超精密大行程麥克斯韋磁阻驅動器磁場建模與推力分析

張 旭，賴磊捷,2，朱利民

（1.上海工程技術大學機械與汽車工程學院，上海 201620；2.上海市大型構件智能制造機器人技術協同創新中心，上海 201620；3.上海交通大學機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

大行程超精密納米定位是指能夠在毫米級（≥1 mm）行程范圍內實現納米級（0.1～100 nm）分辨率或定位精度的一種技術[1-2]。目前廣泛使用的壓電驅動器具有納米級精度，但其行程一般只有幾十微米至幾百微米[3]。另一種常見的驅動器——音圈電機也存在推力密度低的缺點，難以實現高頻響快速跟蹤任務[4]。近年來，荷蘭埃因霍芬理工大學的Katalenic等和美國麻省理工學院的Lu等[5-6]先后研制了多種基于麥克斯韋力驅動的磁阻驅動器。區別于音圈電機的洛倫茲力驅動原理，麥克斯韋磁阻驅動器依靠磁阻最小原理產生變磁阻正應力，其大小與氣隙處磁感應強度的平方成正比，且其勵磁線圈集中繞制在定子上，故該類驅動器具有力密度大、慣量低、響應速度快、結構簡單以及熱負荷能力強等優點[7]。基于此，國內外學者如奧地利維也納技術大學的Ito等和南京理工大學的Zhu等[8-9]設計了多種基于麥克斯韋磁阻驅動器的納米定位平臺。

為了對磁阻微定位平臺進行精確的結構設計和控制，需要對超精密磁阻驅動器的磁場和推力進行準確建模和分析[10-14]。目前，采用磁路建模方法構建磁阻驅動器的等效磁路模型，并將其磁軛及氣隙中的磁通量消耗等效為磁阻，同時考慮漏磁對其性能的影響，即能有效建立描述磁阻驅動器推力的解析模型[15-17]。但將傳統磁路建模方法應用于毫米級大行程麥克斯韋磁阻驅動器時，由于渦流損耗和漏磁大幅增加、氣隙區磁場分布不均勻且非線性強烈，使得利用單平面磁通測量結果計算得到的漏磁系數無法準確地描述該磁阻驅動器的漏磁特性，從而導致難以準確地建立推力解析模型[18-20]。

針對上述問題，筆者提出采用考慮加權漏磁系數的磁路建模方法對大行程麥克斯韋磁阻驅動器進行磁場和推力建模。首先，建立磁阻驅動器考慮漏磁前后的工作磁路，分析永磁偏置磁路的作用以及使用永磁偏置結構后仍具有非線性的原因，并利用電磁學基本原理及磁場的可疊加性建立磁阻驅動器的推力解析模型。然后，構建磁阻驅動器的三維模型，并利用有限元仿真軟件進行三維磁場仿真分析，得到磁阻驅動器在永磁體及勵磁線圈單獨作用時的磁場分布情況及每個氣隙處的加權漏磁系數，以準確描述其漏磁的大小及空間分布。最后，通過在磁阻驅動器磁路中增加漏磁磁阻來減小漏磁的影響，得到考慮加權漏磁系數的推力解析模型，并通過實驗驗證不同位置處推力隨輸入電流的變化情況，以驗證解析模型的準確性。

1 大行程麥克斯韋磁阻驅動器的結構

圖1所示為大行程麥克斯韋磁阻驅動器的整體結構，其由2個對稱布置的驅動單元組成。該磁阻驅動器的定子由2組尺寸較大的C形磁軛、汝鐵硼（Nd-Fe-B）永磁體和4組勵磁線圈組成，其中永磁體提供偏置磁場，可改善磁阻驅動器的磁路，實現電磁驅動力的線性化；動子由與定子磁軛材料相同的2組硅鋼片金屬塊相連而成；磁軛外側安裝的鋁合金外殼可極大程度地減少磁軛周圍的漏磁，相比于氣隙（磁軛與動子之間部分，共4個氣隙，記為g1、g2、g3和g4）中的漏磁，該部分漏磁可以忽略不計。本文所設計的磁阻驅動器的結構尺寸如表1所示。

圖1 大行程麥克斯韋磁阻驅動器整體結構Fig.1 Overall structure of large stroke Maxwell reluctance actuator

表1 大行程麥克斯韋磁阻驅動器結構尺寸Table 1 Structure dimensions of large stroke Maxwell reluctance actuator

圖2所示為大行程麥克斯韋磁阻驅動器的永磁偏置原理（因結構對稱，僅顯示單個驅動單元）。令動子處于中間位置時為坐標系各軸的初始位置，對應動子位置x=0 mm，此時左右的初始氣隙寬度x0相等。由圖2可知，該磁阻驅動器單個驅動單元的磁場主要由兩部分組成：第1部分是由永磁體產生的偏置磁場；第2部分是施加電流I時勵磁線圈產生的勵磁磁場。由麥克斯韋力計算公式及磁場的可疊加性可知，當偏置磁場和勵磁磁場疊加作用時，動子左右兩側的磁感應強度出現差異，即動子受到差動的麥克斯韋力，可產生與輸入電流I呈良好線性關系的推力F。由此可見，推力F的大小與初始氣隙寬度直接相關，隨著初始氣隙寬度的不斷增大（本文取2.5 mm），氣隙中的漏磁及磁場分布不均勻的程度增加，導致磁阻驅動器的推力密度（電機常數）隨著初始氣隙寬度的增大而減小，且呈現較為嚴重的非線性。因此，為了實現大行程麥克斯韋磁阻驅動器的精確結構設計和控制，需要對其磁場和推力進行準確建模與分析。

圖2 大行程麥克斯韋磁阻驅動器的永磁偏置原理Fig.2 Permanent magnetic bias principle of large stroke Maxwell reluctance actuator

2 大行程麥克斯韋磁阻驅動器推力模型的建立

2.1 理想推力模型

為了得到不考慮漏磁的理想情況下大行程麥克斯韋磁阻驅動器的推力與氣隙中磁感應強度的函數關系并建立相應的解析模型，分別建立其單個驅動單元的理想偏置磁路和理想勵磁磁路，如圖3所示。圖3(a)中：Rpm為永磁體的磁阻；φp為流經永磁體磁阻Rpm的磁通；φpm為永磁體內部磁場強度等于0 T時所產生的總磁通；φ1為流入永磁體的總偏置磁通；φL、φ14和φR、φ11分別為流經左、右氣隙磁阻R1和R4的磁通，φL=φ14，φR=φ11。圖3(b)中：氣隙磁阻R1與R4串聯，故流經磁阻R1和R4的磁通φ21與φ24相等，且等于磁路中的總磁通φ2。

圖3 理想偏置磁路和理想勵磁磁路Fig.3 Ideal bias magnetic circuit and ideal excitation magnetic circuit

利用磁阻計算公式，可得氣隙g1、g2、g3和g4處的磁阻R1、R2、R3、R4，分別為：

式中：μ0為真空磁導率，μ0=4π×10-7N/A2；S為垂直于磁通方向的磁軛及動子的橫截面面積。

對于理想偏置磁路，利用電磁學理論計算可得：

式中：Br為永磁體剩磁；Lpm為永磁體高度。

聯立磁阻計算式(1)和式(2)，可得氣隙g1、g4中的磁感應強度B11和B14，分別為：

對于理想勵磁磁路，其總磁通φ2以及氣隙g1、g4中的磁感應強度B21和B24分別為：

式中：N為單個勵磁線圈匝數，本文取N=200；I為勵磁電流。

聯立式(3)和式(4)，可得在不考慮漏磁的理想情況下磁阻驅動器單個驅動單元的推力Fid：

綜上，在不考慮漏磁的理想情況下，整個大行程麥克斯韋磁阻驅動器的總推力Fia=2Fid。

2.2 考慮漏磁的推力模型

隨著大行程麥克斯韋磁阻驅動器磁軛與動子間初始氣隙寬度的增大，氣隙中磁場分布不均勻程度上升且非線性更加強烈，導致氣隙處的漏磁現象對磁阻驅動器推力的影響顯著增加。因此，對于大行程麥克斯韋磁阻驅動器，理想情況下的推力模型誤差較大，難以準確描述其推力F與輸入電流I之間的關系。為了使推力解析模型更加精確，必須考慮實際工作過程中由磁阻驅動器材料固有特性以及氣隙中磁場分布不均勻導致的漏磁現象。由麥克斯韋定律可知，由于漏磁通未穿過動子橫截面，因此無法參與麥克斯韋力的產生，減小了該磁阻驅動器的推力。為了清晰地描述偏置磁路和勵磁磁路中的漏磁情況，分別在2種磁路中加入漏磁磁阻，并對添加漏磁磁阻后的磁路進行進一步分析，以建立考慮漏磁的推力解析模型。

圖4所示分別為考慮漏磁的偏置磁路和勵磁磁路。圖中：RL11、RL14分別為氣隙g1、g4中的偏置漏磁磁阻，φL11、φL14為流經相應偏置漏磁磁阻的漏磁磁通；RL21、RL24分別為氣隙g1、g4中的勵磁漏磁磁阻，φL21、φL24為流經相應勵磁漏磁磁阻的漏磁磁通；其余參數與圖3同。定義偏置磁路中流入永磁體的磁通φ1與流入氣隙磁阻R1、R4的磁通φ11、φ14的比值為偏置漏磁系數k1j（j=1,4）；勵磁磁路中總磁通φ2與流入氣隙磁阻R1、R4的磁通φ21、φ24的比值為勵磁漏磁系數k2j（j=1,4）。則偏置漏磁系數k1j和勵磁漏磁系數k2j為：

圖4 考慮漏磁的偏置磁路和勵磁磁路Fig.4 Bias magnetic circuit and excitation magnetic circuit considering magnetic flux leakage

對于圖4(a)所示的考慮漏磁的偏置磁路，由電磁學理論可知，氣隙磁阻與漏磁磁阻并聯，且均與永磁體并聯，則氣隙g1和氣隙g4處磁動勢相等，可得：

聯立式(1)、式(2)、式(6)和式(7)，得到偏置磁路中氣隙g1、g4處的磁感應強度B11、B14：

對于圖4(b)所示的考慮漏磁的勵磁磁路，由安培環路定律和磁路的歐姆定律可知：

式中：i=1,4。

聯立式(1)和式(9)，可得：

由電磁學理論以及磁場的可疊加性可知，當考慮漏磁的偏置磁路與勵磁磁路同時作用時，氣隙g1、g4處的磁感應強度為：

聯立式(5)和式(11)，可得考慮漏磁的大行程麥克斯韋磁阻驅動器的推力Fa：

2.3 漏磁系數仿真計算

雖然上文所建立的考慮漏磁的推力解析模型可揭示大行程麥克斯韋磁阻驅動器采用永磁偏置磁路后仍具有非線性的原因，但在實際建模過程中，與動子位置x相關的漏磁系數kij（i=1,2;j=1,4）的值很難通過理論分析或實驗方法獲得。此外，隨著初始氣隙寬度x0的增大，基于單平面磁通的傳統漏磁系數計算方法的誤差較大，無法準確描述大行程麥克斯韋磁阻驅動器的漏磁情況。為了獲得更加準確的漏磁系數，提高推力解析模型的精確性，利用有限元仿真軟件ANSYS中的Maxwell 3D模塊對大行程麥克斯韋磁阻驅動器的三維磁場進行分析，以獲得與定子位置相關的漏磁系數，仿真所用的具體參數如表2所示。

表2 大行程麥克斯韋磁阻驅動器三維磁場仿真參數Table 2 Three-dimensional magnetic field simulation parameters of large stroke Maxwell reluctance actuator

圖5所示為大行程麥克斯韋磁阻驅動器動子位置x=0 mm時，其勵磁磁場和偏置磁場的磁感應強度分布情況。由圖5可知，對于偏置磁路，當動子處于初始位置時，磁軛及氣隙中的磁感應強度以永磁體為中心線對稱分布，此時氣隙g1、g4中的磁感應強度分布情況基本相同。對于勵磁磁場，當動子處于初始位置時，其分布規律與偏置磁場大致相同，磁通基本沿磁軛流動，且動子兩側氣隙中的磁感應強度相等。另外，從圖中還可以看出，鋁合金外殼的存在較好地抑制了磁軛周圍的漏磁現象。

圖5 偏置磁場和勵磁磁場的磁感應強度分布云圖Fig.5 Nephogram of magnetic induction intensity distribution of bias magnetic field and excitation magnetic field

進一步對勵磁磁場和偏置磁場疊加作用時大行程麥克斯韋磁阻驅動器的磁感應強度分布情況進行分析，結果如圖6所示。由于偏置磁場的磁感應強度在磁軛中呈對稱分布，當偏置磁場與勵磁磁場疊加后，磁軛及氣隙中一側的磁感應強度減弱，另一側的磁感應強度增強，使得動子兩側受到差動的麥克斯韋力。通過合理的參數配置，可從理論上消除該磁阻驅動器的非線性。然而，隨著磁阻驅動器運動范圍的增大，氣隙中漏磁現象的影響逐漸變大，導致其推力與輸入電流之間仍呈非線性關系。

圖6 勵磁磁場和偏置磁場疊加時的磁感應強度分布情況Fig.6 Magnetic induction intensity distribution with superposition of bias magnetic field and excitation magnetic field

此外，不同于常規麥克斯韋磁阻驅動器微米級的運動范圍，當初始氣隙寬度x0=2～3 mm時，直接使用傳統單平面磁通計算方法獲得的漏磁系數會影響大行程麥克斯韋磁阻驅動器推力解析模型的精度。因此，在大行程麥克斯韋磁阻驅動器建模過程中，需要對流經大氣隙中不同位置平面上的磁通進行加權處理，以提高漏磁系數對其漏磁分布的描述精度。

為了獲得加權漏磁系數，首先，分別令氣隙g4中動子的左側橫截面以及氣隙g1中磁軛的左側橫截面為中心平面，利用方差為0.5 mm的高斯曲線選取氣隙g4及g1中的磁通測量平面Si4,p和Si1,p(i=1,2;p=1,2,3,4,5)；然后，利用有限元仿真軟件中的后處理計算功能對永磁體橫截面Sp、磁軛橫截面Sc以及氣隙g4和g1中橫截面Si4,p和Si1,p(i=1,2;p=1,2,3,4,5)上的磁感應強度進行積分計算，得到流經相應橫截面的磁通φ1、φ2、φi4,p和φi1,p(i=1,2;p=1,2,3,4,5)?；跈M截面Si4,p和Si1,p(i=1,2;p=1,2,3,4,5)與中心平面之間的距離，計算高斯曲線中所對應的概率λi4,p和λi1,p(i=1,2;p=1,2,3,4,5)并將其作為權重來計算氣隙g4和g1中的加權磁通：

最終計算得到的大行程麥克斯韋磁阻驅動器偏置磁路及勵磁磁路中的磁通如圖7所示，圖中正負號代表磁通的流動方向。由圖7可知，在動子從x=-2.5 mm移動到x=2.5 mm的過程中，氣隙g4中的工作磁通逐漸減小，漏磁通逐漸增加，而氣隙g1中的工作磁通隨氣隙寬度的減小而逐漸增大。由此可知，在該磁阻驅動器的整個行程中，其磁通變化呈非線性，當行程小于0.5 mm時，加權磁通與由單平面測量方法求得的磁通基本保持一致，此時由加權計算方法和單平面測量方法求得的漏磁系數并無明顯區別。隨著磁阻驅動器行程變大，當動子位置x=2～2.5 mm時，氣隙中的磁通變化劇烈，此時加權漏磁磁通與加權勵磁磁通均與由單平面測量方法求得的磁通有較大差異，且均小于由單平面測量方法求得的磁通。

圖7 偏置磁路和勵磁磁路中的磁通Fig.7 Magnetic flux in bias magnetic circuit and excitation magnetic circuit

聯立式(6)和式(13)，計算得到偏置磁路和勵磁磁路中的加權漏磁系數，如圖8所示。由圖8(a)可知，由于偏置磁路中僅有永磁體作為磁力源，磁路對稱，當動子由x=-2.5 mm運動至x=2.5 mm時，氣隙g1中磁通的變化情況與反向運動時氣隙g4中磁通的變化情況保持一致。因此，加權漏磁系數在整個行程范圍內對稱，且大于由單平面測量方法求得的漏磁系數。對于勵磁磁路，當勵磁線圈中勵磁電流方向變化時，磁軛中的磁通方向隨之變化；當動子距離初始位置較遠時，該磁路中磁通的變化趨勢逐漸平緩。由圖8(b)可知，在該磁阻驅動器的整個行程內，由加權計算方法得到的磁通均大于由單平面測量方法求得的磁通。

圖8 偏置磁路和勵磁磁路中的漏磁系數Fig.8 Magnetic flux leakage coefficient in bias magnetic circuit and excitation magnetic circuit

綜上所述，考慮加權漏磁系數的大行程麥克斯韋磁阻驅動器的推力解析模型為：

3 大行程麥克斯韋磁阻驅動器推力解析模型仿真與實驗驗證

為驗證所構建的考慮加權漏磁系數的大行程麥克斯韋磁阻驅動器推力解析模型的準確性，利用有限元仿真軟件ANSYS中的Maxwell 3D模塊開展仿真分析并進行對比。在有限元仿真軟件中，基于大行程麥克斯韋磁阻驅動器三維模型，按照表2進行仿真參數設置，求解當動子位置x=-1.5，-0.3，0.8，1.5，1.9 mm時，輸入電流I在2 s內從0A上升至2 A所產生的推力Ffea，解析模型計算結果與有限元仿真結果的對比以及兩者的均方根誤差如圖9及圖10所示。

圖9 優化前后解析模型計算推力與仿真推力的對比Fig.9 Comparison between calculated thrust of analytical model before and after optimization and simulated thrust

圖10 優化前后解析模型計算推力與仿真推力的均方根誤差Fig.10 Root mean square error between calculated thrust of analytical model before and after optimization and simulated thrust

由圖9和圖10可知，大行程麥克斯韋磁阻驅動器推力的解析計算結果與仿真結果基本一致，且推力與輸入電流保持較好的線性關系；優化后解析模型的計算結果與仿真結果的均方根誤差小于2.5 N，僅為最大推力的3.5%，且隨著動子與中心位置之間距離的增大，解析計算結果與仿真結果之間的誤差逐漸增大。即：當動子距離初始位置較遠時，該磁阻驅動器氣隙中的漏磁現象對推力的影響更為明顯。由圖9和圖10還可以看出，優化后解析模型計算推力小于優化前的，且與仿真結果的均方根誤差更小，可以更好地描述該磁阻驅動器動子處于不同位置時推力與輸入電流的關系。

為了測量大行程麥克斯韋磁阻驅動器的實際推力和進一步驗證解析模型的準確性，搭建了基于LabVIEW的推力測試系統，如圖11所示。其中CH808線性放大器將PCI-6221數據采集卡的輸出電壓（-10～10 V）線性轉換為磁阻驅動器的輸入電流（-8～8A）；推力由MZLG力傳感器（量程為±50 kg）測量，并通過變送器實現-10～10 V的模擬量輸出，并由數據采集卡進行實時采集。

圖11 大行程麥克斯韋磁阻驅動器推力測試系統Fig.11 Thrust test system of large stroke Maxwell reluctance actuator

在推力測試實驗中，輸入電流I、動子位置x均與仿真時設定一致，并利用力傳感器對動子位置x=-1.5，-0.3，0.8，1.5，1.9 mm時大行程麥克斯韋磁阻驅動器的推力進行測量，優化前后解析模型計算推力與實測推力的對比如圖12所示。

圖12 優化前后解析模型計算推力與實測推力的對比Fig.12 Comparison between calculated thrust of analytical model before and after optimization and measured thrust

為了驗證優化前后解析模型的精度，基于優化前后解析模型計算推力和實測推力計算均方根誤差，結果如圖13所示。由圖13可知，對于大行程麥克斯韋磁阻驅動器，優化前解析模型計算推力與實測推力的均方根誤差在大部分情況下均大于1.7 N，優化后解析模型計算推力與實測推力的均方根誤差明顯下降，均小于0.6 N。由此可見，加權漏磁系數的使用，有效地提高了推力解析模型的精度。

圖13 優化前后解析模型計算推力與實測推力的均方根誤差Fig.13 Root mean square error between calculated thrust of analytical model before and after optimization and measured thrust

4 結論

本文利用考慮綜合高斯函數的加權漏磁系數的磁路建模方法，改進了大行程麥克斯韋磁阻驅動器漏磁系數的計算方式，得到了可準確描述其推力與輸入電流函數關系的解析模型。首先，對大行程麥克斯韋磁阻驅動器的理想磁路進行了分析并與考慮漏磁的磁路進行對比，探究了漏磁現象對推力的影響，驗證了建模時考慮漏磁的必要性。然后，通過對大行程麥克斯韋磁阻驅動器三維磁場的仿真，得到了其偏置磁場和勵磁磁場單獨作用時的磁場分布以及漏磁情況，并通過計算得到了基于高斯曲線的加權漏磁系數。最后，搭建了大行程麥克斯韋磁阻驅動器的推力測試系統，并將仿真推力和實測推力與優化前后解析模型計算推力進行了對比。結果表明，優化后解析模型計算推力與實測推力之間的均方根誤差僅為優化前解析模型的11.1%，且與實測推力的均方根誤差小于0.6 N，有效提升了解析模型的精度。