基于坐標(biāo)變換的功能梯度材料空間映射建模研究

韓曉偉，段國(guó)林，王世杰，韓 碩，馬 碩，楊 杰

（河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300401）

功能梯度材料（functionally graded material,FGM）是一種可實(shí)現(xiàn)某些特殊功能的新型非均質(zhì)材料[1]，其從內(nèi)部組分、結(jié)構(gòu)到物理特性和化學(xué)特性等方面均呈現(xiàn)連續(xù)的變化。與傳統(tǒng)單一材質(zhì)材料相比，功能梯度材料具備很多特殊的優(yōu)點(diǎn)：既可解決非均質(zhì)材料的界面應(yīng)力問(wèn)題，又能保持材料的復(fù)合特性[2]。功能梯度材料最早應(yīng)用于航空、機(jī)械領(lǐng)域中需耐高溫、腐蝕和磨損的結(jié)構(gòu)[3]，現(xiàn)已擴(kuò)展到核、生物、熱電或熱離子轉(zhuǎn)換、醫(yī)學(xué)和電磁等領(lǐng)域[4]。在功能梯度材料的制備過(guò)程中，最重要的是采取合適的措施來(lái)確保材料在組成、結(jié)構(gòu)上的梯度變化，其制備過(guò)程通常結(jié)合材料復(fù)合技術(shù)、計(jì)算機(jī)輔助材料設(shè)計(jì)和制造技術(shù)[5]。功能梯度材料可通過(guò)利用物理或化學(xué)方法將金屬、高分子聚合物以及陶瓷等結(jié)合的方式來(lái)制備。傳統(tǒng)的制備方法有物理化學(xué)氣相沉積法、粉末冶金法、等離子噴涂法和自蔓延高溫合成法等[6]。功能梯度材料在各類(lèi)對(duì)材料有特殊要求的領(lǐng)域中有廣闊的應(yīng)用前景[7]。

功能梯度材料建模是其制備過(guò)程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。但是，傳統(tǒng)的三維CAD（computer aided design，計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)）建模方法對(duì)實(shí)體模型的表示主要基于構(gòu)造表示和邊界表示[8]，且將模型內(nèi)部視作單一均質(zhì)材料來(lái)處理，只能表示實(shí)體外表面的基本信息，而難以表示其內(nèi)部的材料結(jié)構(gòu)和組織信息。因此，需要設(shè)計(jì)可實(shí)現(xiàn)模型幾何信息與材料信息有效結(jié)合的方法，以滿足功能梯度材料建模的要求。

為此，吳曉軍等[9]提出了基于八叉樹(shù)的體素化建模方法，即采用幾何運(yùn)算方法體素化三維網(wǎng)格模型，該方法可建立材料分布不均勻的模型，但只能通過(guò)體素根據(jù)一定的分辨率逼近實(shí)體，導(dǎo)致模型的精度較低，且儲(chǔ)存體素需要大量空間。Biswas等[10]提出了一種基于距離場(chǎng)的建模方法，通過(guò)精確或近似于材料特征的距離對(duì)空間進(jìn)行參數(shù)化，該方法適用于大多數(shù)尺寸、形狀和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等材料特征，缺點(diǎn)是計(jì)算過(guò)程繁瑣。Jackson等[11]提出將幾何信息與材料信息賦予有限元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的建模方法，但基于有限元網(wǎng)格建立的模型由于被細(xì)分成小四面體單元，使得后續(xù)的切片等數(shù)據(jù)處理復(fù)雜化。張賀等[12]提出了利用等值面表示材料信息的建模方法，通過(guò)對(duì)不同層的等值面進(jìn)行處理，可以實(shí)現(xiàn)不同幾何形狀和不同材料分布的功能梯度材料的建模，但該方法只限于材料分布呈等值面均勻分布的情況。葛正浩等[13]提出了基于控制點(diǎn)的建模方法，該方法假設(shè)幾何空間由空間點(diǎn)組成，利用梯度源方法將材料信息附著于空間點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)材料信息的映射，該方法適用于構(gòu)建簡(jiǎn)單模型或回轉(zhuǎn)體模型，但建模過(guò)程繁瑣，對(duì)材料分布復(fù)雜的零件處理困難，且大量的點(diǎn)會(huì)占用較多的儲(chǔ)存空間。Yang等[14]提出了一種基于B樣條的建模方法，通過(guò)異質(zhì)材料放樣構(gòu)建異質(zhì)體模型，該方法不需要設(shè)置控制點(diǎn)網(wǎng)格，而是直接通過(guò)配置模型材料特征來(lái)設(shè)計(jì)材料分布和幾何形狀。

綜上所述，功能梯度材料建模需要建立幾何空間和材料空間并將其有效結(jié)合。其中，幾何空間可通過(guò)建模軟件直接構(gòu)建，材料空間的構(gòu)建可通過(guò)功能梯度材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)來(lái)完成[15]。傳統(tǒng)的功能梯度材料建模方法通常先將幾何模型離散成體素或四面體，而后將材料信息導(dǎo)入離散的體素或四面體[16]。離散重組的方法雖然簡(jiǎn)化了建模過(guò)程，但通過(guò)一定分辨率逼近實(shí)體的方法會(huì)大大降低模型的精度，且隨著分辨率的增大，所需儲(chǔ)存空間增大，導(dǎo)致后續(xù)處理變得復(fù)雜。為方便幾何信息與材料信息的結(jié)合，筆者提出一種新的基于坐標(biāo)變換的功能梯度材料空間映射建模方法，通過(guò)基于坐標(biāo)變換的映射方法來(lái)避免傳統(tǒng)功能梯度材料建模精度低的弊端。

1 功能梯度材料建模設(shè)計(jì)

功能梯度材料建模時(shí)，首先要定義模型幾何空間，然后設(shè)計(jì)模型材料分布以得到所需的梯度變化，從而確定材料空間和映射關(guān)系，最后基于映射關(guān)系將材料模型從材料空間映射到幾何空間，以構(gòu)建功能梯度材料模型。通過(guò)空間映射建模的核心是確定材料空間到幾何空間的映射關(guān)系，即定義功能梯度材料的材料組分變化規(guī)律，這個(gè)變化規(guī)律用關(guān)于幾何空間坐標(biāo)的函數(shù)表示。當(dāng)存在多個(gè)映射關(guān)系時(shí)，映射關(guān)系具有嚴(yán)格的作用區(qū)間，即在從材料空間向幾何空間映射的過(guò)程中，不同區(qū)間對(duì)應(yīng)不同的映射函數(shù)。

定義歐幾里得空間為E3，功能梯度材料建模空間B=G3×M，其中G3表示三維幾何空間，G3?E3，M表示材料空間，n表示功能梯度材料所含材料的種類(lèi)（n≥1），則功能梯度材料模型可表示為：

式中：(x,y,z)為幾何空間坐標(biāo)；γi為某點(diǎn)處第i種材料（i=1,2,…,n） 的占比，0≤γi≤1，γi=0表示該點(diǎn)不含第i種材料，γi=1表示該點(diǎn)只含第i種材料。

將材料空間中的材料分布情況按照映射關(guān)系映射到幾何空間中，得到各材料相在幾何空間中的空間分布情況，而后將各材料相的分布組合起來(lái)，即可得到功能梯度材料模型。以包含3種材料（m1、m2、m3）的功能梯度材料模型為例，其幾何空間到材料空間的映射關(guān)系如圖1所示。

圖1 某功能梯度材料模型幾何空間與材料空間的映射關(guān)系Fig.1 Mapping relationship between geometric space and material space of a functionally graded material model

根據(jù)材料變化的復(fù)雜程度，將基于空間映射的功能梯度材料建模大致分為3種情況。

1）材料組分以單一函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型。

材料組分以單一函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型大多屬于幾何形狀簡(jiǎn)單的模型。如圖2所示，某一預(yù)打印條塊由2種材料（m1、m2）組成，其中材料m1、m2的體積分?jǐn)?shù)分別用函數(shù)f1、f2表示，則圖2所示的材料m1的梯度變化規(guī)律分別為：f1(x)=x，f1(y)=y，f1(x)=x2-x+1，f1(x,y)=0.25xy+0.5x-0.5y。相對(duì)應(yīng)的，材料m2的梯度變化規(guī)律f2=1-f1。函數(shù)f1與f2即構(gòu)成該預(yù)打印條塊的材料分布函數(shù)F。對(duì)于材料組分以單一函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型，材料空間到幾何空間的映射只有一個(gè)映射規(guī)律，在這種情況下，材料分布函數(shù)與映射關(guān)系一致。

圖2 材料組分以單一函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型Fig.2 Functionally graded material model of material composition changing with single function law

2）材料組分以多個(gè)函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型。

如圖3所示，對(duì)于材料變化規(guī)律比單一函數(shù)復(fù)雜的功能梯度材料模型，其往往需要多個(gè)映射關(guān)系來(lái)確定。

圖3 材料組分以多個(gè)函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型Fig.3 Functional gradient material model of material composition changing with multiple function laws

對(duì)于圖3所示情況，一般認(rèn)為材料是多個(gè)方向變化的且每個(gè)方向滿足一定的映射關(guān)系。在不同的材料變化區(qū)域，分別確定相應(yīng)的映射關(guān)系Φ1,Φ2,…,Φj,…,Φq，如式(2)所示：

式中：Mj為材料空間的某一區(qū)域；Fj為區(qū)域Mj的材料分布函數(shù)；Φj為材料空間到幾何空間的映射關(guān)系。

當(dāng)材料組分以多個(gè)函數(shù)規(guī)律變化時(shí)，功能梯度材料建模要解決多個(gè)梯度源下材料接觸區(qū)域材料過(guò)渡時(shí)的平滑性以及連續(xù)性。在這種情況下，多個(gè)映射關(guān)系對(duì)應(yīng)多個(gè)梯度變化規(guī)律。以多個(gè)函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型的映射關(guān)系如圖4所示。

圖4 材料組分以多個(gè)函數(shù)規(guī)律變化的功能梯度材料模型的映射示意Fig.4 Mapping schematic of functionally graded material model of material composition changing with multiple function laws

3）無(wú)映射規(guī)律的功能梯度材料模型。

在實(shí)際應(yīng)用中，往往存在材料變化規(guī)律較為復(fù)雜的功能梯度材料模型，這些模型一般不存在映射規(guī)律。對(duì)于無(wú)映射規(guī)律的功能梯度材料模型，通常采用點(diǎn)云法、體素法或切片處理法進(jìn)行建模。其中，體素法是將幾何模型離散成體素點(diǎn)，并將材料信息添加至每一個(gè)體素點(diǎn)來(lái)完成建模的，將材料信息加到每一個(gè)體素點(diǎn)即可認(rèn)為是一種映射。基于體素法的功能梯度材料模型的空間映射如圖5所示。

圖5 基于體素法的功能梯度材料建模映射示意Fig.5 Mapping schematic of functional gradient material modeling

通過(guò)以上分析，除第3種情況外，均可根據(jù)實(shí)際需要設(shè)計(jì)功能梯度材料從材料空間到幾何空間的映射關(guān)系，而第3種情況雖然沒(méi)有具體的映射規(guī)律，但可以根據(jù)轉(zhuǎn)換算法得到材料梯度信息，即第3種情況也可以認(rèn)為具有多個(gè)映射關(guān)系。因此，可以統(tǒng)一用材料分布函數(shù)來(lái)表達(dá)功能梯度材料中的材料組分體積占比信息，即功能梯度材料模型的每一個(gè)映射關(guān)系對(duì)應(yīng)一個(gè)材料分布函數(shù)。

2 功能梯度材料建模表示

2.1 基于梯度源法的材料空間建立

本文采用梯度源法來(lái)表示功能梯度材料的材料分布，以建立材料空間。選取功能梯度材料模型中的一些特征作為參考特征（即梯度源），以模型上任意一點(diǎn)到梯度源的歐氏距離作為自變量來(lái)設(shè)計(jì)材料分布函數(shù)。為方便材料分布函數(shù)的計(jì)算，通常選取特殊的特征作為梯度源。

2.1.1 單梯度源法

如圖6所示，對(duì)于僅含單個(gè)梯度源的功能梯度材料模型，通常選取圓心、球心、軸心線或底面等作為梯度源，較為復(fù)雜的也可選取表面輪廓作為梯度源。

圖6 點(diǎn)、線、面單梯度源功能梯度材料模型Fig.6 Functionally graded material model based on single point,line and plane gradient source

對(duì)于單梯度源功能梯度材料模型，其材料分布函數(shù)F(x,y,z)是一個(gè)由一組材料組分梯度變化規(guī)律函數(shù)構(gòu)成的向量：

式中：fi(x,y,z)表示第i種材料組分在(x,y,z)處的分布規(guī)律，各個(gè)材料在空間某一點(diǎn)處的體積分?jǐn)?shù)之和等于 1，即。

材料分布函數(shù)可以為線性或非線性，根據(jù)不同材料分布函數(shù)建立不同維度的材料空間。圖7所示為由2種材料構(gòu)成的一維、二維、三維材料空間，其材料分布函數(shù)分別表示為：

圖7 不同維度的材料空間示意Fig.7 Material space of different dimensions

式中：L為正方形邊長(zhǎng)；r為圓形半徑；R為球體半徑。

選取不同的梯度源可以得到不同的梯度變化規(guī)律，通過(guò)修改幾何形狀、梯度源和材料分布函數(shù)，可得到所需的功能梯度材料模型。

2.1.2 多梯度源法

在實(shí)際的功能梯度材料建模設(shè)計(jì)中，材料變化往往不是單一材料的簡(jiǎn)單變化，而是多種材料的復(fù)雜變化，則會(huì)出現(xiàn)多個(gè)梯度源。多個(gè)梯度源的情況可分為2種：非交叉梯度源和交叉梯度源。

1）非交叉梯度源。

當(dāng)同一模型中出現(xiàn)2個(gè)或多個(gè)梯度源時(shí)，功能梯度分級(jí)區(qū)域之間會(huì)發(fā)生交集。圖8所示為具有2個(gè)梯度源（G1和G2）的功能梯度材料模型，其從材料m1變?yōu)椴牧蟤2和從材料m2變?yōu)椴牧蟤3的2個(gè)梯度變化區(qū)域之間不相交，將這種不同梯度變化區(qū)域共存而互不干擾的梯度源稱(chēng)為非交叉梯度源。

圖8 非交叉梯度源功能梯度材料模型Fig.8 Functionally graded material model of non-cross gradient source

對(duì)于2個(gè)非交叉梯度源的梯度變化區(qū)域，分別根據(jù)空間點(diǎn)與梯度源G1、G2之間的歐式距離d1、d2來(lái)定義梯度變化區(qū)域的材料組成。若空間點(diǎn)更接近梯度源G1（即d1＜d2），則根據(jù)梯度源G1計(jì)算材料組成，反之亦然；若空間點(diǎn)與2個(gè)梯度源的距離相等（d1=d2），則根據(jù)任意梯度源計(jì)算材料組成。對(duì)于含多個(gè)非交叉梯度源的功能梯度材料模型，可以此類(lèi)推。

2）交叉梯度源。

若圖8所示的2個(gè)梯度變化區(qū)域相交時(shí)，該相交區(qū)域的材料組成利用相交算子“?”根據(jù)用戶定義的權(quán)重比進(jìn)行求和。

式中：k1、k2分別為不同梯度源的權(quán)重比；F1、F2分別為不同梯度源的材料分布函數(shù)。

式(4)表明，通過(guò)控制梯度源的權(quán)重比即可實(shí)現(xiàn)對(duì)不同交叉梯度源的控制。對(duì)于具有更為復(fù)雜材料分布的功能梯度材料模型，其可能含有2個(gè)以上的交叉梯度源。當(dāng)存在多個(gè)交叉梯度源時(shí)，相交區(qū)域的材料組成可用式(5)計(jì)算：

式中：m為梯度源個(gè)數(shù)。

與單梯度源功能梯度材料模型一樣，多梯度源功能梯度材料模型中各個(gè)材料在空間某一點(diǎn)處的體積分?jǐn)?shù)之和也等于1，即：

式中：Fti為第t個(gè)梯度源中第i種材料的材料分布函數(shù)。

2.2 材料空間到幾何空間的映射

根據(jù)已建立的材料空間，確定從材料空間映射到幾何空間的映射函數(shù)。在大部分情況下，幾何空間與材料空間的坐標(biāo)系不重合，導(dǎo)致空間映射無(wú)法進(jìn)行。因此，實(shí)現(xiàn)2個(gè)空間坐標(biāo)系的重合為實(shí)現(xiàn)幾何信息和材料信息有效結(jié)合的關(guān)鍵，即需要找到一個(gè)映射矩陣以實(shí)現(xiàn)材料空間到幾何空間的映射。利用坐標(biāo)變換法，即通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、投影等一系列坐標(biāo)變換可實(shí)現(xiàn)材料空間與幾何空間的坐標(biāo)系重合。本文以平移變換和旋轉(zhuǎn)變換為例，說(shuō)明材料空間到幾何空間的映射流程。平移變換和旋轉(zhuǎn)變換可分別表示為：

式中：tx、ty、tz為3個(gè)方向的平移距離；θ為旋轉(zhuǎn)角度。

圖9所示為基于坐標(biāo)平移變換的材料空間到幾何空間的映射流程（以球形材料空間映射到正方體幾何空間為例）。

圖9 基于坐標(biāo)平移變換的材料空間到幾何空間的映射流程Fig.9 Mapping process from material space to geometric space based on coordinate translation transformation

圖9所示材料空間中的材料分布函數(shù)可表示為：

鑒于只需平移即可將材料空間映射到幾何空間，根據(jù)F′(x,y,z)=ΦF(x,y,z)，可得映射后的材料分布函數(shù)F′(x,y,z)：

由此可得，最終功能梯度材料模型的材料分布函數(shù)為：

圖10所示為基于坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換的材料空間到幾何空間的映射流程（以橫向圓柱形材料空間映射到縱向圓柱形幾何空間為例）。

圖10 基于坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換的材料空間到幾何空間的映射流程Fig.10 Mapping process from material space to geometric space based on coordinate rotation transformation

圖10所示材料空間中的材料分布函數(shù)可表示為：

式中：H為圓柱的高度。

鑒于圖10所示是將材料空間沿x軸旋轉(zhuǎn)θ=90°后映射到幾何空間，則可得：

由此可得，最終功能梯度材料模型的材料分布函數(shù)為：

其中：

式中：r1為圓柱的底面半徑。

3 實(shí)例建模及OpenGL可視化分析

根據(jù)上述基于坐標(biāo)變換的功能梯度材料空間映射建模方法，在Visual Studio 2019軟件與OpenGL編程語(yǔ)言下，分別對(duì)單梯度源和多梯度源功能梯度材料進(jìn)行建模。

3.1 基于單梯度源的實(shí)例建模

基于圖9所示的坐標(biāo)變換方法，對(duì)尺寸為100 mm×100 mm×100 mm的正方體功能梯度材料模型進(jìn)行實(shí)例建模。利用式(7)和式(9)計(jì)算得到加入材料信息后功能梯度材料模型的材料分布函數(shù)。同時(shí)，通過(guò)OpenGL可視化分析顯示最終的功能梯度材料模型，如圖11所示。在OpenGL程序中，用R（紅）、G（綠）、B（藍(lán)）表示不同的材料。

圖11 單梯度源正方體功能梯度材料模型的可視化結(jié)果Fig.11 Visualization results of cube functionally graded material model with single gradient source

3.2 基于多梯度源的實(shí)例建模

錐齒輪可以傳遞2個(gè)不平行軸之間的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力，具有傳動(dòng)效率高、傳動(dòng)比準(zhǔn)確和使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際生產(chǎn)中被廣泛應(yīng)用。但在一些特殊場(chǎng)合下，錐齒輪各個(gè)位置的磨損有所不同，則要求其不同位置處材料的硬度應(yīng)有所區(qū)別，為典型的多梯度源。下文將針對(duì)未加工齒的功能梯度材料錐齒輪毛坯件進(jìn)行建模分析。

假設(shè)錐齒輪毛坯件內(nèi)部有2種材料變化規(guī)律，如圖12所示，其中一種是從軸線到外表面的徑向梯度變化，另一種是從底面到頂面的軸向梯度變化，可分別建立2個(gè)梯度源G1和G2。

圖12 錐齒輪毛坯件的材料空間分解示意Fig.12 Material space decomposition of bevel gear blank

圖12(b)所示的梯度源G1的分配數(shù)據(jù)如下：

1）材料梯度變化方式為沿圓柱中心軸向外擴(kuò)散；

2）參考特征為圓柱中心軸；

4）權(quán)重比k1=0.5。

圖12(c)所示的梯度源G2的分配數(shù)據(jù)如下：

1）材料梯度變化方式為沿圓柱底面向上擴(kuò)散；

2）參考特征為圓柱底面；

4）權(quán)重比k2=0.5。

鑒于梯度源G1和梯度源G2為交叉梯度源，根據(jù)權(quán)重比k1和k2，利用相交算子“?”對(duì)2種不同的梯度源進(jìn)行求和，最終得到的材料分布函數(shù)為：

由此得到的功能梯度材料模型具有如圖12(a)所示的2個(gè)方向的材料分級(jí)。對(duì)于未加工齒的功能梯度材料錐齒輪毛坯件（大端圓的直徑為100 mm），其材料空間到幾何空間的映射流程如圖13所示。

圖13 錐齒輪毛坯件材料空間到幾何空間的映射流程Fig.13 Mapping process from material space to geometric space of bevel gear blank

由圖13可知，要使兩坐標(biāo)系重合，需要進(jìn)行的坐標(biāo)變換如下：1）繞x軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；2）沿x軸平移50 mm；3）沿z軸平移50 mm。由此可得，最終錐齒輪毛坯件的材料分布函數(shù)為：

代入具體參數(shù)的數(shù)值并簡(jiǎn)化，可得：

由此可得，映射關(guān)系為：

通過(guò)OpenGL可視化分析可得多梯度源功能梯度材料錐齒輪毛坯件的模型，如圖14所示。

圖14 多梯度源功能梯度材料錐齒輪毛坯件模型的可視化結(jié)果Fig.14 Visualization results of functionally gradient material bevel gear blank model with multiple gradient sources

上述建模實(shí)例的結(jié)果表明，本文所提出的建模方法有助于避免某些不同材料組成連接處材料的急劇變化，因此可以抑制材料界面區(qū)域的嚴(yán)重應(yīng)力集中和熱失配。

在利用基于坐標(biāo)變換的功能梯度材料空間映射建模方法處理交叉梯度源模型時(shí)，可根據(jù)人為設(shè)定的權(quán)重比，較容易地實(shí)現(xiàn)對(duì)材料空間中材料信息的修改，且利用坐標(biāo)變換進(jìn)行映射可大大縮短建模時(shí)間。表1所示為本文坐標(biāo)變換算法與估值建模中普通體素化算法以及非估值建模中顯式函數(shù)算法的建模時(shí)間對(duì)比。

表1 坐標(biāo)變換算法與其他算法的建模時(shí)間對(duì)比Table 1 Comparison of modeling time between coordinate transformation algorithm and other algorithms單位：s

4 結(jié)論

針對(duì)功能梯度材料建模研究，提出了一種基于坐標(biāo)變換的功能梯度材料空間映射建模方法，即通過(guò)坐標(biāo)變換將幾何空間與材料空間有效結(jié)合起來(lái)，進(jìn)而建立所需的功能梯度材料模型。該方法較其他方法有如下優(yōu)點(diǎn)。

1）基于坐標(biāo)變換的功能梯度材料空間映射建模方法通過(guò)坐標(biāo)變換有效地結(jié)合了幾何信息與材料信息，可通過(guò)映射函數(shù)將材料分布映射至幾何模型，建立所需的功能梯度材料模型。同時(shí)，通過(guò)OpenGL可視化分析，利用RGB顏色顯現(xiàn)，可以清晰表示所建立的模型。

2）通過(guò)建模實(shí)例與建模時(shí)間比較可知，基于坐標(biāo)變換的功能梯度材料空間映射建模方法大大縮短了建模時(shí)間，從根本上解決了一些算法造成的儲(chǔ)存空間不足和建模過(guò)程繁瑣等問(wèn)題，使得功能梯度材料模型的設(shè)計(jì)變得直觀且具有靈活性。

然而，本文提出的基于坐標(biāo)變換的功能梯度材料空間映射建模方法還有一定的局限性。當(dāng)建立具有復(fù)雜幾何形狀或者具有多種材料分布的功能梯度材料模型時(shí)，表示幾何信息或者材料信息的解析函數(shù)也會(huì)變得非常復(fù)雜，使得某些部分的計(jì)算變得困難，而且通過(guò)非估值建模方法建立的模型在進(jìn)行材料查詢(xún)時(shí)并不方便。今后有必要開(kāi)展材料分布函數(shù)簡(jiǎn)化研究，以簡(jiǎn)化具有多個(gè)材料分布的模型材料空間的坐標(biāo)變換過(guò)程，并優(yōu)化相應(yīng)程序，使得材料查詢(xún)更加方便。