基于中軸變換的直刃刀漢字雕刻方法

孫子博，曹利新

（大連理工大學機械工程學院，遼寧 大連 116024）

0 引言

數控銑削的基本加工原理是利用高速旋轉的銑刀將工件材料打碎，從而使加工材料與工件分離，具有精度高、效率高、柔性高等特點。但通過銑削加工木材或NOMEX蜂窩復合材料時存在加工粉塵大、纖維拔出等問題。為保證加工質量，通常需要減小切削參數，從而會制約加工效率[1-2]。刀具憑借超聲技術能以較小切削力完成加工，因而以切割形式去除材料的直刃刀在加工中逐漸得到應用[3-4]。因為直刃刀在加工時需要控制3個移動自由度和3個旋轉自由度，所以刀具路徑規劃方法與銑削等常見加工方式的不同。

由于現有CAM技術還不支持直接生成直刃刀加工時的刀具路徑，因而國內外學者研究了直刃刀加工經典零部件時的刀具路徑規劃方法，高濤等[5]指出了規劃直刃刀加工刀具路徑時應處理軌跡突變處的抬刀問題與軸向過切問題；Liu等[6]基于行切法規劃了直刃刀加工長方體時的刀具路徑，但其重點在于搭建后處理系統；Cui等[7]基于往復行切法規劃了直刃刀加工類圓柱面時的刀具路徑，并分析了影響殘留高度的刀具路徑參數。但還沒有學者研究采用直刃刀加工自由曲線輪廓時的刀具路徑規劃方法[8]。

輪廓的中軸變換結果富含其幾何學信息，因為易生成輪廓等距線[9]，所以被廣泛應用于刀具路徑規劃。Elber等[10]基于相鄰中軸變換圓的半徑變化最小提出了一種C1連續的型腔銑削刀具路徑規劃方法，該方法適用于高速加工細長型區域；楊夢媛等[11]基于中軸變換規劃了型腔高速銑削的類環切法刀具路徑，生成的刀具路徑平滑無抬刀且步距在允許范圍內平穩變化。目前，基于中軸變換的刀具路徑規劃方法主要是針對回轉型刀具，還沒有學者將其應用于直刃刀加工。

本文以矢量漢字雕刻為研究對象，基于中軸變換提出了一種直刃刀雕刻矢量漢字的方法，該方法同時適用于加工自由曲線輪廓。本文簡述了中軸變換的定義與直刃刀去除材料的過程，并詳細闡述了刀具路徑點與工具坐標系姿態的確定方法，最后通過仿真與實驗相結合的方法驗證了所提方法的可行性。

1 中軸變換定義

平面域圖形的中軸線是指所有最大圓盤的圓心集合，而最大圓盤是指完全包含在封閉輪廓內部且至少與邊界輪廓相切于兩點的圓。即中軸線上的點到兩側邊界輪廓的距離相同。將最大圓盤稱為中軸變換圓，將中軸線上的點即圓盤圓心稱為中軸點[12]。令Pc為邊界輪廓C上一點，Pm為其對應的中軸點，則可以定義半徑函數r（m）：

其中，R+為非負實數集，dis（Pm，Pc）表示點Pm到點Pc的距離。將中軸線與相應半徑函數統稱為中軸變換。

圖1 矩形ABCD的中軸變換

本文對連續域邊界采用巴文蘭[12]提出的數學方法進行中軸變換求解，以基元段為單位提取如下數據：各中軸點的坐標與相應的變換圓半徑、兩邊界點坐標以及兩邊界點處曲率。

2 直刃刀結構與材料去除方式

本文采用的直刃刀刀具結構如圖2所示，在Ot點建立工具坐標系Ot-XtYtZt，圖中S為切削刃，L、b、H、2δ、γ分別表示刀具寬度、刀具厚度、刀具長度、刀尖角與刀刃面夾角。以L=5 mm、b=2 mm、H=35 mm、δ=30°、γ=4°建立的刀具3D模型如圖3所示。由于刀具只在Yt正方向上有實體，因而加工時Yt軸應與加工區域內側同向；而由于切削刃分布在Xt方向兩側，因而加工時Xt軸與進給方向平行即可。

圖2 直刃刀三視圖

圖3 直刃刀3D模型

直刃刀加工時刀具沿同一條刀具路徑以不同傾斜角α（繞Xt軸旋轉的角度）加工兩次，使“V”形切屑與工件分離。工件加工區域呈“V”形凹槽，因此直刃刀加工又被稱為“V”形加工。

在待加工工件表面建立工件坐標系O-XYZ，以平行于X軸的加工軌跡為例，直刃刀加工時材料的去除方式如圖4所示。其中YOZ平面內的示意圖如圖4（a）所示，XOZ平面上A-A截面內的示意圖如圖4（b）所示，加工過程的3D效果如圖4（c）所示。圖4中DL為刀具路徑，vf為進給方向，ap為加工深度，α1與α2為兩次加工時的傾斜角。

圖4 直刃刀加工時材料去除方式

加工時以DL為刀具路徑，首先以α1為傾斜角進行加工，此時Xt軸方向為X軸負方向；然后以DL為刀具路徑，再以α2為傾斜角進行加工，此時Xt軸方向與X軸正方向一致。兩次加工后所去除材料在YOZ平面內的形狀如圖4（a）中Ω所示。

3 漢字雕刻加工方法概述

結合前兩節可知，選取待加工輪廓在一定加工深度ap下的中軸線為刀具路徑，調整傾斜角α使刀具在加工表面上剛好與待加工輪廓接觸，即可雕刻出“V”形輪廓。

當待加工輪廓確定后，加工深度ap與傾斜角α相互影響：給定加工深度ap不變，則每個中軸點處的傾斜角α=arctan（r/ap），此時可實現等深度漢字雕刻；給定傾斜角α不變，則每個中軸點處的加工深度ap=r/tanα，此時可實現等錐度漢字雕刻。

因為中軸線可被劃分成若干個基元段，所以待加工輪廓也能以基元段為單位被劃分成若干個區域。在每個區域內進行“V”形加工，并在區域的交界處進行垂直加工，從而完成漢字雕刻。

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圖5中外側曲線為待加工輪廓，內側實曲線為中軸線，圓為分叉點處的中軸變換圓。該輪廓的中軸線有3個端點與1個分叉點，分叉點處的變換圓與輪廓有3個切點，分叉點與切點的連線如圖5中虛線所示。分叉點將中軸線分成了3個基元段，即PMi（i=1,2,3）；而分叉點與切點又將輪廓分成3個區域，每個區域包含1條中軸線PMi和2條邊界線PC1i與PC2i。

圖5 待加工輪廓及其中軸線

因為輪廓能以基元段為單位進行劃分，同時生成兩種雕刻方法（等深度與等錐度）的刀具路徑的原理相同，所以本文以PM1所在區域為例闡述等深度雕刻的刀具路徑規劃方法。

首先，將工件坐標系確定在待加工表面上，并指定加工深度為ap。則待加工表面處的Z坐標值z=0，刀具路徑處的Z坐標值z=-ap。然后，根據中軸線上各離散點的坐標確定刀具路徑的X、Y坐標值，從而確定刀具路徑的位置，如圖6（a）所示。其次，根據中軸線上各離散點與對應邊界點的相對位置關系確定刀具路徑點的刀具姿態，與圖4（a）所示相同。圖6中，pm為刀具路徑上一點，pc1與pc2為與之對應的邊界點，r為當前變換圓半徑，則Zt1=pc1-pm，Xt1=vf1，Yt1=Zt1×Xt1，PC1處的工具坐標系T1=[Xt1,Yt1,Zt1]。其中vf1為邊界曲線在PC1處的切線，方向與刀具路徑的前進方向v同向。同理可計算出pc2處的工具坐標系T2。

圖6 點pm處工具坐標系姿態

加工時，首先調整姿態以PM1對應的刀具路徑加工pc1側邊界，然后更換姿態再以相同刀具路徑加工pc2側邊界。兩次加工完成后，區域PM1仍在“切點-分叉點”連線處與工件相連。因此，在“切點-分叉點”處進行垂直加工，使區域PM1與工件完全分離后再加工下一區域。

所謂垂直加工，是指刀具的Z軸垂直于待加工表面進行加工，即α=0。此時，刀具路徑從z=0處的切點指向z=-ap處的分叉點，如圖7所示。沿分叉點與切點1以及切點3的連線完成垂直加工后，當前區域即與工件徹底分離。因為垂直加工只起到分離材料的作用，所以每個分叉點處只需要進行m次垂直加工，m為分叉點處的切點數量。

圖7 “切點-分叉點”處工具坐標系姿態

綜上，漢字雕刻可以分為兩部分：沿中軸線的傾斜加工（α≠0）以沿及“切點-分叉點”的垂直加工（α=0）。以基元段為單位，完成所有基元段的加工，即可實現漢字的“V”形雕刻。

4 加工過切避免方式與方法驗證

4.1 加工過切的避免方式

因為本文采用的直刃刀在結構上關于YtOtZt平面對稱，所以加工曲率較小且為正的邊界時在Xt方向上存在過切[13]。而當邊界曲線的曲率為負時，不存在加工過切，如圖8（a）所示。圖中Ωin表示加工區域內側，Ωout表示加工區域外側，C表示待加工輪廓，pz為刀具Zt軸與加工表面的交點，bx為刀具寬度：

圖8 加工過切示意圖

式中：Lreal為刀具的實際接觸長度；bx為點pz到點Ot的距離。

當曲線曲率為正時，存在Xt向過切，如圖8（b）中陰影A所示。過切量與曲率半徑ρ、加工深度ap以及刀具刃面角γ有關。在加工過程中，因為ρ、ap與刀具結構都是確定的，所以只能通過調整傾斜角α來避免過切。

調整傾斜角α后，避免了過切的刀具位置如圖8（b）中虛線所示。雖然調整后在當前位置存在加工殘留B，但是后續加工會將其去除，因而不會影響加工效果。

每個刀位點處無過切的傾斜角α可以通過求解如下無約束優化問題得到：

式中：dis(pz,pz1)表示圖8（b）中點pz1到點pz的距離。

4.2 雕刻方法驗證

本文結合仿真加工與實際加工對所提方法進行驗證。因為刀具在超聲波作用下能以較小切削力進行加工，同時有學者驗證了超聲切割加工SiO2氣凝膠材料[14]、Nomex蜂窩復合材料[15]以及蜂窩板發泡膠[16]等材料的可行性，所以可以認為借助超聲技術的直刃刀能夠在木制品上完成漢字雕刻。因實驗條件有限，故選擇陶藝泥作為漢字雕刻實驗材料。

（1）仿真加工

提取楷體單筆畫“中”字的輪廓并對其進行中軸變換，得到的輪廓與中軸線如圖9（a）所示。選擇等深度“V”形雕刻并令ap=8 mm，使用圖3所示刀具模型，通過二次開發的UG六軸加工仿真模塊加工后的工件如圖9（b）所示。對比9（a）與9（b）可以看出，雕刻后漢字形狀與原輪廓一致，且雕刻后漢字呈現“V”形，符合預期。

圖9 仿真加工效果

（2）實際加工

提取楷體連筆畫“大”字的輪廓并對其進行中軸變換，得到的輪廓與中軸線如圖10（a）所示。選擇等錐度雕刻并令錐度為90°，選擇如圖10（b）所示的末端執行器，雕刻后的漢字如圖10（c）所示。從圖10（c）可以看出，雕刻方法具有如下特點：（1）能保留尖角特征，有利于體現漢字神韻；（2）形成的切屑是以基元段為單位的“V”形切屑條，能夠避免產生大量粉塵，有利于改善加工環境；（3）刀具路徑總長度短，加工效率高。

圖10 實際加工效果

5 結束語

基于中軸變換理論，提出了一種采用直刃刀雕刻漢字的方法：（1）以加工深度下的中軸線為刀具路徑，傾斜不同角度先后加工兩側邊界曲線，加工后漢字截面呈“V”形，符合漢字雕刻的需要；（2）可實現等深度“V”形雕刻與等錐度“V”形雕刻，適用于不同應用場景；（3）因為方法是基于待加工輪廓的中軸變換結果，所以同時適用于加工單連通輪廓與多連通輪廓；（4）通過在分叉點處沿“切點-分叉點”加工解決了軌跡突變處的刀具干涉問題，并通過調整傾斜角解決了曲率為正時存在的Xt向過切；（5）該方法的有效加工刀具路徑長度為2倍的中軸線長度與3倍的分叉點變換圓半徑，故加工效率高。