欣賞數(shù)學之美 感悟理性精神
——以蘇科版數(shù)學七（下）“證明”教學為例

■吳思佳龔輝

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，學生要會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。目前初中數(shù)學教學以應試為目的的現(xiàn)象仍然存在，教與學的目標緊緊圍繞“解題”展開，基本不談“欣賞”二字。數(shù)學的美是多方面的，有外在的形式美，也有內(nèi)在的邏輯美、理性美等。在日常教學中，教師可以嘗試從理性美的視角深入挖掘教材，巧妙運用素材，通過不斷地引發(fā)學生思辨來引導學生欣賞數(shù)學的內(nèi)在邏輯美，從而提高學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生科學的理性精神。下面，筆者以蘇科版數(shù)學七（下）“證明”為例，談談如何引導學生欣賞數(shù)學之美，感悟理性精神。

一、學情、教材分析

七年級學生在學習本課之前，已初步了解線段、角、三角形等簡單圖形的一些性質(zhì)。由于大多數(shù)性質(zhì)是通過實驗、觀察、歸納得到的，學生會受直觀判斷的影響，認為合情推理猜測得來的結論是正確的，缺乏嚴謹?shù)臄?shù)學精神和科學的思維態(tài)度。本節(jié)課是引導學生由感性認識向理性分析發(fā)展的重要轉折點。教材內(nèi)容雖然不多，但它對于學生深刻地理解推理證明的必要性，發(fā)展推理意識，把握說理的基本方法、形成縝密的邏輯思維是非常重要的。

二、教學目標

知曉觀察、操作、實驗等是認識事物的有效手段，經(jīng)歷一些觀察、操作活動，并能對獲得的數(shù)學猜想進行驗證；體驗直觀判斷不一定正確，從而能嘗試從數(shù)學的角度運用已有的知識和方法尋求證據(jù)，給出證明，感受推理證明的必要性；感受數(shù)學思考的合理性和嚴密性，在猜想和證實數(shù)學結論的過程中，增強理性精神和推理意識。

三、教學重難點

重點：通過觀察、操作、實驗發(fā)現(xiàn)一些結論，并能通過不同的方式進行證明。難點：從數(shù)學角度運用所學知識和方法驗證結論，給出證明。

四、教學片段

1.創(chuàng)設情境

師：請同學們觀察下面幾個活動并思考。

（1）取一只空玻璃杯，斜放一根筷子，慢慢向杯中注水，觀察筷子發(fā)生了什么變化。

（2）你在生活中見過海市蜃樓嗎？

（3）圖1中，線段AB和CD長度相等嗎？

圖1

（4）圖2中，兩個陰影部分的圓一樣大嗎？

圖2

（5）觀察圖3，AB和CD是直線嗎？它們有什么特殊關系呢？

圖3

（6）圖4中有曲線嗎？請把圖5中編號相同的點用線段連接起來。

圖4

圖5

學生觀察并討論。

師：人們常說“耳聽為虛，眼見為實”，可“眼見”真的為“實”嗎？

生1：不一定。

師：剛才的例子告訴大家什么道理？生2：觀察得到的結論不一定可靠。

設計意圖：教師通過選取生活中的簡單數(shù)學問題，開展“量一量”“比一比”等數(shù)學實驗活動，激發(fā)學生強烈的思維沖突，提高學生的學習興趣，讓學生經(jīng)歷“眼見不一定為實”的過程，初步感受驗證的必要性。

2.動手實驗

活動1：奇妙的小道

師：如圖6，學校的一條長為am，寬為bm的長方形草坪中間有條1m寬的筆直小道，為了增加美感，現(xiàn)計劃改為寬恒為1m的彎曲小道（如圖7）。這兩條小道的面積相等嗎？

圖6

圖7

生3：圖7面積更大。因為彎了之后線變長，挖掉的面積會更多。

師：下結論要言之有理，你能驗證嗎？

生4：圖6中小道的面積是bm2，圖7中小道的面積卻不怎么好求。

師：那怎么求出圖7中小道的面積？請大家動手操作、研究一下。

生5：圖6中小路的面積是bm2，圖7中，可以把小道旁邊的兩部分平移到一起（一邊操作，一邊解釋），所以小道的面積是ab-（a-1）bm2。

師：回答得很棒！可以平移左右兩個不規(guī)則圖形，把它們拼成一個整體，化簡后兩個代數(shù)式是一樣的，都是bm2，由此證明兩條小路的面積是一樣的，這里體現(xiàn)了轉化的思想。

設計意圖：教師讓學生經(jīng)歷動手操作（平移）和計算的過程，運用數(shù)學說理的方法來解決生活中的問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學的價值，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識，增強學生學習的信心。這里用到了轉化的數(shù)學思想，這是本節(jié)課的一個意外收獲。

活動2：魔術的秘密

師：圖8是一張8×8的正方形紙片，把它剪成4塊，按圖9重新拼合。這4塊紙片恰好能拼成一個長為13，寬為5的長方形嗎？請大家用實驗手冊上的紙片驗證。

圖8

圖9

學生在教師的指導下拼圖。大多數(shù)學生認為能拼在一起，只有少數(shù)學生產(chǎn)生了質(zhì)疑。

生6：我覺得是不能拼成的，因為面積不一樣。圖8中的面積是64，圖9中的面積是65，面積增大了，不能拼在一起。

師：對。老師用幾何畫板演示一下（通過幾何畫板的演示和放大，學生看到圖9中間有一條縫隙）。至于中間為什么會有一道縫，等大家到了九年級就能用說理的方式說明了。

設計意圖：該活動給學生充分的時間和動手的機會，讓學生在“做數(shù)學”的過程中進一步提出問題并產(chǎn)生思考。教師借助幾何畫板的演示，讓學生的思維活動從直觀感知上升到思辨推理，體會到實驗操作得出的結論不一定正確，進一步感知了證明的必要性，培養(yǎng)了理性精神，同時也激發(fā)了探究新知的欲望。

3.計算猜想

活動3：探索代數(shù)式的值

師：已知代數(shù)式x2-2x+2，請回答下列問題。

（1）完成表1。

表1

（2）換幾個數(shù)再試試，大膽提出你的猜想。

結論1：代數(shù)式x2-2x+2的值都是偶數(shù)。

結論2：代數(shù)式x2-2x+2的值都是正數(shù)。

師：以上結論正確嗎？

生7：結論1不正確。當x=1時，代數(shù)式x2-2x+2的值為1。1是奇數(shù)，不是偶數(shù)。

師：所以，當說明一個結論不正確時，我們只要舉出反例即可。那結論2呢？

生8：結論2是正確的。我代入了好幾個x，發(fā)現(xiàn)結果都是正數(shù)。

師：你代入了幾個數(shù)？你能保證代入下一個后結果還是正的嗎？

生9：不能。

師：有限個數(shù)只能用來猜想。數(shù)學要“大膽猜想，小心求證”，你能說說這里的理由嗎？

生10：我們可以通過配方得到（x-1）2+1，所以結果都是大于或等于1的，自然都是正數(shù)了。

師：說得太棒了。

設計意圖：由特殊到一般是一種常見的解決數(shù)學問題的方法，但這并不能從根本上解決問題，所以學生就產(chǎn)生了如何證明的欲望。本題包含兩層意思：一是要說明一個結論正確，需要經(jīng)過嚴密的推理論證，特別是用字母表示變量時；二是要說明一個結論錯誤，只需要舉一個反例。學生在操作交流中提升對歸納猜想、合情推理的本質(zhì)認識，既獲得了數(shù)學知識，又掌握了數(shù)學經(jīng)驗，有助于發(fā)展勇于探索的創(chuàng)新精神。

活動4：數(shù)學史料

教師介紹費馬數(shù)和歐拉的故事（故事略）。

學生交流討論學習感想。

設計意圖：通過費馬數(shù)和歐拉的故事，再次說明只憑感覺或只靠對部分例子的研究來判斷一個數(shù)學結論是否正確是不夠的，合乎邏輯的推理證明是必要的。同時也用數(shù)學史提升學生對數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

五、教學反思

數(shù)學來源于生活。數(shù)學課不僅要再現(xiàn)生活數(shù)學的美麗圖景，還要帶領學生走進“數(shù)”的海洋。教師創(chuàng)設問題情境，引導學生進行深入細致的觀察分析，可以培養(yǎng)學生的觀察能力和直覺思維能力，同時，構建數(shù)學活動可以培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。在教學過程中，我們既要重視直觀教具的使用，還要盡可能地讓學生多參加實踐操作活動。動手剪、拼的過程是探索理性精神的引子，目的是讓學生自然而然地產(chǎn)生深入研究的欲望，感受數(shù)學的嚴謹美和應用美，弘揚數(shù)學美的文化價值。

這就要求教師在今后的教學中，學會用欣賞的眼光去審視數(shù)學知識，深入挖掘數(shù)學內(nèi)容中所蘊含的數(shù)學美，并運用巧妙的手段寓美于教，讓學生懷美而學，喚起學生的審美欲望，使學生在汲取知識的同時，體會數(shù)學獨特的美學價值，提高學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)自我反思和勇于探索的理性精神。