把握本質 類比關聯 生成路徑
——以蘇科版數學七（下）“不等式的基本性質”教學為例

■佘丹王平

推理能力一直以來都是數學教育的重點關注對象。從推理類型來看，初中推理有幾何推理和代數推理。幾何推理以圖形為載體，形象直觀；代數推理側重數和式的變形和轉換，相對比較抽象，是學生數學思維向更高層次發展的必備能力?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》指出：要關注基于代數的邏輯推理，讓學生在邏輯論證的過程中，逐漸形成推理能力，培養科學精神。因此，教師在初中數學教學過程中，有必要進行點面結合、系統推進，逐步滲透代數推理。下面，本教學案例立足于代數內容的自身特點，把握代數推理的本質，類比幾何推理的思維方式，在發展學生代數推理能力的路徑與策略上做出了一些探索，現與讀者分享。

一、教學過程

1.類比探究

師：生活中除了有相等關系，還有許多的不等關系。從相等關系中我們抽象出了等式的概念，從不等關系中我們抽象出了不等式的概念。那么，等式有等式的性質，不等式有哪些性質呢？

師追問1：我們先回顧一下，等式有哪些性質？它的符號語言是什么？

師追問2：類比等式的基本性質，你覺得不等式的基本性質可能是什么？

師追問3：這些都是大家的猜想，請舉例來證明。

［設計意圖］在學生回顧等式的基本性質的符號語言時，教師從命題的角度引出用“條件……，結論……”的形式，幫助學生明確性質中的條件和結論，為不等式的基本性質的條件和結論作鋪墊。類比等式的基本性質，猜想不等式的基本性質，這樣的類比猜想是對知識的遷移與拓展，是研究新問題的重要思想方法。

師：通過剛才的探索，我們發現了不等式有兩個性質。你能嘗試著用自己的語言去歸納這兩個性質嗎？

師追問4：我們類比等式的基本性質，猜想得到了不等式的基本性質。那么，它們之間有什么相同點和不同點呢？

師追問5：同學們能用“條件……，結論……”的形式，寫出不等式的基本性質的符號語言嗎？

［設計意圖］學生在初步理解不等式的基本性質的基礎上，嘗試用自己的語言去歸納不等式的兩個性質，自主建構不等式基本性質的內容，再通過與等式的基本性質的對比，完善了對不等式基本性質的認識。學生用“條件……，結論……”的形式書寫不等式基本性質的符號語言，明確性質中的條件與結論，對后續演繹推理起到了奠基的作用。

2.簡單應用

練習1已知a＞b，用“＞”或“＜”填空。

（1）a+2b+2； （2）a-5b-5；

（3）4a4b； （4）-a-b。

練習2判斷下面題目的正確性。

（1）如果a＜b，那么a+2＜b+1；（2）如果a＜b，那么；（3）如果a＜b，那么ac＞bc；（4）如果a＞b，那么3+2a＞3+2b。

［設計意圖］練習1是對不等式基本性質的直接運用，有利于加深學生對不等式基本性質內涵的理解；練習2是對不等式基本性質中關鍵字眼的辨析，有利于加深學生對不等式基本性質外延的理解，其中以第（4）小題為著眼點，引導學生從熟悉的命題角度切入，要說明它是一個真命題，根據以往幾何學習的經驗，格式應為“∵a＞b，∴2a＞2b。（兩邊都乘2，不等號方向不變）∴3+2a＞3+2b。（兩邊都加上3，不等號方向不變）”，自然地得出代數推理的基本形式“因為……，所以……（依據）”。

3.例題探究

例1（1）請用不等式的基本性質說明a+3＞a+1；（2）請用不等式的基本性質說明a+3＞a。

例2已知a＞1，請用不等式的基本性質說明

［設計意圖］例1難度較大，教師可以以問題串的形式啟發學生思考“解決這個問題的困難在哪（沒有條件）？題目中隱含條件是什么？怎樣找到隱含條件？”，從而一步步解決問題，讓學生體會到代數推理是要有條件和結論的。對于例2，學生可以說出自己的思考過程，畫出思維框圖并利用思維框圖（如圖1）來分析問題，展現自己的思考路徑，找到思考問題的方向，培養和發展代數推理能力。

圖1

二、教學反思

1.重視符號語言

用數學符號表達事物性質、關系和規律，是學生初步形成抽象能力和推理能力的重要載體。本節課教材中沒有給出等式和不等式的基本性質的符號語言，只有文字表述。因此，本節課從一開始在寫等式的基本性質和不等式的基本性質符號語言時，教師就有意識地引導學生用“條件……，結論……”的形式書寫，并將“條件是什么，結論是什么”貫穿于整節課的教學之中，讓學生明確每個代數推理問題都應該是有條件和結論的?？v觀整節課，符號語言就像是一條暗線，將回顧、探索、性質、應用這四個教學板塊有機地串聯起來，為后續代數推理起到奠基的作用。

2.層層推進，掌握演繹推理表征

根據對《義務教育數學課程標準（2022年版）》的研讀，結合學生學情，“‘數與代數’課程中發展學生推理能力的教學研究”課題組集體研究確定了本節課的教學重點：一是探索不等式的基本性質，二是能運用不等式的基本性質進行兩步以內的推理。其中，運用不等式的基本性質進行兩步以內的演繹推理是本節課的重點，也是難點。為突破重難點，教師分三個層次推進：第一層次是一步推理，由填空題和判斷題的前三小題構成題組。在學生剛剛對不等式的基本性質有了初步認識后，教師設計一步推理有利于加深理解，為多步推理奠定基礎。第二層次是條件明確的兩步推理，由判斷題第（4）小題承載。學生除了要會判斷出該命題的真假，還要在教師的指導下學會用符號語言完整證明。由于其條件明確，加上教師之前所做的有關符號表達的準備工作充分，學生完成該推理并不困難。第三層次是蘊含隱藏條件的推理，由例1和例2承載。在解決問題時，學生出現了明顯的不適應，此時通過教師引導，學生逐步明確思考的方式方法，整個課堂被推向高潮。

3.繪制框圖實現思考路徑可視化

思維框圖是思維可視化的有效工具，它的結構很好地呈現了大腦自然思考問題時聯想到的相關知識，讓整個推理過程得到全面的考慮，讓學生能更清晰、準確地將相互關聯的知識聯系起來，找到解決問題的思路，提高解題能力。在分析例2時，學生畫出思維框圖，展示自己的思考路徑。從條件到結論、從結論到條件以及同時從條件和結論出發的“兩頭湊”都是思考問題的重要途徑，這些思考路徑必將在學生的腦海中留下深刻的印象。需要說明的是，教師在之前教授幾何中的演繹推理時，一直采用思維框圖的方式進行。因此，學生對于幾何中利用思維框圖分析問題、進行演繹推理已經非常熟練，看到這個思維框圖能自然地調出以往幾何學習的經驗，順利掌握思維框圖分析代數問題的方法，提高演繹推理能力。

重視符號語言、分層推進推理內容、強化推理表征、繪制思維框圖是教師在尋找發展學生代數推理能力的路徑與策略上做的積極探索。本節課可以作為一個典型的代數推理教學課例供讀者研究，也期待更多的教師進入這一領域進行深入研究，全面提高初中生代數推理能力。