初中生“數學抽象”素養培養的實踐與思考

山東省淄博市高新技術產業開發區第一中學 劉 淼

數學學科核心素養是通過數學學習形成的、具有數學學科特性的必備品格和關鍵能力。其中，數學抽象素養是數學核心素養的“靈魂”，是數學教學的核心。下面筆者以4個教學片斷為例，說明初中數學教學中數學抽象素養的培養策略。

一、以數學核心概念形成根基

概念是思維的單元和細胞，重視概念教學，提升概念教學水平，其中最切實的是抓住數學核心概念形成的教學。選取學生熟悉的典型實例，提供豐富材料，讓學生形成完整的數學抽象過程，在概念形成的教學中學會數學抽象。

案例1 函數的概念課

（一）創設情境，初步形成概念

情境1：在旅途中偶遇某水庫，水庫的某處水深h（米）與蓄水量V（萬立方米），數據變化見表1。

表1

（1）在這個變化過程中，有幾個變量？

（2）這兩個量的數值是否發生變化？V的值隨h的值的變化而變化嗎？

（3）當水深h確定時，該水庫蓄水量V是否確定？唯一嗎？舉例說明。

（二）歸納本質，形成概念

本案例從“問題情境—抽象概括—解釋應用”的線索展開，通過一組類似問題的追問，將學生對函數概念的理解由“變化而變化”遞進至“確定而確定”，順勢歸納出概念。此后通過正反例的辨析從多角度理解概念。由此可見，本案例著力讓學生充分經歷函數概念的發生發展過程，使得學生逐漸將抽象的函數概念具體化、清晰化，由此順利達成學習目標。

二、以數學抽象概括能力形成為重點

培養數學抽象素養，在數學教學中適時進行由特殊到一般——數學模型化思維是一個有效的策略。由特殊到一般的數學抽象概括就是將“數學材料數學化，發現不同對象的共同特征”。這種抽象概括能力可以在知識的發生、發展過程的探究中形成。

案例2 探索勾股定理

問題1：在紙上作出若干個直角三角形，分別測量它們的三條邊，觀察三邊的平方之間有怎樣的關系？

問題2：如圖1①直角三角形三邊的平方分別是多少，它們滿足上面所猜想的關系嗎？你是如何計算的？圖1②呢？

問題3：對圖1③中的三角形是否還滿足這樣的關系？你又是如何計算的？

問題4：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，c，上面所猜想的數量關系還成立嗎？你能利用圖1④說明其正確性嗎？

圖1

本探究過程力圖讓學生通過對大量直角三角形的測量活動（問題1），歸納出a，b，c之間的關系式：a2+b2＝c2。基于測量的誤差學生可能還難以確認所猜想得到的平方關系，必然產生進一步驗證的必要性。因此借助網格紙通過“割補法”驗證了特殊的等腰直角三角形推廣到一般直角三角形時，結論的正確性（問題2），同時驗證了該關系式的適用范圍——直角三角形（問題3）。至此學生利用合情推理得出了相關結論。合情推理得到的結論必須通過演繹推理證明其正確性。當直角三角形兩直角邊的長度不再是整數時，跳出格點看圖，讓學生感受到勾股定理的一般性（問題4）。

教師在上述探究活動中注重培養學生由特殊到一般的數學抽象素養（從等腰三角形，到直角邊長為整數的直角三角形，到直角邊長為小數的直角三角形，進而到直角邊長為a，b，c的直角三角形）。讓學生在活動中不斷提升概括能力。

三、以數學知識的溫故知新為途徑

數學具有逐級抽象的特點，較高一級的抽象要依賴于較低一級的抽象。數學的這種逐級抽象性反映著數學的系統性。這種數學逐級抽象性的特點體現到數學學習過程中，就要重視數學知識的“溫故知新”。

案例3 二元一次方程組的解法

二元一次方程組的解法既是“通法”又是“未知化已知”的典型課例。教材從一道應用題出發，通過設元，列出方程組

由①得y＝x-2，然后由于方程組中相同的字母代表同一對象，所以方程②中的y也等于x-2，可以用x-2代替方程②中的y，得到一元一次方程，再引領學生解一元一次方程組。顯然上述解讀型的示范性教學沒有為新知的抽象創造必要的條件，不能較好地凸顯轉化思想的重要性，不利于學生體悟二元一次方程組的解法——代入消元法的真諦。因此在學習新知時，必要及時復習舊知，這即符合數學的發展規律，又符合學生認知的發展規律，既能加深對新知識的理解，又能從中領悟到數學抽象的層次性，不斷提高數學抽象能力。

四、以數學實驗活動為驅動

從數學的發展看，它本身也是充滿著觀察與猜想的探索活動。教師應充分挖掘向學生展現“做數學”的過程。通過引導學生觀察、動手操作、比較分析、猜想歸納，在“做數學”中學數學，獲得數學學習的體驗，并從中提升數學抽象能力。

案例4 三角形內角和定理

課前準備三角形紙片。

問題1：在小學我們已經知道任意一個三角形內角和等于180°。還記得當時我們是如何發現和驗證這一結論的？請利用手中的三角形紙片進行探究。

問題2：從拼圖上看，3個角組成了平角，就能說明3個內角的和一定是180°嗎？

問題3：我們撕下其中的兩個角移動到與第三個角湊成平角的位置，利用平角的定義，得出三角形內角和180°的結論。如果不撕下兩個角，你能通過作圖的方法達到移動這兩個角的效果嗎？（或者：如果不移動這兩個角，能否做出某些輔助的先，實現這種移動呢？）

問題4：若果只能撕下一個角，是否也能得到上面的結論？

問題5：根據學習過的基本事實和定理，你能用自己的語言說所這一結論的證明思路嗎？請嘗試用簡潔的語言寫出這一證明過程？

圖2 展示拼圖

本案例中五個問題以“為什么內角和180°→如何實現移動角的效果→如何進行證明”為主線步步深入，緊緊圍繞性質的發生、發展、形成進行設計。通過拼圖活動，啟發學生對直觀模型進行抽象提煉，對移紙片進行嚴格的數學描述，得到三角形內角和定理。搭建適切的、腳手架式的五個問題串，一步一步、環環相扣、由淺入深，在“最近發展區”讓學生處于“跳一跳”摘到“桃子”的狀態，促進學生在“做數學”中提升抽象思維能力。