濕熱環境中含脫層復合材料層合板的界面裂紋擴展

夏飛, 薛江紅, 何贊航, 金福松

(暨南大學 力學與建筑工程學院, 廣州 510632)

纖維增強復合材料是由高強度、高剛度的纖維作為增強材料,與基體材料進行模壓、纏繞等方式形成宏觀上具有新性能的材料。 相對于傳統材料,纖維增強復合材料具有比強度高、耐腐蝕性好、可設計性好等優點,在機械化工、航空航天等眾多領域得到廣泛應用。 對于復合材料層合結構,在加工使用過程中極易出現損傷,層間脫層是復合材料層合板殼結構的一種常見缺陷或損傷形式,主要發生在層板的界面上。 層合板殼結構發生脫層擴展的根本原因是脫層前沿處的應力累積,由于前沿處應力場分布的奇異性,作為層間斷裂韌性表征量的臨界應變能量釋放率得到廣泛應用[1]。 同時,環境中溫度和濕度的改變也會在復合材料層合板內部產生濕熱應力,削弱層合板的承載能力。 因此,分析濕熱環境中復合材料層合板結構在壓縮荷載下的非線性后屈曲、脫層擴展等力學行為,是一項極具工程意義的工作。

關于含脫層復合材料層合板殼的非線性力學研究,Chai 等[2]最先提出一維穿透脫層分析模型,研究脫層層合板的整體失穩。 劉述倫等[3]討論了含有貫穿脫層復合材料層合板的力學性能與濕度和溫度之間的關系,并給出了屈曲問題的解答。 周宇等[4]考慮含纖維搭橋的影響,建立了用撓度和應力函數表示的正交各向異性材料矩形脫層屈曲非線性方程組。 李萍等[5]考慮接觸效應,研究了單向鋪設的層合梁的非線性后屈曲路徑。K?llner 和V?llmecke[6-7]提出了一種分析模型,該模型僅用廣義坐標就可模擬層合板的后屈曲行為和分層損傷。 文獻[2-7]都是基于經典板殼理論,忽略板在橫向界面處由于剪力引起的橫向剪切變形,由于層合板/殼對橫向剪切變形很敏感[8],由此發展出適用于中厚板的剪切變形理論。 基于一階剪切變形理論(first order shear deformation theory, FSDT)及分層理論,Nikrad 等[9]研究了含集合缺陷的復合材料層合板的后屈曲行為,并與有限元結果進行了對比驗證。 同樣考慮FSDT,Wang等[10]研究了含橢圓分層的復合材料層合板的壓縮破壞,所建立的模型與實驗結果一致。 Shabanijafroudi 和Ganesan[11]則給出了一種新的脫層模型數學建模方法,與有限元的算例驗證中證明該方法可以降低求解的計算量。

復合材料層合板的脫層擴展一般分為:Ⅰ型張開、Ⅱ型滑移和Ⅲ型撕裂。 Pereira 和Morais[12]建立梁模型計算能量釋放率,并結合實驗和虛擬裂紋閉合技術,分析了復合材料層合結構的Ⅰ+Ⅱ混合型層間斷裂。 鄭偉玲和鄭龍席[13]發展了一種通過位移來計算3 點彎曲梁模型中裂紋能量釋放率的方法。 任雷和盛冬發[14]建立了二維有限元模型,分析了單向纖維增強復合材料板I 型裂紋的尖端應力場。 Tay 等[15]綜合使用擴展有限元(extended finite element method, XFEM)和內聚力單元(cohesive element, CE),模擬了復合材料漸進損傷過程3D 分層和基體開裂及兩者之間的相互作用。 鄧健等[16]基于經典層合板理論及雙線性黏聚區本構關系,提出一種I-II 混合型斷裂的裂紋擴展理論模型。

文獻[12-16]關于界面裂紋的研究大多基于實驗和有限元仿真,從模型受載和邊界的形式來看,研究主要集中于雙懸臂染(double cantilever beam, DCB)、端部切口彎曲(end notched flexture,ENF)、 混 合 模 式 彎 曲(mixed mode bending,MMB)層合試件,對于承受面內荷載作用的含初始脫層層合板裂紋擴展的理論研究還不多。 為了深入探討含脫層復合材料層合結構的承載能力,Xue 等[17-19]開展了系列研究,詳細討論了接觸效應與模態解的關系,并提出由于接觸的存在,含脫層層合板呈現的是整體一致的屈曲模態和后屈曲變形,在面內壓縮荷載作用下,含脫層層合板發生Ⅱ型面內滑移擴展,研究表明,脫層界面發生擴展的主要原因是層間剪應力的累積,也與后屈曲階段橫向剪力和剪切變形的增加有關。 本文基于FSDT,分析了承受軸壓作用的復合材料層合板在脫層界面的裂紋擴展行為。 建立含脫層復合材料層合板的四分區模型,考慮環境濕熱和脫層界面的接觸效應的影響,推導脫層復合材料層合板在濕-熱-力載荷作用下的總勢能,并求解非線性后屈曲的控制方程。 結合斷裂力學中的斷裂準則,給出脫層擴展的能量釋放率表達式,并進一步求得脫層界面發生擴展時的臨界壓縮載荷。 通過開發MATLAB 程序代碼進行數值計算,討論了脫層幾何尺寸和濕熱環境對復合材料層合板承載能力的影響。

1 基本理論

1.1 數學模型

考慮一含初始貫穿脫層的復合材料矩形中厚板,其長為a、寬為b、高為h,由厚度為h0的單層板以一定角度鋪設黏合而成。 邊界條件為四邊簡支,左右兩側受軸向壓縮荷載Nx的作用。 為便于分析,將脫層復合材料層合板模型簡化為可計算的四分區數學模型,如圖1 所示。 脫層長度為L2,與上表面的距離為h2,脫層左前沿與左邊界的距離為L1,由此將模型分為4 個層板,分別記為子層合板Ω(i),i=1,2,3,4。 隨著縱向壓縮載荷的增加,脫層前沿裂紋將擴展δni,各子層合板的邊界及尺寸也隨之發生變化。

圖1 含脫層復合材料層合板的四分區模型Fig.1 Four region modeling of delaminated composite laminates

假設層合板在發生變形時y-z橫截面和x-z橫截面的轉動角度分別為和,則考慮FSDT的層合板的位移場u(i)、v(i)、w(i)為

式中:

在濕熱環境中,層合板的應力場分布受到濕熱力和機械力的共同影響,用[N(i)]E(、、)E和[]E(、、)E分別表示層合板的總薄膜內力和總彎矩,即

式中:[N(i)]和[M(i)]分別為機械內力和內力矩;[N(i)]T和[M(i)]T分別為熱內力和熱力矩;[N(i)]H和[M(i)]H分別為濕內力和濕力矩。

濕熱內力和內力矩為[20]

設[σ]為應力分量,[ε]為應變分量,則有

其中:θ為鋪設角;α1、α2為熱膨脹系數,β1、β2為濕膨脹系數,均由實驗測得;單層板的折減剛度系數的各分量為

式中:E11、E22分別為材料在1、2 彈性主方向上的彈性模量;G12為材料在1-2 平面內的剪切彈性模量;μ12和μ21為泊松比。

由式(2)和式(9),得到濕熱環境中正交對稱鋪設的層合板的本構關系為

層合板在發生面外彎曲變形時,脫層界面處的上子板Ω(2)和下子板Ω(3)之間受到一對相互作用的接觸力q*作用,導致上下子板Ω(2)和Ω(3)之間載荷的重新分配。 用線彈簧模型模擬層間接觸力與上下子板彎形w(2)和w(3)的關系[17]:

式中:接觸系數ke為

1.2 能量分析

靜力平衡狀態下,含脫層復合材料層合板所受的外力功為

式中:C(i)為子板Ω(i)的邊界;和分別為子板Ω(i)邊界上的廣義外力和廣義位移,可以表示為

在濕-熱-力載荷的共同作用下,含脫層復合材料層合板內的彈性勢能為

設脫層發生的虛擴展為δni,系統內總勢能改變量的變分形式δΠ為

本文分析的是受軸向壓縮載荷作用的復合材料層合板,考慮到復合材料層合板較弱的層間屬性及初始脫層的存在,故假定裂紋的擴展路徑是在脫層前沿處沿著層間方向發展。 根據可動邊界變分原理,在動邊界上的廣義位移(j= 1,2,…,5)的變分形式為

式中:δni為脫層擴展的方向,用δn表示脫層前沿邊界發生正方向擴展,則有

將式(24)和式(25)代入式(23)后,系統總勢能改變量的變分δΠ可拆分為2 部分:

式中:

式中:li和mi分別為子板Ω(i)的邊界法線在x軸和y軸上的方向余弦。 對于本文的模型,層間裂紋的擴展方向只會沿著x軸,故mi應取為0。 δΠ1是脫層邊界不變時,脫層板系統的勢能改變量,根據虛功原理,系統保持靜態平衡的必要條件為

δΠ2為脫層板在動邊界上發生擴展時的總能量變化量。 從圖1 中可以看出,由于模型的對稱性,層合板位移函數u、v和轉角函數φx是x坐標的奇函數,轉角函數φy是y坐標的奇函數,位移函數w是x、y坐標的偶函數;同時左右兩邊脫層前沿處的擴展能量變化相同,故脫層板在發生擴展時的總能量變化量δΠ可以簡化為

相對應的,脫層板在發生擴展時的總面積變化量為

根據能量釋放率的定義,本文分析的受壓脫層板在脫層前沿處的能量釋放率為

1.3 靜態平衡方程及定解條件

對于承受壓縮荷載作用的含脫層層合板,式(27)和式(29)中給出了脫層板在靜態平衡下的基本控制方程和邊界連續性條件。 根據彈性力學知識,首先引入應力函數Φ,有

將式(33)代入式(29),得到用位移函數w(i)和轉角函數和表示的脫層板的非線性控制方程組:

同時,脫層板的邊界條件為四邊簡支。 結合板在脫層前沿處的連續性條件,求解上述靜態控制方程組的定解條件如下。

在y=0 處,

在y=b處,

在x=0 處,

在x=a處,

在x=L1處(i=1)和x=L1+L2處(i=4),

2 攝動求解

求解非線性控制方程式(34)的精確解比較困難,本文提供一種數值解法——小參數攝動法進行求解。 為方便攝動運算,引入如下形式的無量綱參數:

將式(37)代入式(34) ～式(36)中,得到無量綱形式的控制方程和定解條件。 選取ˉw0(ˉw0=

wmax/h)為攝動小參數,對式(34)中所有變量進行如下形式的攝動展開:

把攝動展開式(38)代入無量綱后的控制方程式(34)及定解條件式(35)和式(36)中,得到關于的多項式,根據的階次依次提取一階、二階和更高階的控制方程,并逐次進行求解。 本文主要求解前兩階方程,對應求得脫層板的屈曲解和后屈曲響應。 將式(37)和式(38)代入式(34)中,按照ˉw0的階次合并同類項,其中一階攝動方程為

由于接觸力的存在,子板Ω(2)和子板Ω(3)的控制方程是耦合方程,需要一起求解。 將式(40)代入式(39),得到

式(41)和式(42)成立的必要條件是其系數矩陣等于0,由此得到關于模態參數r(i)的特征方程:

用復數根的形式表示模態參數r(i)為

將式(46)代入式(39)的前兩式,即可確定其值:

式中:

將式(46)代入無量綱后的定解條件式(35)和式(36)中,建立下面的齊次方程組:

式中: [R()] 為一個24 ×24 的系數矩陣。

式(49)成立的必要條件是系數矩陣等于0,即

(2)(1/2,1/2) =1,即可求得24 個待定系數[…,從而確定式(46)。 二階攝動方程為

假設二階攝動方程的形式解為

將式(46)代入式(51),并根據方程左右一一對應關系可確定式(53),其中,為相關系數。通解需要用Galerkin 方程進行求解:

式中:

將式(56)和式(57)代入式(55)并進行簡化得到后屈曲增量:

根據式(38)和式(58),可以確定脫層板在靜態壓縮時的后屈曲路徑為

將式(38)中位移函數和轉角函數的一階攝動展開式代入式(32),得到用一階攝動方程的解和表示的脫層板的能量釋放率:

根據斷裂力學的準則,如果裂紋前沿處的能力釋放滿足G≥Gcr,則判定裂紋發生擴展,其中Gcr為材料的斷裂韌性。 結合式(60),可以推導出脫層板發生脫層擴展時的無量綱臨界擴展載荷為

從式(32)和式(61)中可以看出,在幾何尺寸和材料參數確定的情況下,脫層界面發生裂紋擴展時的能量改變δΠ主要由脫層前沿處的剪力項與橫向撓度有關項決定,承受軸向壓縮荷載的脫層板的Ⅱ型擴展主要發生于板的后屈曲階段。 求解過程如圖2 所示。

圖2 求解流程Fig.2 Flow chart of solving process

3 算例分析

本文的研究對象主要為四邊簡支的含脫層復合材料層合板,本節對第2 節的理論推導進行了驗證和討論。 其中,算例分析中選用的材料參數[15]:E11=147 GPa,E22=10.3 GPa,G12=G13=7.0 GPa,G23=3.7 GPa,μ12=0.3,GIIC=547 N/m,α1= -0.3 ×10-6/℃,α2=28. 1 ×10-6/℃,β1=0,β2= 0. 44。 層合板的幾何參數:a= 2 m,b=2 m,層合板的鋪設情況,按0°、90°、0°鋪設,總共60 層[0°/90°/0°]20,h0=0.002 m。

3.1 有限元分析

為了驗證理論解的正確性,開發ABAQUS 有限元軟件對含脫層復合材料層合板的屈曲行為進行了數值模擬。 同樣采用四分區模型,在軟件中使用三維空間內的可變形殼單元創建4 個層合板部件,保證板模型可以發生面外變形;然后通過裝配組合及在脫層前沿連接位置設置綁定約束,使得有限元模型與理論模型一致。 在脫層上下2 個部件的接觸面之間設置法向的硬接觸,以防止其發生互相貫穿。 在模擬溫度變化ΔT對層合板屈曲載荷的影響時,首先在靜態通用分析步中計算溫度改變引起的熱應力分布,然后把得到的結果設置為線性攝動屈曲分析步中的初始狀態,進而得出對應溫度下的屈曲載荷。 整個有限元模型被劃分為13 000 個S4R 單元以滿足計算的精度,網格劃分情況如圖3 所示。

圖3 有限元網格劃分Fig.3 Diagram of finite element mesh partition

圖4 為考慮熱膨脹(ΔT=25 ℃,h2/h=0.1,L2/a=0.3)時的脫層板屈曲模態。 其中圖4(a)中考慮了接觸,從圖4(a)中可以看出脫層板的屈曲模態是整體一致的變形模態,接觸效應不可忽略,否則就會出現圖4(b)中上下層板相互貫穿這樣不合理的現象。 表1 列出了相對脫層深度一定(h2/h=0.2),不同相對脫層長度L2/a和溫度變化ΔT情況下,有限元屈曲結果(FEM)與當前理論(FSDT)的比較,有限元模擬的屈曲結果同樣進行式(37)中的無量綱處理。 從表1 中可以看出,有限元結果和理論結果較為吻合,2 種方法的差值比(Diff.)在5%之內,驗證了理論推導的正確性。

表1 含脫層復合材料層合板的有限元方法與理論方法的無量綱屈曲載荷比較Table 1 Compassion of non-dimensional buckling load between FEM and present method of delaminated composite laminates

圖4 含脫層復合材料層合板屈曲模態Fig.4 Buckling mode of delaminated composite laminates

3.2 文獻對比

為了進一步驗證理論推導結果的有效性,將本文的結果與經典層合板理論(CLPT)的解[18]進行了比較。 表2 為在不同相對脫層深度h2/h和相對脫層長度L2/a情況下,在CLPT 和FSDT 下的無量綱屈曲荷載和無量綱臨界擴展荷載的對比。 可以看出,盡管脫層深度和脫層長度不同,2 種方法得到的結果的差值比均不超過7%。同時,CLPT 解總大于考慮FSDT 的解,這是由于CLPT 忽略橫向剪切變形,高估了層合板的剛度和承載能力。

表2 含脫層復合材料層合板的經典層合板理論和剪切理論無量綱屈曲載荷和無量綱臨界擴展載荷比較Table 2 Compassion of non-dimensional buckling load and non-dimensional threshold between CLPT and present method of delaminated composite laminates

3.3 脫層情況對臨界載荷的影響

圖5 為脫層深度(L2/a= 0. 3)和濕熱環境(ΔT=25 ℃, ΔC=0.1%)一定時,脫層板的無量綱臨界荷載(屈曲載荷和臨界擴展載荷)隨相對脫層深度(h2/h)的變化情況。 如圖5 所示,隨著脫層深度的增加,屈曲載荷呈現先減小后增大的趨勢,在脫層位于層合板中部h2/h=0. 5時,屈曲載荷達到最小值。 臨界擴展載荷也有同樣的變化趨勢,且總大于屈曲載荷。 在壓縮載荷作用下,脫層位置越靠近中間越容易發生脫層擴展。

圖5 相對脫層深度對無量綱臨界載荷和的影響Fig.5 Effect of relative delamination depth on non-dimensional critical load and

圖6 為脫層深度(h2/h= 0. 3)和濕熱環境(ΔT=25 ℃, ΔC=0.1%)一定時,脫層板的無量綱臨界荷載(臨界屈曲荷載和臨界擴展荷載)隨相對脫層長度(L2/a)的變化情況。 由于數量級的關系,將相對脫層長度化分為3 個部分:圖6(a)為L2/a=0 ～0.02,圖6(b)為L2/a=0.02 ～0.2,圖6(c)為L2/a=0.2 ～1。 從圖6 中可以看出,屈曲載荷和臨界擴展載荷均隨著相對脫層長度的增加而減小。 圖6(a)和圖6(b)顯示當脫層長度趨近于0(無脫層)時,擴展載荷急劇增加且遠遠大于屈曲載荷;圖6(c)則相反,屈曲載荷和擴展載荷同時變化且很接近,說明脫層長度越大,脫層越容易發生擴展。 圖6 的曲線趨勢同時也表明脫層擴展是一個持續的過程,當靜態壓縮載荷達到或超過脫層板的擴展載荷時,就會導致脫層長度的增加,進而導致脫層板的承載力下降,誘發脫層發生進一步擴展,直到層合板的完全破壞。

圖6 相對脫層長度對無量綱臨界載荷和的影響Fig.6 Effect of relative delamination length on non-dimensional critical load and

3.4 濕熱環境對臨界載荷的影響

圖7 和圖8 給出了脫層情況一定(h2/h=0.5,L2/a=0.05)時,不同溫度改變量ΔT(ΔC=0%)和濕度改變量ΔC(ΔT=0 ℃)下,脫層板的承載后屈曲路徑,其中ˉw為無量綱撓度。 根據上面的分析,受壓脫層板一旦發生擴展,會在原載荷下迅速擴展至破壞,因此圖7 和圖8 中各算例的后屈曲路徑曲線終止于對應參數下的擴展載荷值。 圖7 和圖8 標注出了各種濕熱情況下的無量綱屈曲載荷值和無量綱擴展載荷值,可以發現,溫度和濕度的增加會極大影響脫層板的承載能力,較大的濕熱變形會明顯的降低脫層板的屈曲載荷、后屈曲強化載荷和臨界擴展載荷。 同時,不管處于何種濕熱場,脫層板都表現出后屈曲強化的特性;且隨著載荷增加,脫層板在屈曲后產生的面外變形不斷增加,導致層間剪力的不斷累積而發生Ⅱ型脫層擴展。

圖7 溫度改變對無量綱臨界載荷和及后屈曲路徑的影響Fig.7 Effect of change of temperature on non-dimensional critical load and and post-buckling equilibrium path

圖8 濕度改變對無量綱臨界載荷和及后屈曲路徑的影響Fig.8 Effect of change of hygroscopic concentration on non-dimensional critical load and and post-buckling equilibrium path

4 結 論

1) 經典層合板理論由于忽略橫向剪切變形,高估了層合板的承載能力,計算的屈曲載荷和擴展載荷均高于剪切理論的解。

2) 在同一濕熱場中,當脫層深度越靠近層合板的中間位置或脫層長度越大時,脫層越容易發生擴展。 脫層擴展是一個持續的過程,脫層擴展導致脫層長度增加,脫層板的承載力隨之下降,脫層在原壓縮載荷下會繼續擴展,直到層合板的完全破壞。

3) 濕熱變形會顯著降低脫層板的屈曲載荷、后屈曲載荷及擴展載荷。 在不同濕熱場中,層合板都表現后屈曲強化的特性。