角形的可達(dá)性錐。一個(gè)曲面片E滿(mǎn)足可達(dá)性約束，即為E上所有點(diǎn)的可達(dá)性錐的交不為空集。

圖25 2個(gè)點(diǎn)處的可達(dá)性錐(以二維平面為例)：用黑色實(shí)線表示的方向?yàn)榭蛇_(dá)性錐的邊界((a)點(diǎn)A處的可達(dá)性錐；(b)點(diǎn)B處的可達(dá)性錐)

(4) 曲面片數(shù)量約束：在加工一個(gè)完整的復(fù)雜曲面時(shí)，由于數(shù)控機(jī)床加工空間自由度的限制，幾乎不可能僅靠一個(gè)刀具方向完成加工。因此需要對(duì)這個(gè)復(fù)雜曲面進(jìn)行分片處理，然后在每一片上進(jìn)行路徑規(guī)劃并加工。每加工一個(gè)分塊后的曲面片，就需要對(duì)刀具進(jìn)行一次裝卡定位。這樣的操作費(fèi)時(shí)費(fèi)力，所以總希望裝卡定位操作的次數(shù)盡量少，也就是說(shuō)，分塊的曲面片數(shù)量要盡量少。因此，應(yīng)該將待加工自由表曲面分割成少量的曲面片，即為曲面片數(shù)量約束。

(5) 邊界約束：在曲面分塊后，需要在各個(gè)曲面片上生成刀具加工路徑。而現(xiàn)有的很多刀具路徑生成算法都會(huì)基于曲面邊界做偏置生成路徑軌跡。因此，曲面片邊界的光滑性影響著刀具路徑的質(zhì)量。擁有太多拐點(diǎn)的邊界可能會(huì)導(dǎo)致這個(gè)曲面片上生成的路徑軌跡也充滿(mǎn)了拐點(diǎn)，從而降低了進(jìn)給速度，影響加工效率。因此，每個(gè)曲面片的邊界必須足夠光滑，這就是邊界約束。

在給出相關(guān)約束后，高度域方法將曲面分片問(wèn)題轉(zhuǎn)換成一個(gè)離散的打標(biāo)簽(即對(duì)于每一個(gè)三角形，給定一個(gè)合理的方向標(biāo)簽)問(wèn)題，并根據(jù)相關(guān)約束定義能量函數(shù)。之后，此類(lèi)方法根據(jù)三角網(wǎng)格的拓?fù)溥B接關(guān)系建立加權(quán)連通圖，如圖26所示，并利用求解連通圖的最小割來(lái)最小化能量函數(shù)，進(jìn)而完成曲面的分片，得到各高度域。

圖26 加權(quán)圖的例子(以一維為例)：代表三角形的面片節(jié)點(diǎn)集合為{p,q,r,s}；p的標(biāo)簽為d1；q和r的標(biāo)簽為d2；s的標(biāo)簽為α

遵循這一思想的第一個(gè)方法是由ALEMANNO等[90]提出的曲面分片方法。然而該方法未考慮曲面的裝卡環(huán)節(jié)，需要用戶(hù)人為指定各個(gè)曲面片的裝卡加工方向。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[88]總結(jié)相關(guān)加工特性約束(約束1，2，4)，給出可用于減材制造加工的曲面分片方法，并通過(guò)最小化曲面片邊界長(zhǎng)度來(lái)間接滿(mǎn)足約束4。之后，該方法通過(guò)局部滿(mǎn)足誤差的微小變形，來(lái)保證各曲面片滿(mǎn)足約束3。

FANNI等[91]提出了一種基于多邊形立方體映射(polycube mappings)的曲面分片方法，并分析了增材制造和減材制造分片的可加工性，同時(shí)考慮了3軸和4軸銑削。由于該方法不考慮與減材制造相關(guān)的特定約束，所以最終分片結(jié)果在實(shí)踐中證明僅對(duì)增材制造是可行的。MUNTONI等[92]提出的方法通過(guò)將曲面分片這個(gè)離散的約束優(yōu)化問(wèn)題重新定義為一個(gè)連續(xù)函數(shù)的無(wú)約束優(yōu)化，從而計(jì)算得到一組可能重疊的高度域曲面片，并且其共同覆蓋了模型表面。之后，將無(wú)重疊的分片計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)換為連通圖上的排序問(wèn)題，并通過(guò)循環(huán)消除和拓?fù)渑判虻慕M合來(lái)求解。該組合算法計(jì)算得到了一組緊湊的高度域，在用戶(hù)給定的誤差范圍內(nèi)共同描述輸入模型。YANG等[93]為了提高加工效率，采用了一種更通用的雙高度域(double height field，DHF)切片方法來(lái)取代單一高度域分片。各高度域由雙曲面片組成：首先銑削一側(cè)的曲面，然后使用適當(dāng)?shù)膴A具翻轉(zhuǎn)工件，銑削剩余的第二個(gè)曲面片。該方法使用了一種高效的由粗到細(xì)的分片過(guò)程：首先將輸入曲面劃分為最優(yōu)數(shù)量的滿(mǎn)足特定切削方向下雙高度域約束的區(qū)塊，然后將每個(gè)區(qū)塊切割成滿(mǎn)足體積約束的DHF切片。通過(guò)最小化DHF切片數(shù)量和最大化切片高度，該方法可以有效提升加工效率。然而，上述3種方法將待加工的模型進(jìn)行了體素分解，并逐次使用3軸機(jī)床加工各個(gè)曲面塊。之后，用戶(hù)必須在加工完成后組裝部件，以獲得最終的3D模型，導(dǎo)致工件上存在可見(jiàn)的接縫，降低了加工質(zhì)量，如圖27所示。

為了避免拼接過(guò)程中產(chǎn)生的不必要的縫隙，文獻(xiàn)[89]提出了基于3+2軸機(jī)床的曲面分片算法，并提出了可達(dá)性約束(約束3)，從而有效避免曲面片與刀具發(fā)成碰撞。該方法使用了3+2軸機(jī)床進(jìn)行分片加工，即在加工時(shí)，2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸先將切削刀具定位到編程位置，再由進(jìn)給軸，，軸進(jìn)行加工。在加工期間2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸保持不變，之后重復(fù)上述過(guò)程，直到工件被加工完成，從而有效避免3軸機(jī)床加工后的拼接縫隙問(wèn)題。該方法首先基于約束1，2，4生成高度域，其次基于約束3生成可達(dá)性區(qū)域。之后將高度域與可達(dá)性區(qū)域利用最小覆蓋集合問(wèn)題(set-cover problem)相結(jié)合得到滿(mǎn)足加工約束的曲面片。文獻(xiàn)[89]的方法首次保證了在多軸減材制造領(lǐng)域中分片算法的可行性。類(lèi)似地，NUVOLI等[94]提出了針對(duì)無(wú)邊界模型的4軸機(jī)床曲面分片算法。此類(lèi)型的機(jī)床設(shè)置擴(kuò)展了經(jīng)典的三軸數(shù)控加工，增加了一個(gè)圍繞固定軸旋轉(zhuǎn)物體的額外自由度。該方法首先根據(jù)整體加工制造精度約束確定旋轉(zhuǎn)軸；其次，在旋轉(zhuǎn)軸的2個(gè)端點(diǎn)處確定相應(yīng)的高度域，用于裝卡；最后，將網(wǎng)格的剩余部分分割成一組高度域，其加工方向與旋轉(zhuǎn)軸垂直，并且分割時(shí)考慮了約束4、約束5以及擬合逼近質(zhì)量。此外，分片過(guò)程充分考慮了對(duì)象的幾何特征，以及顯著性信息。最終輸出一組網(wǎng)格曲面片，可由現(xiàn)成的軟件處理，用于生成3軸刀具路徑。基于高度域的曲面分片方法在算法效率以及加工結(jié)果方面都有很好的表現(xiàn)?，F(xiàn)有該類(lèi)型算法的基礎(chǔ)框架均基于文獻(xiàn)[88]的思路進(jìn)行開(kāi)發(fā)。然而，該算法理論是不完備的，如能量函數(shù)中的雙變量項(xiàng)不是度量的。而根據(jù)BOYKOV等[95]的理論，這可能會(huì)導(dǎo)致最小割的權(quán)值(代價(jià))不等于能量函數(shù)的最小值，從而導(dǎo)致算法的分片結(jié)果與能量函數(shù)的不對(duì)應(yīng)。

圖27 文獻(xiàn)[92]方法的加工結(jié)果：可以看出，拼接后的模型存在明顯縫隙((a)加工結(jié)果的側(cè)視圖；(b)加工結(jié)果的背視圖；(c)加工結(jié)果的各個(gè)曲面片；(d)曲面分片的模擬結(jié)果)

5.2 CNC：針對(duì)加工路徑的一體化插補(bǔ)算法

目前針對(duì)加工路徑(離散G代碼或者參數(shù)曲線)的傳統(tǒng)進(jìn)給速度規(guī)劃及插補(bǔ)算法主要分為2個(gè)流程：后端：對(duì)加工路徑進(jìn)行特定指標(biāo)下的最優(yōu)速度規(guī)劃(當(dāng)加工路徑為參數(shù)曲線時(shí)，多為離線步驟)；前端：使用后端得到的速度曲線進(jìn)行實(shí)時(shí)插補(bǔ)，如圖28所示。傳統(tǒng)流程能夠很好地勝任加工任務(wù)，但是存在步驟冗余繁瑣、算法編程復(fù)雜、插補(bǔ)環(huán)節(jié)容易出現(xiàn)數(shù)值誤差(這是由于在插補(bǔ)環(huán)節(jié)，一般使用高階多項(xiàng)式展開(kāi)，一般為二階泰勒展開(kāi)，去逼近原速度函數(shù)，而在此過(guò)程中，如果階數(shù)太低，逼近函數(shù)與原函數(shù)之間容易產(chǎn)生誤差)等諸多問(wèn)題。因此，相關(guān)學(xué)者分別從理論驅(qū)動(dòng)和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)2個(gè)方面提出了針對(duì)加工路徑的一體化插補(bǔ)算法，從而有效避免上述問(wèn)題地產(chǎn)生。下面，本文將逐次介紹兩類(lèi)方法。

圖28 傳統(tǒng)進(jìn)給速度規(guī)劃及插補(bǔ)算法流程[96]

5.2.1 理論驅(qū)動(dòng)的一體化插補(bǔ)算法

在數(shù)控加工中，加工路徑常用G01代碼(連續(xù)的折線段)表示，直接插補(bǔ)會(huì)導(dǎo)致加工效率低和機(jī)器振蕩。為避免這一問(wèn)題，常采用以下2種方法：一是局部光滑方法，對(duì)折線路徑的每個(gè)拐角做光滑過(guò)渡處理；二是整體光滑方法，將整條路徑擬合為參數(shù)曲線，然后在參數(shù)曲線上規(guī)劃速度。上方法均需要路徑光滑和速度規(guī)劃2個(gè)步驟，計(jì)算復(fù)雜。

YANG等[97]提出一種新的理論驅(qū)動(dòng)的一體化插補(bǔ)算法，即時(shí)間樣條擬合方法。該方法將路徑光滑化和進(jìn)給速度規(guī)劃合為一步完成，得到的擬合曲線以時(shí)間為參數(shù)，既包含位置信息，滿(mǎn)足高精度的誤差約束，又包含速度信息，滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)約束，且是“bang-bang”控制的，充分利用了機(jī)床各軸的運(yùn)動(dòng)性能，并且可以直接用來(lái)插補(bǔ)。

LIN等[98]將時(shí)間樣條推廣到三維情況，并引入了機(jī)床的速度、加速度和加加速度約束。為了實(shí)現(xiàn)高精度的輪廓誤差控制，給出了折線與曲線間精確的Hausdorff距離計(jì)算公式。而申立勇等[99]則將時(shí)間樣條曲線方法擴(kuò)展到五軸數(shù)控加工中，使用五維三次B樣條曲線去擬合機(jī)床坐標(biāo)系的G代碼。曲線由控制點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)向量確定，曲線的1～3階導(dǎo)數(shù)即各軸的速度、加速度和加加速度。由機(jī)床坐標(biāo)系和工件坐標(biāo)系的變換關(guān)系，可得到擬合曲線在工件坐標(biāo)系的參數(shù)表示。因此可通過(guò)控制工件坐標(biāo)系下擬合曲線與數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差和機(jī)床坐標(biāo)系下擬合曲線的速度、加速度以及加加速度，以加工時(shí)間最優(yōu)為目標(biāo)，優(yōu)化樣條曲線的控制點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)向量，得到一條充分利用機(jī)床運(yùn)動(dòng)性能和高精度誤差控制的路徑。綜合上述方法，袁春明等[100]提出了時(shí)間樣條曲面的概念，即利用一個(gè)參數(shù)方向來(lái)描述加工路徑(對(duì)原有曲面進(jìn)行重新參數(shù)化，使得等參數(shù)對(duì)應(yīng)于等殘高)，而每條加工路徑則用時(shí)間樣條曲線來(lái)描述，從而將CAD，CAM，CNC統(tǒng)一起來(lái)，實(shí)現(xiàn)對(duì)自由曲面的一體化加工。

綜上，時(shí)間樣條方法可用于三軸和五軸聯(lián)動(dòng)加工，充分考慮加工過(guò)程中的相關(guān)約束，采用整體優(yōu)化方法，求解最優(yōu)的擬合路徑和速度曲線，最終可由擬合曲線和插補(bǔ)周期直接得到插補(bǔ)點(diǎn)，是實(shí)現(xiàn)一體化的高精、高效加工新模式。

5.2.2 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的一體化插補(bǔ)算法

隨著近幾年人工智能的快速發(fā)展以及在工業(yè)領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，越來(lái)越多的學(xué)者投入到其中進(jìn)行研究，從而對(duì)多個(gè)行業(yè)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。因此，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的一系列研究快速崛起。基于此，文獻(xiàn)[96]將強(qiáng)化學(xué)習(xí)引入到速度規(guī)劃中，提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的插補(bǔ)光滑算法(neural-network numerical control，NNC)來(lái)處理G代碼加工路徑，以實(shí)現(xiàn)CNC的高效一體化加工。圖29展示了NNC的算法框架?？梢钥闯?，NNC直接利用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)輸出每個(gè)周期的插補(bǔ)點(diǎn)，從而省去中間很多的計(jì)算步驟，實(shí)時(shí)性更強(qiáng)。所以該方法可以分為訓(xùn)練過(guò)程和運(yùn)行過(guò)程2個(gè)部分。而對(duì)于訓(xùn)練部分，算法利用強(qiáng)化學(xué)習(xí)來(lái)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，因?yàn)檩斎氲脑紨?shù)據(jù)只有加工路徑，屬于無(wú)標(biāo)簽數(shù)據(jù)，所以需要使用無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)方式。

圖29 NNC算法框架[96]

強(qiáng)化學(xué)習(xí)是一種試錯(cuò)方法，其目標(biāo)是讓智能體(agent)在特定環(huán)境中能夠采取回報(bào)最大化的行動(dòng)，做出當(dāng)前最優(yōu)決策。其組成部分主要包括：智能體、行動(dòng)(action)、環(huán)境(environment)、狀態(tài)(state)和獎(jiǎng)勵(lì)(reward)。其中，環(huán)境是能夠?qū)?dāng)前狀態(tài)下采取的行動(dòng)轉(zhuǎn)換成下一個(gè)狀態(tài)和獎(jiǎng)勵(lì)的函數(shù)；而智能體(一般為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))則可以將新的狀態(tài)和獎(jiǎng)勵(lì)轉(zhuǎn)換成下一步行動(dòng)。可設(shè)定智能體的表示形式，但是無(wú)法知悉環(huán)境的顯式表達(dá)。所以，環(huán)境是一個(gè)只能看到輸入輸出的黑盒子，而強(qiáng)化學(xué)習(xí)則相當(dāng)于嘗試用智能體逼近環(huán)境函數(shù)，這樣就能根據(jù)其做出最優(yōu)決策。

此類(lèi)型算法近幾年展示出了巨大的潛力，其優(yōu)勢(shì)在于可以高效實(shí)時(shí)地進(jìn)行一體化加工插補(bǔ)，但是其未充分考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，導(dǎo)致路徑的加速度曲線發(fā)生超界，引起機(jī)床震顫，從而降低加工質(zhì)量與效率，且該方法只能處理簡(jiǎn)單的三軸加工路徑。所以此類(lèi)方法未來(lái)的一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)是，構(gòu)建具有微分結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使得生成的速度曲線滿(mǎn)足各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，并且考慮五軸G代碼的路徑加工。

6 未來(lái)展望

目前我國(guó)處于制造業(yè)突破瓶頸的關(guān)鍵時(shí)期，針對(duì)自由曲面的高效高精數(shù)控加工理論與核心技術(shù)的突破能有效提升我國(guó)工業(yè)核心競(jìng)爭(zhēng)力。隨著數(shù)控加工技術(shù)的快速發(fā)展，人們對(duì)其加工效率以及加工質(zhì)量的要求也越來(lái)越嚴(yán)格。而當(dāng)前的數(shù)控加工流程是自由曲面(CAD)—加工路徑(CAM)—插補(bǔ)點(diǎn)(CNC)，即面-線-點(diǎn)。隨著流程的逐步遞進(jìn)，工件在CAD階段的一些重要幾何特征(如高階曲率信息)會(huì)逐漸丟失。目前對(duì)于比較復(fù)雜的自由曲面，人們往往以三角網(wǎng)格表示形式作為CAD的輸出。三角網(wǎng)格結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，應(yīng)用成熟，但是使用其表示的自由曲面會(huì)丟失高階幾何連續(xù)性，而這些信息正是CAM階段所需要的。然而隨著幾何特征的丟失，只能依據(jù)現(xiàn)有的三角網(wǎng)格拓?fù)湫再|(zhì)，通過(guò)各種擬合手段，來(lái)近似逼近原曲面的幾何信息。因此會(huì)造成較大的工件精度誤差，并且?guī)?lái)大量不必要的計(jì)算負(fù)擔(dān)，進(jìn)而嚴(yán)重降低加工效率。同時(shí)，在CAD，CAM和CNC階段，均需要通過(guò)求解一系列優(yōu)化問(wèn)題，令求解對(duì)象滿(mǎn)足各項(xiàng)加工特性約束，從而使得整個(gè)流程結(jié)構(gòu)冗余，操作繁瑣。

所以數(shù)控加工行業(yè)未來(lái)的一個(gè)重要發(fā)展趨勢(shì)是將CAD，CAM和CNC深度融合，建立自由曲面一體化加工理論與算法的思路，從而打破傳統(tǒng)生產(chǎn)模式中“設(shè)計(jì)-規(guī)劃-加工”中存在的壁壘。也就是說(shuō)，在設(shè)計(jì)與優(yōu)化曲面表示時(shí)，可通過(guò)加入加工特性約束以及機(jī)床性能約束，求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，并得到面向CAM的可加工樣條曲面。該曲面可以生成一簇等參線，兩兩之間滿(mǎn)足CAM中的一系列加工特性約束，并且各等參線以加工時(shí)間為參數(shù)，在滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和幾何誤差約束的前提下，達(dá)到時(shí)間最優(yōu)，進(jìn)而可以直接輸入到機(jī)床進(jìn)行插補(bǔ)加工。同時(shí)，相關(guān)研究可以從理論驅(qū)動(dòng)和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)2個(gè)方面展開(kāi)，實(shí)現(xiàn)“數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)理論，理論指導(dǎo)數(shù)據(jù)”的完整研究鏈條。

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A survey of path planning and feedrate interpolation in computer numerical control

MA Hong-yu1, SHEN Li-yong1, JIANG Xin2, ZOU Qiang3, YUAN Chun-ming4

(1. School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China; 2. Key Laboratory of Mathematics, Informatics and Behavioral Semantics, Institute of Artificial intelligence, Beihang University, Beijing 100083, China; 3. State Key Lab of CAD&CG and the College of Computer Science, Zhejiang University, Hangzhuo Zhejiang 310027, China; 4. Academy of Mathematics and Systems Sciences, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Numerical control technology is widely employed in the modern manufacturing industry, and related research has been emphasized by academia and industry. The traditional process of numerical control technology is mainly composed of tool path planning and feedrate interpolation. To attain the machining of high speed and precision, several problems in tool path planning and feedrate interpolation are usually transformed into mathematical optimization models. In view of the complexity of engineering application problems, stepwise iterative optimization method is used to address the problems, but the results are usually only locally optimal. Secondly, both tool path planning and feedrate interpolation are designed to process a workpiece surface. Although the calculation is simplified into two steps, the overall optimization cannot be achieved. Therefore, in order to better undertake the research on the integrated design and optimization idea of tool path planning and feedrate interpolation, it is necessary to systematically review and drawn on the existing representative works. We will introduce the relevant methods and technical progress of tool path planning and feedrate interpolation in CNC machining successively, including tool path planning based on end milling, tool orientation optimization, G-code processing and corner transition, feedrate planning of parameter curves, and some new machining optimization methods proposed recently. Among them, the tool path planning methods can be briefly classified into four categories: iso-parametric methods, iso-planar methods, iso-scallop height methods and the newly proposed methods based on vector field. The tool orientation optimization methods can be divided into local optimization methods considering error constraints and global optimization methods based on C-space. And the recent related work of G-code processing and corner transition mainly includes: micro line segments corner transition methods, spline based global fitting methods and finite impulse response-based methods. For parameter curves, the corresponding feedrate planning methods mainly include acceleration/deceleration-based methods, optimization-based approaches and the methods of integrating smoothness and feedrate. After that, we will introduce some emerging methods and techniques like surface segmentation for subtractive/additive manufacturing and the integrated interpolation methods for tool paths.

computer aided manufacturing; numerical control; tool path planning; feedrate interpolation; G-code processing

O 29；TP 391；TG 50

10.11996/JG.j.2095-302X.2022060967

A

2095-302X(2022)06-0967-20

2022-07-30；

：2022-10-18

北京市重點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)課題(Z190004)；國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃課題(2020YFA0713703)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11688101，61872332，62102355)；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(LQ22F020012)；中央高?；究蒲谢?/p>

馬鴻宇(1993-)，男，特別研究助理，博士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、計(jì)算輔助制造。E-mail：mahongyu@ucas.ac.cn

申立勇(1977-)，男，教授，博士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、數(shù)控技術(shù)等。E-mail：lyshen@ucas.ac.cn

30 July，2022；

18 October，2022

Beijing Natural Science Foundation under Grant (Z190004); National Key Research and Development Program of China under Grant (2020YFA0713703); National Natural Science Foundation of China (11688101, 61872332, 62102355); Natural Science Foundation of Zhejiang Province (LQ22F020012); Fundamental Research Funds for the Central Universities

MA Hong-yu (1993-), research assistant, Ph.D. His main research interests cover computer aided design and computer aided manufacturing. E-mail：mahongyu@ucas.ac.cn

SHEN Li-yong (1977-), professor, Ph.D. His main research interests cover computer aided geometric design and computer numerical control, etc. E-mail：lyshen@ucas.ac.cn