1950—1970年代中國數學家的哥德巴赫猜想研究

郭金海

哥德巴赫猜想是解析數論的中心問題之一，由德國數學家哥德巴赫（C. Goldbach， 1690—1764）于1742年在與大數學家歐拉（1707—1783）的通信中提出[1]。當時歐拉剛離開俄國圣彼得堡到了德國柏林，哥德巴赫是在俄國。此前的一段時間內歐拉和哥德巴赫是圣彼得堡科學院的同事和朋友。歐拉回信說他認為這個猜想是正確的，但他不能給出證明。由于歐拉的鼎鼎大名，此后哥德巴赫猜想引起不少數學家的關注和興趣，盡管如此，直至1920年代才有了一些好的結果。1950年代中期之后，我國數學家王元、潘承洞相繼對哥德巴赫猜想的研究取得突破性進展。1966年陳景潤做出了更卓越的貢獻，1973年發表達到頂峰的論文，獲得國際數學界的高度評價。

哥德巴赫猜想是關于正整數和素數之間關系的兩個推測，其表述如下：（A）每一個不小于6的偶數都是2個奇素數之和；（B）每一個不小于9的奇數都是3個奇素數之和。猜想（A）被稱為關于偶數的哥德巴赫猜想；猜想（B）被稱為關于奇數的哥德巴赫猜想。證明（A）的正確性即可推出（B）亦是正確的[1]。

至19世紀末，許多數學家對哥德巴赫猜想進行了研究，但大都是對該猜想進行數值的驗證，提出一些簡單的關系或一些新的推測，并未得到任何實質性的結果和提出有效的研究方法。1900年，德國大數學家希爾伯特在巴黎召開的第二屆國際數學家大會上，提出了23個他認為最重要的沒有解決的數學問題，作為數學研究的主要方向。哥德巴赫猜想是其提出的第8個問題的一部分。然而，此后20年關于哥德巴赫猜想的研究并未取得顯著的進展。1921年英國數學家哈代（G. H. Hardy， 1877—1947）在哥本哈根數學會的一次演講中仍認為，哥德巴赫猜想是沒有解決的數學問題中最困難的一個[1]。

不過，由于圓法和篩法的出現，就在哈代演講后不久，關于哥德巴赫猜想的研究有了一些好的結果。圓法起源于1918年哈代和印度數學家拉馬努金（S. Ramanujan， 1887—1920）發表的關于研究組合分析中的漸近公式的論文。此后，哈代和李特爾伍德（J. E. Littlewood， 1885—1977）在一系列論文中發展了堆壘素數論中新的分析方法——圓法。1923—1924年，他們相繼發表兩篇論文專門討論哥德巴赫猜想。在1923年發表的論文中，他們證明了如果關于ζ函數零點的廣義黎曼猜想正確，那么每個充分大的奇數都可以表示成3個奇素數之和。1937年，蘇聯數學家維諾格拉多夫（И. М. Виноградов， 1891—1983）利用哈代和李特爾伍德的圓法，以其獨創的三角和估計方法無條件地證明了：存在常數B0，每個不小于B0的奇數皆可表示為3個奇素數之和，從而基本證明了哥德巴赫猜想（B）。這個結果通常被稱為哥德巴赫—維諾格拉多夫定理[1]。

篩法本是一種用來尋找素數的古老方法，由古希臘學者埃拉托塞尼（Eratosthenes）創造。1920年，挪威的布倫（V. Brun）對埃拉托塞尼篩法做了具有理論價值的改進，并用于研究哥德巴赫猜想（A），他證明了每個充分大的偶數可表為兩個各不超過9個素數的乘積之和，即（9， 9）。由此，開辟了利用篩法研究哥德巴赫猜想（A）及其他許多數論問題的極為廣闊且富有成果的新途徑[1]。

利用布倫篩法，1924年德國的拉德馬赫（H. Rademacher）證明了（7， 7）；1932年，英國的埃斯特曼（T. Estermann）證明了（6， 6），還證明了在廣義黎曼猜想之下，每一個充分大的偶數可表為一個素數和一個不超過6個素數的乘積之和，記為（1， 6）R；1937年，意大利的里奇（G. Ricci）證明了（5， 7）、（4， 9）、（3， 15）、（2， 366）；1938年，蘇聯的布赫夕塔布（А. А. Бухштаб）證明了（5， 5）[1]。1939年蘇聯的塔爾塔科夫斯基（В. А.Тартаковский）、1940年布赫夕塔布相繼利用布倫篩法都證明了（4， 4）[1]。1941年，庫恩（P. Kuhn）引進加權篩法，后來證明了（a， b），滿足a+b≤6 [1]。

1947～1950年，挪威裔美國數學家塞爾伯格（A. Selberg）發表3篇論文，對埃拉托塞尼篩法做了重大改進。他的篩法被稱為塞爾伯格篩法[1]。1948年，匈牙利的雷尼（A. Rényi）證明了N=a+b，其中N為大偶數，a的素因子個數為1，b的素因子個數不超過K，K為一絕對常數；其證明結果記為（1， K）。1965年，意大利的邦別里（E. Bombieri）又改進了篩法，給出著名的邦別里中值公式。該公式可以用來證明（1， 3）。與邦別里取得這項成果同年，布赫夕塔布得到了（1， 3）的結果[1]。

1950年代中期，中國數學家開始在哥德巴赫猜想的研究上嶄露頭角。首先是王元和潘承洞，他們在華羅庚的帶領下，均取得了當時領先的成果。

王元（1930—2021），浙江省蘭谿縣人，專長于數論及其應用。1952年，他畢業于浙江大學數學系，在陳建功和蘇步青推薦下，到中國科學院數學研究所工作。1953年冬，該所數論組成立，由所長華羅庚親自領導兩個討論班。一個是“數論導引”討論班，另一個是“哥德巴赫猜想”討論班。每周各進行一次，每次半天。這兩個討論班一直堅持到1956年。數論組成立后，王元即被分配到該組，在華羅庚指導下研究解析數論，并參加這兩個討論班。

“哥德巴赫猜想”討論班由一個人主講，華羅庚等則不停地提問題，務必使得每一點都完全弄清楚為止。華羅庚的這種打破砂鍋問到底的做法，常常使主講人講不下去，長時間站在講臺上思考。這使討論班進展得很慢，但參加者受益很大，王元自不例外。而且他學習了討論班上要求研讀的夏皮羅（H. N. Shapiro）和瓦爾加（J. Warga）的論文后，對篩法產生很大的興趣。

1 9 5 4年，波蘭數學家庫拉托夫斯基（K. Kuratowski）到北京訪問，帶給華羅庚一些波蘭數學家的論文單印本，其中有謝爾賓斯基（W. Sierpinski）和辛哲爾（A. Schingel）關于函數論的論文。華羅庚與王元研究了這些論文后發現，用布倫方法可能得到更強的結果。當天晚上，王元就將布倫篩法用于歐拉函數，改進了他們的結果。此后，華羅庚要求王元想辦法改進（4， 4）。于是，王元就致力于篩法與哥德巴赫猜想的研究，認真鉆研了布赫夕塔布的論文。

在華羅庚的幫助下，王元于1955年將哥德巴赫猜想的研究結果改進為（3， 4）。1956年，王元的這一研究成果即論文《表大偶數為一個不超過三個素數的乘積及一個不超過四個素數的乘積之和》于《數學學報》發表。在該文中，他結合塞爾伯格篩法和布倫篩法，證明了如下兩個定理：（定理1）每一充分大的偶數可表為一個不超過3個素數的乘積及一個不超過4個素數的乘積之和；（定理2）存在無限多個整數n，n為不超過3個素數的乘積，而n+2為不超過4個素數的乘積[2]。王元還用二維篩法，證明在廣義黎曼猜想之下，每一個充分大的偶數可表為一個素數和一個不超過4個素數的乘積之和，簡記為（1， 4）R。這一成果亦于1956年發表于《數學學報》[3]。這兩篇論文的發表標志著中國學者首次在哥德巴赫猜想研究方面取得帶有前沿突破性的進展。

1957年，王元又于《科學記錄》發表論文《表大偶數為兩個殆素數①之和》，將其1955年的結果（3， 4）改進為（3， 3）和（a， b），a+b≤5。他還進一步運用布赫夕塔布的方法和較為復雜的數值計算，證明了（2， 3）[4]。這又將哥德巴赫猜想的研究結果改進一步。

在該文中，王元是通過引入3個引理，證明如下基本定理，得出（2， 3）的結果的：

1960年，王元于《數學學報》發表論文《表整數為素數及殆素數之和（條件結果）》，從進一步改進篩法著手，證明了在廣義黎曼猜想之下，每一個充分大的偶數都是一個素數與一個不超過3個素數的乘積之和，簡記為（1， 3）R [5]。1962年，王元又將此文修訂為《表大整數為素數及殆素數之和》，用英文發表于《中國科學》（Scientia Sinica），在該文附錄證明了：每一充分大的偶數都是一個素數及一個不超過4個素數的乘積之和，即（1， 4）[6]，從而哥德巴赫猜想的研究結果再次被改進。

潘承洞（1934—1997），生于江蘇省蘇州市，專長于解析數論。1952年考入北京大學數學力學系。1956年畢業后留該系工作，次年成為閔嗣鶴的研究生。在閔嗣鶴指導下，潘承洞步入解析數論這一領域。他還曾參加華羅庚在中國科學院數學研究所領導的“哥德巴赫猜想”討論班，并與陳景潤、王元等一起討論，互相學習和啟發。1961年起在山東大學數學系任教。

隨后，潘承洞深入研究了哥德巴赫猜想，并于 1961年取得關鍵性進展。他證明了任意充分大的偶數N可表成p+P，其中p為素數，P為一個不超過5個素因子乘積的殆素數。由此，他關于哥德巴赫猜想的研究得到（1， 5）的結果。1962年，該成果題為《表偶數為素數及殆素數之和》，發表于《數學學報》和《中國科學》 [7，8]。不僅如此，1962—1963年他并利用較簡單的篩法證明了充分大的偶數必可表成一個素數及一個不超過4個素數的乘積之和，即（1， 4）；成果題為《表偶數為素數及一個不超過四個素數的乘積之和》，相繼發表于《數學學報》和《中國科學》 [9，10]。當時該結果在國際上處于領先水平。

陳景潤（1933—1996），生于福建省福州市，專長于解析數論。1949年考入廈門大學數學系，1953年畢業后任教于北京市第四中學，但因對教師這一工作很不適應而被辭退。1955年，廈門大學校長王亞南將其調回該校任教。由于華羅庚的賞識與推薦，他于1957年被調到中國科學院數學研究所任實習研究員。在數學研究所，陳景潤的研究工作進展很快。他從研究三角和的估計及其應用入手，對圓內整點問題、除數問題、球內整點問題和華林問題等著名難題均做了重要改進。從1960年代中期開始，他轉入篩法及其應用的研究。

1966年，陳景潤對哥德巴赫猜想的研究做出突破性進展。該年，他于中國科學院《科學通報》發表論文《大偶數表為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》，給出（1， 2）證明的提要。在該文中，他巧妙地引入3個引理：

然而，當時陳景潤未給出詳細的證明，該成果沒有得到國際數學界的承認。隨后的7年中，沒有其他數學家給出（1， 2）的證明。1973年，陳景潤在《中國科學》上發表了（1， 2）的詳細證明。他在方法上提出并實現了一種新的加權篩法[12]。該文發表后旋即在國際數學界引起強烈反響，被公認為是一個十分杰出的成果，是對哥德巴赫猜想的重大貢獻和篩法理論的卓越運用。不僅如此，他的研究結果被國際數學界稱為陳景潤定理[1]，迄今為止仍是關于哥德巴赫猜想的最佳結果。

哥德巴赫猜想是世界性難題。1950年代中后期至1970年代，王元、潘承洞和陳景潤在這個猜想上相繼取得居于世界領先水平的成果，這是中國數學家在解析數論領域的杰出成就，也是1949年中華人民共和國成立以來的重大數學成就之一。華羅庚對哥德巴赫猜想研究起到重要的推動作用，閔嗣鶴從中扮演了積極角色。

在中國數學家對哥德巴赫猜想的研究中，王元最早取得世界領先的成果，其工作對潘承洞和陳景潤起到了引領和示范作用。1965年，布赫夕塔布超出中國數學家，得到了（1， 3）的結果，但這個紀錄其實只保持了一年，1966年陳景潤就得出（1， 2）的結果，并于1973年發表了用篩法對該成果的詳細證明。陳景潤最終攀上了最高峰，其研究成果最為重要，與哥德巴赫猜想最為接近，在國內外數學界影響最大。1978年，作家徐遲以陳景潤為主人公發表了引起轟動的報告文學《哥德巴赫猜想》。這使陳景潤成為家喻戶曉的人物，對哥德巴赫猜想的繼續研究和當時中國廣大青年學子追求科學起到推動作用。1982年，王元、潘承洞和陳景潤的研究成果集為“哥德巴赫猜想研究”，獲國家自然科學獎一等獎。他們獲得的這項崇高的學術榮譽，亦對他們的數學研究生涯產生了重要影響。

陳景潤、潘承洞、王元相繼于1996年、1997年、2021年逝世。王元先生提倡研究中國近現代數學史，對筆者進行過指導和幫助。謹以此文紀念這三位對哥德巴赫猜想做出重要貢獻的杰出數學家。

① 殆素數是素因子個數不超過某一確定限的整數。

[1]潘承洞， 潘承彪. 哥德巴赫猜想. 北京： 科學出版社， 1981： 1-15.

[2]王元. 表大偶數為一個不超過三個素數的乘積及一個不超過四個素數的乘積之和. 數學學報， 1956， 6（3）： 500-513.

[3]王元. 表大偶數為一個素數及一個不超過四個素數的乘積之和——廣義Riemann猜測下之結果. 數學學報， 1956， 6（4）： 565-582.

[4]王元. 表大偶數為兩個殆素數之和. 科學記錄， 1957， 新輯1（5）： 15-18.

[5]王元. 表整數為素數及殆素數之和（條件結果）. 數學學報， 1960， 10（2）： 168-181.

[6]Wang Yuan. On the representation of large integer as a sum of a prime and an almost prime. Scientia Sinica， 1962， 11（8）： 1033-1054.

[7]潘承洞. 表偶數為素數及殆素數之和. 數學學報， 1962， 12（1）： 95-106.

[8]Пан Чэн-дун （潘承洞） . O представлении четных чиселв виде суммы простого и почти простого числа. Scientia Sinica， 1962， 11（7）： 873-888.

[9]潘承洞. 表偶數為素數及一個不超過四個素數的乘積之和. 山東大學學報， 1962， （2）： 40-62.

[10]Пан Чэн-Дун （潘承洞） . О представлении четныхчисел в виде суммы простого и непревосходящего 4простых проиэведения. Scientia Sinica， 1963， 12（4）： 455-473.

[11]陳景潤. 大偶數表為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和. 科學通報， 1966， 9： 385-386.

[12]陳景潤. 大偶數表為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和. 中國科學， 1973， 3（2）： 111-128.

關鍵詞：哥德巴赫猜想 素數 解析數論 中國數論學家 ■