基于反饋控制的多材料零件3D打印精度提升方法

秦敬偉，田仕釗，郭步超，張童

(1.華融普瑞(北京)科技有限公司，北京 100096；2.山西機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 長治 046000)

0 引言

3D打印技術(shù)[1]在各個(gè)領(lǐng)域都廣泛應(yīng)用，憑借其自身優(yōu)勢(shì)，多數(shù)商家均應(yīng)用此項(xiàng)技術(shù)快速且有效地制造相應(yīng)產(chǎn)品。隨著該技術(shù)越來越被用戶認(rèn)可，大部分企業(yè)擬通過3D打印技術(shù)將企業(yè)的數(shù)字化模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換[2]，可見該技術(shù)具有很好的發(fā)展前景。不僅如此，3D打印機(jī)還具有成本低以及空間占用小的特點(diǎn)。其優(yōu)點(diǎn)雖多，但精度較低，因此降低了其產(chǎn)品整體的性價(jià)比。為突顯出3D打印技術(shù)的性價(jià)比，需進(jìn)一步提升打印機(jī)的打印技術(shù)，因此多數(shù)研究人員展開3D打印精度提升的研究[3]。洪海春等[4]利用建筑成型技術(shù)構(gòu)建模型，定義出3D打印技術(shù)中的組裝精度以及控制精度的策略，最后得出控制產(chǎn)品的誤差方法，根據(jù)誤差分析出整體產(chǎn)品的校正角度，從而實(shí)現(xiàn)3D打印技術(shù)精度的提升。BROWN M L等[5]開發(fā)了一種3D打印復(fù)雜結(jié)構(gòu)的方法，將結(jié)構(gòu)拆分為帶有連接器的部分，分別打印每個(gè)部分，然后在打印后進(jìn)行結(jié)構(gòu)組裝。該方法具有諸如多色打印、框架優(yōu)化和縮減、打印時(shí)間縮減等優(yōu)點(diǎn)，并可用于繞過打印托盤尺寸限制。以上兩種方法沒有考慮到多材料零件的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)有所不同，導(dǎo)致無法精確提取零件打印誤差，同時(shí)延長了提取時(shí)間，存在打印精度低、打印效果差和校正所需時(shí)間長的問題。

為了解決上述方法中存在的問題，本文提出基于反饋控制的多材料零件3D打印精度提升方法。

1 基于反饋控制的位移平衡和位置跟蹤

通過研究發(fā)現(xiàn)，3D打印精度最主要的影響因素是機(jī)器噴口溫度以及位移等。現(xiàn)如今3D打印主要利用開環(huán)操控方法打印。為降低因開環(huán)操控所帶來的消極影響，可借用反饋控制算法[6-7]對(duì)多材料零件進(jìn)行處理。

1.1 3D打印的位移平衡控制

根據(jù)3D打印原理可知，多材料零件的實(shí)時(shí)位置變化公式為

Ji+1=NMbi+1+UMai+1+VMci+1+UE(bi+1+ci+1+ai+1)

(1)

式中：J代表多材料零件外荷載；M代表樣本數(shù)值結(jié)構(gòu)；N代表零件質(zhì)量；V代表零件阻尼；U代表零件恢復(fù)力；E代表多材料零件樣本；a代表零件位移；c代表速度；b代表零件加速度。

多材料零件的速度計(jì)算公式為

(2)

式中Δt代表零件積分時(shí)間間隔。

加速度的計(jì)算公式為

(3)

經(jīng)不斷推導(dǎo)和計(jì)算，生成全新的帶有混合體系的反饋控制零件運(yùn)動(dòng)方程，其表達(dá)式為

JEQ,i+1=UMai+1+LPDai+1+UE(bi+1+ci+1+ai+1)

(4)

其中參數(shù)LPD的計(jì)算表達(dá)式為

LPD=4NM/Δt2+2VM/Δt

(5)

由于反饋控制方法不能直接計(jì)算出零件位移，需要在反饋控制混合體系零件運(yùn)動(dòng)方程中添加等效外力進(jìn)行計(jì)算[8]，假設(shè)該等效外力為JEQ,i+1，其運(yùn)算表達(dá)式為

(6)

通過在式(4)中添加等效外力后，生成的方程解即為所需要的零件位移結(jié)果。

為保證零件位移的精度，在計(jì)算出零件位移結(jié)果后還需計(jì)算出混合體的平衡方程。在計(jì)算過程中已知參數(shù)LPD是固定值，因此可利用LPD檢驗(yàn)位移結(jié)果是否平衡，得出基于位移的混合體系平衡方程表達(dá)式為

(7)

通過不斷地計(jì)算和更新，得出滿足式(7)的位移結(jié)果即為所要控制的位移，以此保證位移平衡。

1.2 零件軌跡跟蹤預(yù)測(cè)

由于我國3D打印技術(shù)多利用開環(huán)進(jìn)行控制，在實(shí)際操作過程中由于零件之間摩擦等外界因素導(dǎo)致多材料零件運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)較大誤差，最終呈現(xiàn)的打印效果較差，因此須從根源解決問題，消除誤差。首先設(shè)置零件運(yùn)動(dòng)的每一步為一個(gè)單位，對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)后確定零件的位移、速度以及位置，從而預(yù)測(cè)出零件的運(yùn)動(dòng)軌跡[9]。

假設(shè)已知零件的理想運(yùn)動(dòng)位置，將其與實(shí)際零件運(yùn)動(dòng)位置進(jìn)行比較，得出零件的位置偏差方程式，其表達(dá)式為

(8)

式中：rx代表零件在x方向上的位移；Δo(rx)代表x方向上理想位置與實(shí)際位置的偏差；ry代表零件在y方向上的位移；Δo(ry)代表y方向上理想位置與實(shí)際位置的偏差；o*(qx)代表零件在x方向上的理想位置；o*(qy)代表零件在y方向上的理想位置；o(rx)代表零件在x方向上的實(shí)際位置；o(ry)代表零件在y方向上的實(shí)際位置。

利用機(jī)器原始理想速度以及零件的所有偏差得出零件的下一步期望速度，其計(jì)算表達(dá)式為

(9)

利用零件期望速度和實(shí)際速度得出零件的速度變化率，其運(yùn)算公式為

(10)

式中：Δ(rx+1)代表零件在x方向上的速度變化結(jié)果；Δ(ry+1)代表零件在y方向上的速度變化結(jié)果；v(rx)代表零件在x方向上的實(shí)際速度；v(ry)代表零件在y方向上的實(shí)際速度。

進(jìn)而可以得出零件在x方向上的實(shí)際運(yùn)行速度；當(dāng)|Δ(rx+1)|≤Δ*時(shí)，速度公式為

(11)

當(dāng)|Δ(rx+1)|>Δ*時(shí)，速度公式為

v(rx+1)=Δ*sgn[Δ(rx+1)]+v(rx)

(12)

同理，零件在y方向上的實(shí)際運(yùn)行速度計(jì)算公式如下：

(13)

式中：Δ*代表零件運(yùn)動(dòng)的最大變化速率；sgn代表符號(hào)函數(shù)。

根據(jù)零件的速度可預(yù)測(cè)出零件的運(yùn)動(dòng)軌跡。

2 3D打印的誤差修正

3D打印的精度提升實(shí)質(zhì)上就是對(duì)打印誤差的校正[10]。根據(jù)3D打印加工原理得出其中加工誤差計(jì)算公式，其表達(dá)式為

(14)

式中：Δm代表位移誤差極值；Δj代表實(shí)際產(chǎn)品的誤差極值。

根據(jù)分析可知，3D打印結(jié)果的誤差修正[11]就是對(duì)其結(jié)果進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和平移。當(dāng)結(jié)果符合最小二乘原則時(shí)，該結(jié)果就是最優(yōu)結(jié)果，即計(jì)算出理論結(jié)果中x和y方向上的平移向量以及旋轉(zhuǎn)角度的最優(yōu)值。

假設(shè)某點(diǎn)原始坐標(biāo)為(xi,yi)，經(jīng)過修正后的坐標(biāo)為(x′i,y′i)，其中(x′i,y′i)坐標(biāo)的計(jì)算公式為

(15)

式中：γ代表旋轉(zhuǎn)角度；lx代表x方向上的平移向量；ly代表y方向上的平移向量。

假設(shè)修正后的坐標(biāo)是多條線段的頂點(diǎn)坐標(biāo)，在最小二乘法的幫助下，通過所有偏差平方以及最小構(gòu)造進(jìn)行匹配得出目標(biāo)函數(shù)，其表達(dá)式為

(16)

式中H代表目標(biāo)函數(shù)。

根據(jù)不斷推導(dǎo)得出角度誤差的極值計(jì)算公式為

(17)

式中：Δx代表x軸上的誤差；Δy代表y軸上的誤差。

在式(15)的基礎(chǔ)上利用平移向量以及旋轉(zhuǎn)角度的最優(yōu)解得出空間內(nèi)的坐標(biāo)，即得到3D打印的整體輪廓[12]，最終對(duì)產(chǎn)品的各個(gè)曲線進(jìn)行擬合，確保擬合精度，也保證了各個(gè)線段以及曲線的連續(xù)性，進(jìn)而得出精度最高的3D打印結(jié)果，以此完成零件3D打印精度的提升。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證基于反饋控制的多材料零件3D打印精度提升方法的整體有效性，現(xiàn)對(duì)所提方法、文獻(xiàn)[4]方法和文獻(xiàn)[5]方法進(jìn)行打印精度、打印效果和校正所需時(shí)間的測(cè)試。

3.1 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

實(shí)驗(yàn)過程中，在VS2013與Open GL函數(shù)庫編程環(huán)境下，通過計(jì)算機(jī)建模軟件建模，再將建成的三維模型“分區(qū)”成逐層的截面，即切片，從而指導(dǎo)打印機(jī)逐層打印。設(shè)計(jì)軟件和打印機(jī)之間協(xié)作的標(biāo)準(zhǔn)文件格式是STL文件格式。一個(gè)STL文件使用三角面來近似模擬物體的表面。目標(biāo)打印效果如圖1所示。

圖1 目標(biāo)3D打印效果圖

設(shè)圖1所示的多材料零件是功能梯度實(shí)體，該實(shí)體是由多種原材料混合而成，則功能梯度實(shí)體零件任意一點(diǎn)材料最多由n種材料混合而成。多材料零件所有原材料體積總和為1，原材料總體積用V表示，則總的多材料三維零件體積計(jì)算方法可由式(18)表示。

(18)

式中：mi表示第i種原材料的體積比例；n表示材料種類數(shù)。

3.2 3D打印效果圖

在上述實(shí)驗(yàn)設(shè)置的基礎(chǔ)上，分別打印所提方法、文獻(xiàn)[4]方法和文獻(xiàn)[5]方法修正后的結(jié)果，將以上幾種結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，其結(jié)果如圖2所示。

圖2 3種方法經(jīng)過修正后的3D打印效果圖

根據(jù)結(jié)果可知，未經(jīng)過修正的打印結(jié)果中出現(xiàn)多處曲線和線段的誤差。在修正方法的幫助下，3種打印結(jié)果精度均得到提升。經(jīng)過所提方法修正后的打印效果與理想結(jié)果無差異，文獻(xiàn)[4]方法得出的打印效果雖強(qiáng)于文獻(xiàn)[5]方法，但比所提方法要差，文獻(xiàn)[5]方法的修正結(jié)果最差。因此證明所提方法的修正效果最好。

3.3 校正精度

打印結(jié)果另一個(gè)有效的評(píng)價(jià)指標(biāo)就是比較各方法間的標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差越小說明方法的精度越高，即精度提升效果最佳。現(xiàn)保證所提方法、文獻(xiàn)[4]方法以及文獻(xiàn)[5]方法的實(shí)驗(yàn)環(huán)境相同，比較3種方法的打印結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果如表1所示。

表1 不同方法的標(biāo)準(zhǔn)差 單位：%

根據(jù)表1可知，10組實(shí)驗(yàn)中標(biāo)準(zhǔn)差最小的均是所提方法，其余兩種方法的標(biāo)準(zhǔn)差均大于所提方法。因?yàn)樗岱椒ㄔ谶M(jìn)行精度提升前利用反饋控制對(duì)打印運(yùn)動(dòng)位移進(jìn)行控制，并預(yù)測(cè)出打印機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡，完成位置跟蹤，繼而提升誤差精度，從而加強(qiáng)校正精度，因此保證了所提方法的打印精度，并盡可能地降低標(biāo)準(zhǔn)差。

3.4 校正所需時(shí)間

在提升打印精度時(shí)，不僅需要保證校正精度，還需要保證校正效率，即盡可能地縮短校正時(shí)間。因此得出另一個(gè)驗(yàn)證打印精度提升優(yōu)劣的指標(biāo)，即在同一精度要求下，校正所需時(shí)間最短的即為最優(yōu)打印精度提升方法。

在同一實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，選取10組不同精度要求的實(shí)驗(yàn)樣本，利用3種方法進(jìn)行校正，得出校正所需時(shí)間最小的即為最優(yōu)精度提升方法。由圖3可知，在每組實(shí)驗(yàn)下所需時(shí)間最短的校正方法均是所提方法，其余兩種方法所需的校正時(shí)間均不同程度地高于所提方法，從而得出所提方法的校正效率最高。

圖3 3種方法的誤差校正時(shí)間

3.5 校正結(jié)果

現(xiàn)如今的3D打印結(jié)果均會(huì)存在誤差，為加強(qiáng)打印精度，可在實(shí)際操作過程中對(duì)誤差進(jìn)行校正。但實(shí)施過程中會(huì)因?yàn)楦鞣N不確定因素導(dǎo)致不能呈現(xiàn)與理想結(jié)果相同的校正效果，因此結(jié)果中均會(huì)存在較小誤差。為得出最接近理想結(jié)果的方法，即最優(yōu)精度提升方法，現(xiàn)在同一環(huán)境下利用3種方法對(duì)同一產(chǎn)品進(jìn)行打印，得出實(shí)際結(jié)果與理想結(jié)果之間的誤差，誤差越小則方法越優(yōu)。為了使最優(yōu)方法具有說服力，分別對(duì)3種方法的平均誤差以及最大誤差進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 3種方法的實(shí)際結(jié)果與理想結(jié)果的平均誤差

圖5 3種方法的實(shí)際結(jié)果與理想結(jié)果的最大誤差

分析圖4可知，在每組實(shí)驗(yàn)中，實(shí)際結(jié)果與理想結(jié)果的平均誤差最小的都是所提方法。從圖5可知，所提方法最大誤差僅僅在0.1 mm左右，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩種方法的最大誤差。

綜上所述，所提方法利用反饋控制提升了打印精度，有助于成型精度的提升。

4 結(jié)語

由于3D打印技術(shù)具有價(jià)格低廉、易操作和易推廣的優(yōu)點(diǎn)，因此該技術(shù)越來越普及，而如何最大程度地提高產(chǎn)品成型精度，以此彰顯產(chǎn)品性價(jià)比，是各個(gè)商家普遍重視的問題。在所有3D打印機(jī)中均具有原理性誤差以及加工誤差等，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)這種誤差是可治理的。本文提出基于反饋控制的多材料零件3D打印精度提升方法。該方法在反饋控制的作用下控制打印位移并預(yù)測(cè)其運(yùn)動(dòng)軌跡，再對(duì)打印誤差進(jìn)行校正，實(shí)現(xiàn)多材料零件3D打印精度提升，解決了打印精度低、打印效果差和校正所需時(shí)間長的問題，以此提高3D打印成型的幾何精度。