轉化思想在高中數學解題中的應用初探

◎馬淑芳

(江蘇省南通市第二中學，江蘇 南通 226002)

引 言

基于當前的教學變化與發展，高中數學解題教學模式亟待創新與升級.而在高中數學解題過程中滲透并深入應用轉化思想將幫助學生明晰轉化思想的內涵與應用特點，繼而促進學生應用轉化思想意識的培養與能力的提高，從而提高學生解決數學問題的能力.此外，此舉還將幫助教師挖掘數學學科的精髓，鍛煉學生的數學思維，讓學生擁有清晰的解題思路，最終更新數學教學模式[1].因此，促進轉化思想即化歸思想在高中數學解題中的教學應用，對于教師的教和學生的學都有著十分重要的意義.

一、轉化思想在高中數學解題中的應用概況

(一)轉化思想在高中數學解題中的應用分類

1.一般與特殊的轉化

在數學概念范疇內，常將數學研究的對象分為“一般”與“特殊”.例如，將平行四邊形視作一般對象時，在此基礎上體現出自身種類的特殊性質的圖形即為特殊對象，如菱形、矩形、正方形等，菱形在平行四邊形共性的基礎上增加了“有一組鄰邊相等”的特殊性質，矩形在平行四邊形共性的基礎上增加了“有一個角是直角”的特殊性質，正方形則在平行四邊形和矩形共性的基礎上增加了“四條邊都相等、四個角都相等”的特殊性質，以此從一般到特殊，便是一般與特殊之間的轉化.這一轉化在數學中的應用頗多，對于學生概念的深化與理解有著十分重要的意義.如將無法直接獲取數量關系或解題策略的特殊題目轉化為一般的解題思路與方法，以此剖析出深層的含義；如將特殊的數列極限的問題轉化為一般的函數極限問題，以此突出函數的解題思路；如將直接求解的繁雜分點轉化為一般的遞進推理規律，以此快速解出最終的答案.綜上所述，特殊與一般之間的轉化能有效鍛煉學生的抽象思維、舉一反三的靈活性思維、由表及里的系統性思維等優質思維，而后落實數學學科核心素養.

2.正與反的轉化

在數學解題的范疇內，正與反的轉化即數學思維上正向與逆向之間的轉化，具體如下：第一，在數學解題教學過程中教師應突出題目與結論的邏輯關聯；第二，在此關聯基礎上，教師可以激發學生的靈活性思維，即引導學生轉變自身的思維方向，轉為從結論入手再推理到題目之中，尋找其中的契合點，以此確定結論；第三，教師通過逆向思維的培養便可以激發學生的評價性思維或學生思維中的批判性，從而讓學生學會一分為二地看待問題，有效提高學生的數學探究能力，最終提高學生解決實際問題的綜合能力.

3.常量與變量的轉化

在數學概念中，常量與變量是數學研究中反映事物量的一對范疇，前者是反映事物相對靜止狀態的量，后者是反映事物運動變化狀態的量.而在轉化思想中，這一對范疇存在轉化的空間與條件，即教師可以引導學生利用此特性落實常量與變量的轉化來研究抽象的事物運動、變化的規律或發掘其中的數量關系.這一轉化在數學學習中的應用頗多，對于學生抽象思維能力的提高有著十分重要的意義，轉化思想的深化可以幫助學生從自身形象思維向抽象思維過渡，從而落實學生的數學學科核心素養.

4.數與形的轉化

在數學概念中，數形之間的轉化被稱為數形結合思想，其在轉化思想方法中占據著極為重要的一席，而針對數學學科中這兩個最為古老和基本的研究對象之間的相互轉化，轉化思想給予了其更為豐富的應用意義.第一，以形助數.例如，針對實際數學問題中的集合問題，在落實集合運算時，可以利用數軸或Venn圖等完成交集、并集、補集的運算，以此培養學生的數學運算能力和數據分析能力，促使集合運算數據的透明度和準確性的提升.第二，以數解形.例如，針對實際數學問題中的立體幾何問題，可以利用坐標的方法將幾何中的點、線、面及其性質與關系落實清晰后再進行直觀的研究，以此促使抽象的幾何問題轉化為純粹、直接的代數運算，從而落實數形結合思想的應用，最終，提高學生解決數學問題的能力，豐富學生的數學思維與解題方法.

5.相等與不等的轉化

6.實際問題與數學模型的轉化

在數學概念范疇內，實際數學問題的解決離不開數學模型的構建.針對數學問題中常見的方案問題與概率問題，教師在落實這方面知識的解題教學時需要先引導學生理解具體的實際問題內容，再根據具體的問題內容設計對應的數學模型，從而展開實際問題的運算，成功分析出最佳方案或概率.這一轉化在數學中的應用頗多，對于學生的數據分析能力、模型構建能力以及規劃能力等的培養都有著十分重要的意義，有利于學生發展數學思維和提高數學能力，最終落實數學學科核心素養.

7.數學各分支之間的轉化

在數學概念范疇內，數學各分支的知識滲透或問題解決都需要綜合數學知識的參與與運用，因此，轉化思想中存在數學各分支之間的轉化這一分類.例如，針對數學問題中常見的圓錐曲線與方程中的橢圓問題、雙曲線問題、拋物線問題等，教師在落實相關解題教學時常常需要聯系具體的數列知識、函數知識等，將橢圓問題、雙曲線問題、拋物線問題中的求值范圍或趨勢轉化為一般的代數運算，以此幫助學生構建具有交匯性的知識網絡，繼而讓學生搭建起自身的數學知識框架，最終培養學生的系統性思維，促進學生的綜合性發展.

(二)轉化思想在高中數學解題中的應用原則

基于上述轉化思想在高中數學解題中的應用分類，教師在落實高中數學解題教學時應當遵守以下應用原則，以此強化學生對轉化思想的掌握，提高學生的知識遷移能力和思維的靈活性與敏捷性，盡可能地豐富學生的解題思路，從而有效促進學生解題速度與解題準確度的提高，培養學生的數學綜合實際應用能力，促進學生的綜合性發展[2].第一，簡單化原則.具體而言，基于轉化思想的實質，將復雜題目簡單化、抽象題目形象化，因此，教師在落實學生的解題教學時應當明確清晰的大方向和大思路，即堅持將抽象的數學內容直觀化、形象化和具體化，最終落實簡單化原則.第二，直觀化原則.具體而言，基于上述的解題大思路，教師在落實解題教學時針對復雜的圖形問題或幾何問題應引導學生通過數形結合思想提高問題的直觀性與形象性，從而落實直觀化原則.第三，熟悉化原則.具體而言，教師在落實解題教學時針對系統性的內容應有針對性地采取相應的增強訓練，激發學生思維中的批判性與評價性，豐富學生解題的突破口分布點，以此落實熟悉化原則，提高解題速度.第四，和諧化原則.具體而言，教師在落實解題教學時應關注題目中給出的條件與獲得的數學結論，突出題目條件與結論之間的一致性與和諧性.因此，教師在落實具體的解題教學時，應引導學生根據所給的條件分析其中的內在規律與邏輯聯系，進而落實熟悉化原則和直觀化原則，在此基礎上提高學生解決問題的能力；或者引導學生養成質疑精神與邏輯推理思維，促使學生根據題目內容完成遞進性、層次化的邏輯判斷，以此落實和諧化原則[3].第五，正難則反原則.具體而言，教師在落實解題教學時，針對正向思維難以解決的問題，應當引導學生啟動逆向思維，即如果從問題的正面入手難以直接獲得結論的話，那么將反其道而行之，激發學生思維中的靈活性與敏捷性，培養學生的辯證性思維，最終落實正難則反原則.

(三)轉化思想在高中數學解題中的應用意義

首先，基于高中數學的學科特點，學生在學習高中數學時需要具備更高程度的數學抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數學運算能力、數據分析能力以及模型構建能力等，以此提高自身的數學素養.但是，從目前的高中數學教學現狀來看，部分學生在開展具體的數學學習時，對于具體的數學思想方法認識并不準確，從而導致學生在開啟數學學習時猶如無頭蒼蠅似地盲目亂撞，不利于提高學生的學習效率，反而還導致學生的學習興趣和積極性被消磨殆盡，無法高效學習數學.而轉化思想在高中數學解題教學中的應用將有利于逆轉上述的教學情況，幫助學生明確解題方向，豐富解題思路，以此提高學生的解題速度和準確性，最終促進學生高效學習數學，幫助學生在數學解題過程中找到學習的滿足感，從而激發學生的學習興趣和積極性[4].

其次，基于高中生的認知發展水平與心理發展規律，在高中數學解題教學中應用轉化思想將有利于突出學生的學習主體地位.一方面，可以激發學生的主體性與主觀能動性，從而促使學生主動學習；另一方面，還可以激發學生的自律性、自立性與自強性，以此促進學生深度學習，使學生在數學學習過程中熟練掌握相關的數學思想如轉化思想等，最終提高學生解決數學實際問題的能力，鍛煉學生的數學抽象思維、邏輯推理思維、系統性思維、靈活性思維等優質思維，落實數學學科核心素養.

二、轉化思想在高中數學解題中的應用策略

(一)轉化思想在集合中的應用分析

為促進轉化思想在高中數學解題中的應用，教師可以針對集合落實關鍵性的教學措施.例如，對于蘇教版必修一第一章《集合》中“集合運算的運算律”這一部分內容，教師可以帶領學生分析問題、探究活動的內容，由此可知，集合運算的運算律與實數的運算律如加法交換律a+b=b+a、乘法交換律a×b=b×a、加法結合律(a+b)+c=a+(b+c)、乘法結合律(a×b)×c=a×(b×c)以及乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c相似.為探究集合運算的運算律，教師可以引導學生運用從一般到特殊的轉化思想，即根據已知的實數運算規律，教師可以安排學生假設不同的集合來落實相關運算律的計算，通過一般規律的探尋而逐步發現專屬于集合運算的特殊規律，以此幫助學生循序漸進地落實數學探究過程，培養學生的數學探究意識與能力，從而突出轉化思想的作用，提高學生的探究速度.同時，教師在數學探究過程中還可以向學生介紹數形結合思想這一轉化思想的應用，即引導學生運用Venn圖比較交集、并集、補集等運算規律，分析集合運算律與實數運算律的相同點與不同點.

(二)轉化思想在不等式中的應用分析

(三)轉化思想在函數中的應用分析

為促進轉化思想在高中數學解題中的應用，教師可以針對函數這一部分內容落實關鍵性的教學措施.例如，對于蘇教版必修一《從函數觀點看一元二次方程》這一章節內容，教師可以在此滲透數學各分支之間的轉化思想，即通過函數觀點分析出一元二次方程的解等同于二次函數中函數值取零時的自變量x的值，以此聯系數學中不同分支的知識，從而幫助學生掌握該分類的轉化思想.同時，其中自變量與函數值的關系變化還可以聯系常量與變量的轉化，以此促進函數概念教學的深化.此外，教師在落實相關解題教學時還可以引入直角坐標系，通過直角坐標系幫助學生深化對函數與一元二次方程的認識，將“二次函數中函數值取零時的自變量x的值”與坐標軸上的交點聯系起來，以此滲透數形結合的轉化思想.

(四)轉化思想在概率中的應用分析

為促進轉化思想在高中數學解題中的應用，教師可以針對概率這一部分內容落實關鍵性的教學措施.例如，對于蘇教版選修二中《概率》這一單元內容，教師可以通過實際的概率問題落實解題教學.例如，分析題目：假設每個人血清中含有H病毒的概率為0.4%，求100個人的混合血清中含有H病毒的概率.根據題目中的已知條件可以分析出在落實相關概率計算時直接計算的難度較高，因此，教師在此便可以滲透實際問題與數學模型的轉化思想，為具體的問題設計具有針對性的數學模型，同時還需要落實“正難則反原則”以啟動學生的逆向思維，針對“100個人中至少有一個人的血清中含有H病毒”這一推斷得出“100個人的血清中都不含有H病毒”逆向解題思路，以此落實實際的計算，從而提高學生的數學思維能力，讓學生養成獨立思考、仔細觀察的習慣，最終促進學生的綜合性發展.

(五)轉化思想在圓錐曲線中的應用分析

為促進轉化思想在高中數學解題中的應用，教師可以針對圓錐曲線與方程這一部分內容落實關鍵性的教學措施.例如，對于蘇教版選修一中《圓錐曲線與方程》這一單元內容，教師可以針對該類題目引入專題化的解題訓練，以此培養學生的系統性思維.例如，根據已知的雙曲線焦點位置F1、F2與第三點P的距離差的絕對值的數量關系，求取雙曲線的標準方程.首先，教師可以根據訓練框架與一般的解題思路引導學生假設相關的標準方程；其次，根據已知的數量關系構建等式，以此推導出特殊的所求雙曲線的標準方程；最后，為加深學生對雙曲線標準方程的理解，教師還可以滲透數形結合思想輔助“一般到特殊”的規律轉化，以此深化學生的綜合性轉化思想，提高學生的解題速度.

三、結 語

為促進轉化思想在高中數學解題中的應用，教師可以依據以下方面落實教學措施，如深入研究集合、不等式、函數、概率、圓錐曲線等數學知識，在此基礎上滲透并利用轉化思想，以此降低數學教學與學習的難度，培養學生的數學抽象思維和數學實際應用能力，從而有效提升學生的數學素質，落實數學學科核心素養.