關于高中數學建模教學的實踐

山東省鄒平市第一中學 李 猛

數學課程標準明確指出，建模能力是學生核心素養(yǎng)之一，借助建模教學能鍛煉學生創(chuàng)造性思維，最重要的是對所學知識形成深入理解，為更好地應用知識分析和解決問題奠定基礎，實現預期課程教學目標。

一、借助問題情境

情境教學是課堂教學常見方式，高中數學教師可運用問題情境開展建模教學，促使學生在探索、思考、提問、分析以及建模等一系列過程中高效解決問題，并對所學知識產生深入理解，鍛煉思維能力。學生思維在問題情境驅動下相對開放，他們在此過程中提出各種抽象復雜且創(chuàng)新性問題，這對數學教師綜合素養(yǎng)和知識技能等提出較高的要求。教師需要積極思考該如何引領學生學習，因此需要在為學生傳授知識和技能的同時不斷延伸自身知識儲備深度與廣度。

對此，教師可從以下方面借助問題情境開展建模教學。首先，借助問題情境導入新知。教師在數學建模教學中應為學生創(chuàng)設愉悅、和諧的課堂環(huán)境并積極鼓勵學生大膽想象和思考，使不同思維和意見觀點在良好課堂氛圍中發(fā)生碰撞并產生智慧火花，不斷提升學生思維層次。例如，在學習均值不等式定理相關知識時，教師設置以下問題：“某超市在中秋節(jié)開展促銷活動，為吸引客源，共涉及以下三種降價銷售方案：①首次打a折，第二次打b折銷售；②首次打b折銷售，第二次打a折銷售。③兩次銷售均打折，請問，上述三種打折銷售方案哪種最為劃算。”學生經思考和相互討論后得出以下解題要點：即對ab與大小進行比較。上述題目緊貼學生現實生活，教師為學生設置抽象概括且符合學生實際情況的問題情境，以生動形象方式為學生呈現生硬抽象的均值不等式定理。大部分高中數學應用題在解答中都需運用均值不等式，故而，創(chuàng)設緊貼生活的問題情境導入新知識能調動學生探究知識積極性，更能活躍學生數學思維。其次，挖掘純數學問題生活原型，不斷增強學生建模意識。現實生活生產蘊含大量數學問題，將數學知識和技能結合現實生活生產能增強學生靈活運用知識能力。例如，某制造廠今年一共生產近5萬噸產品，如果每年平均產量高于上一年10%，請問從今年起在幾年內能實現總產量30萬噸目標？教師在講解題目時要先指導學生分析前幾年產量，即今年為5萬噸，明年則是5+5×10%＝5×1.1，那么后年則為5×1.1+5×1.1×10%＝5×1.12，學生在觀察中歸納總金額公比q＝1.1后構建等比數列模型。雖然上述解答過程較為緩慢，然而能促使學生深入理解問題，提升建模能力。

二、借助信息技術

事實上，現實生活中涵蓋大量數學知識，學習數學知識目的之一也在于更好地解決實際問題，尤其會應用幾何圖形、函數、方程等知識，故而運用“互聯(lián)網+建模”能直接降低題目難度，提高解題效率。檢驗和完善解題模型是數學建模思想下重要思維環(huán)節(jié)之一，類似于常規(guī)學習總結與檢驗，有利于幫助學生充分把握自身在數學建模活動中出現的解題錯誤和認知不足，促使學生高效理解和掌握不同類型解題模型使用條件，并在歸納總結、反思、糾正等一系列活動中建立正確建模認識，為提升建模素養(yǎng)做好鋪墊。例如，在學習數列相關知識時，教師結合現實生活常見的銀行存款本息計算設計問題，需要學生結合真實銀行存款月利率與本息計算公式對某個周期內本息總和進行計算，在此過程中應用數列知識。教師在教學過程中運用信息技術為學生建立模型并基于此凸顯數列模型思想，促使學生運用等比數列求和規(guī)律分析和解決實際問題。與此同時，鼓勵學生獨立思考問題，再以小組形式相互討論分析，遇到疑惑之處可運用平板和互聯(lián)網中的學生端口發(fā)送給教師，隨即教師為學生實時答疑解惑，還可在學生小組討論時參與其中，提升學生學習效率。

三、借助小組合作

小組合作是課堂教學主要方式，能較好地體現學生主體作用，匯集多元思維，幫助學生深入理解所學知識，提升學習效率和質量。在建模教學中應用小組合作學習能增強學生發(fā)現問題、分析問題和解決問題能力，在合作中實現核心素養(yǎng)目標。

以“貨船進出港時間問題”教學為例，該知識點重點為引導學生觀察和詳細分析數據并在此基礎上建立三角函數模型，促使學生敢于想象和表達。表1為某港口在某季節(jié)每日時間與水深關系。

表1 時間與水深關系

問題①選取一個函數對該港口的水深與時間函數關系進行近似描述并給出整點水深近似數值。問題②若一條貨船吃水深度為4米，在安全規(guī)定下要求船底與洋底間距離具有1.5米安全間隙，請問該條船在何時才能駛入港口？在港口停留多少時間？問題③若某條船吃水深度為4米，設置1.5米的安全間隙，于2：00時卸貨，其中該船吃水速度以每小時0.3米速度不斷減少，請問該船在何時需停止卸貨并將船駛向深水域？

具體建模教學活動如下。（1）活動要求：將全體學生分為5個小組討論分析上述三個問題，每個小組選派一名學生上臺匯報討論成果并闡述心得體會。（2）觀察／分析以及模擬圖象。A小組：“我們認為該函數為具有周期性變化特征的函數。”D小組：“為何會產生此猜想？”B小組：“將時間和水深分別設為橫坐標與縱坐標并在直角坐標系中畫出散點圖，如圖1所示。”

圖1 時間與水深散點圖

教師：大家觀察散點圖后是否能繪制出對應函數圖像？F組：“該函數圖像為一條平移變換后形成的復合型三角函數圖象，如圖2所示。”教師：請闡述理由。F組：“運用平滑曲線連接后發(fā)現振幅與初相都發(fā)生不同程度變化。”教師：推理得很合理，如果想解決第一個問題需作出相應函數解析式。

圖2 時間與水深復合型三角函數圖形

（3）猜想驗證、推理論證以及建立模型。在此之前已順利作出三角函數模型圖象，隨即讓學生回憶之前所學三角函數模型并寫出。隨即有學生寫出：三角函數模式y(tǒng)＝A sin（ωx+φ）+h。教師：通過數據與圖象并在討論中計算該題目函數模型。由A組學生解析：從函數圖象和數據得知：A＝2.5，h＝5，T＝5，φ＝0，由得故而可運用表示港口水深y與時間x關系。建立函數模型目的在于解決問題，數學教師可鼓勵學生積極大膽猜想并運用數據對函數圖象進行模擬，在合作交流中有效推導、計算、驗證函數模型，以此強化學生邏輯推理能力。

四、結語

總之，建模在學生學習和教師教學中發(fā)揮著不可小覷的作用。通過開展建模教學能簡化學生理解知識難度，并強化邏輯思維和創(chuàng)新思維，提升學生數學綜合素養(yǎng)和數學教學質量，對學生未來發(fā)展有著重要現實意義。