品·尋·悟
——指向初中生幾何證明學習困惑破解的策略探析

◎莫麗美

(杭州市臨平區喬司中學，浙江 杭州 311199)

近年來，中考數學試卷中的幾何題目多為書本、作業本中習題的變式.幾何證明不僅是初中階段幾何學習的核心內容，也是培養學生幾何邏輯思維能力的重要推手.在以往的教學過程中，筆者發現學生中總有一些看似學習很認真，但幾何證明就是學不好的學生.為此，筆者對學生進行了幾何證明學習困惑的問卷調查，結果顯示：學生的困惑主要集中在“推理過程的書寫怎么樣才算合理？證明思路的尋找怎么樣才能快捷有效？輔助線的添加怎么樣才能恰到好處？”三個方面.針對上述困惑，筆者提出了“品·尋·悟”的破解思路，進而實現“以簡馭繁，化繁為簡”.本文對其具體實施加以闡述，旨在交流與共勉.

一、品

所謂的“品”，主要是“夯實基礎—認識基本圖形—引導體驗”這一過程.知識的建立離不開活動載體與基本的活動經驗，現行的平面幾何基本圖形分為兩級：第一級為點、線、三角形、四邊形、圓等圖形；第二級為課本中的概念、基本事實、定理、推論所對應的圖形.初中幾何證明題中的基本圖形多為第二級基本圖形，且當題目較為復雜時則需添加輔助線用以構造基本圖形.

(一)利用好每節幾何新授課

教師在每節新授課都應同時展示文字語言、符號語言和圖形語言，讓學生感受文字語言、符號語言和圖形語言的轉譯過程.例如，浙教版八上第一章第五節三角形全等判定中的三個基本事實和一個推論的三種表述形式的展現.每一個性質的得出都讓學生去嘗試推導，即使有論據不充分的情況，但及時指正后也會收獲較好的效果.例如，浙教版八上第一章的“線段垂直平分線的性質”的講解，可以先給出垂直平分線的定義(當然要配合幾何語言)，再探究其性質，探究后再用已有知識去驗證其性質.課堂是學生學習的重要場地，課堂學習是學生能力提升的重要途徑，教師要用好這個場地，使學生的能力在課堂情境中得以提升.例如浙教版八上第二章第三節等腰三角形的性質定理(2)中“等腰三角形三線合一”的證明過程，教師可以引導學生從等腰三角形的頂角平分線，既是底邊上的中線，又是底邊上的高；等腰三角形底邊上的中線，既是底邊上的高，又是頂角平分線；等腰三角形底邊上的高，既是底邊上的中線，又是頂角平分線這3個角度去思考，也就杜絕了往屆學生出現的片面性的問題.

(二)利用好每個幾何例題

1.循序漸進：一問，二問，三問

課堂提問需以學生的認知為起點，以學生的需求為導向，以學生的發展為目標.

案例 1：點A是△BCD兩個內角∠BCD和∠BDC的角平分線的交點，試探究∠CAD與∠B的關系.

從學生的基礎出發先給學生設置梯度小問：

問題(1)：若∠B=60°，則∠CAD的度數為多少？

問題(2)：若∠B=80°，110°，則∠CAD的度數分別為多少？

問題(3)：由(1)(2)你能得出什么結論？當∠B的度數發生變化時，你的結論仍成立嗎？

問題(4)：根據上面的提問，請嘗試通過改變問題的條件，自編一道探究∠CAD與∠B關系的題目.

教學活動不能止步于此，要以學生的發展為目標，教師可以趁著學生學習熱情高漲，自然而然地呈現一道變式題，要求學生嘗試通過改變現有條件，再自編一題來探究結論.這個看似簡單，實則內含深意的做法，充分調動了學生的能動性，也讓學生進一步體會條件對于幾何題的重要性，當然探究結果也會隨著條件的變化而發生改變，此時這節課的高潮也就不期而至.

2.循循善誘：啟發，提示，引導

我們的教學要以學生的認知為起點，并不是每一位學生都有自編題的能力，一部分同學會有一種迷茫、無從下手的感覺，這時就需要教師給學生一些啟發性的提示，為學生能力的提高搭好階梯.老師可以提問“原題的條件是什么？那么這個條件我怎么改才能保留我現在想探究的這個角？圖形中除了三角形的三個內角還有哪些角？三角形的內角除了平分還可以怎么分？”

此時學生就能提出問題：“老師，如果把它改成一個內角、一個外角的角平分線會怎么樣？老師，如果把它改成兩個外角的角平分線會怎么樣？老師，如果把它改成兩內角三等分線的交點會怎么樣？把它改成兩內角四等分點的交點會怎樣？”

教師這些啟發性的提示不僅是提高學生解決問題的能力的過程，更是以學生的需求為導向，以學生的發展為目標，努力實現學生的自我知識建構的過程.整個教學過程教師沒有一味地“教”，而是讓全體學生沉浸在完整真實的學習過程中，充分發揮了學生的能動性，讓整個學習過程充實且具有挑戰.

二、尋

所謂的“尋”，主要是“層層推進—由簡單到復雜(由特殊到一般)—感悟經驗轉化為知識”這一過程.經驗的提煉有兩種狀態：一種是自發的，比較零散、模糊、原生態；另一種是自覺的，是教師通過創造條件讓學生總結經驗的內省過程.

(一)巧尋：一題多解

證明一個結論正確，可能有多種方法，雖然最后我們都能將結論證得，但中間所花費的時間和精力有著極大的差異.尋找最優基本圖形不僅需要對題目給出的條件進行篩選，更需要對基本圖形的熟練運用.

圖1

案例2(浙教版八上P35課內練習第二題)：已知：如圖1，AD垂直平分BC，D為垂足.DM⊥AC，DN⊥AB，M，N分別為垂足.求證：DM=DN.

方法一：抓住基本圖形“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”(題目中有條件“DM⊥AC，DN⊥AB”，即有從同一點出發到兩條邊的距離，若AD為∠CAB的角平分線，那就可以運用角平分線的性質來證明，而根據已知條件比較容易證得AD為∠CAB的角平分線).

方法二：抓住基本圖形“面積相等的兩個等底三角形等高”(題目中有條件“AD垂直平分BC，DM⊥AC，DN⊥AB”，由線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等得到AC=AB，那么只要再證△ACD的面積和△ABD的面積相等即可，根據全等圖形的面積相等可證得，而根據已知條件比較容易證得△ACD≌△ABD).

方法三：抓住基本圖形“全等三角形的對應邊相等”(題目中有條件“DM⊥AC，DN⊥AB”，可得∠AND=∠AMD=90°，又從圖中觀察得到AD為公共邊，只要再尋找一對角相等即可證明△AMD≌△AND，而根據已知條件比較容易證得AD為∠CAB的角平分線).

方法四：抓住基本圖形“全等三角形的對應邊相等”(題目中有條件“DM⊥AC，DN⊥AB”，可得∠BND=∠CMD=90°，又根據條件“AD垂直平分BC”易得CD=BD，只要再尋找一對角相等即可證明△CMD≌△BND，而根據已知條件比較容易證得△ACD≌△ABD，進而得到∠B=∠C).

上述四種解題方法，方法一和方法二明顯優于方法三和方法四.在新課教學時，教師可以展示所有的方法，幫助學生熟練掌握三種基本圖形，但最后一定要讓學生自主比較到底哪一種“基本圖形”對于這個題目的解決更有效.

(二)妙尋：一圖多用

幾何證明題分為易得分題和易失分題，易失分題又分為兩類：一類是圖形中重疊交錯的線段特別多的，另一類是需要添加輔助線來構造基本圖形的.當圖形較為復雜時，需要把圖形拆分，然后將題目中的條件標到拆分圖上，這樣就很容易解決問題.

案例3：如圖2，面積為1的△ABC.第一步：延長△ABC各邊，延長AB至點A1，延長BC至點B1，延長CA至點C1，使A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，順次連結得△A1B1C1.第二步：延長△A1B1C1各邊，使A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，順次連結得△A2B2C2，…，按此方法，要使得到的新三角形的面積超過2022，最少經過________步.

圖2

解題思路是將圖形做如下三步分解：

第一步：找出原始圖形△ABC；

第二步：找出經過一次操作后的圖形△A1B1C1；

第三步：將△A1B1C1進行分割并進行相應的計算.連結BC1,∵C1A=2CA，∴S△ABC1=2S△ABC,同理S△A1BC1=2S△ABC1=4S△ABC,∴S△A1AC1=6S△ABC,同理S△A1BB1=S△CB1C1=6S△ABC,∴S△A1B1C1=19S△ABC=19.∴同理可證△A2B2C2的面積=19×△A1B1C1的面積=361，第三次操作后得到的三角形面積為19×361=6859.故按此規律，要使得到的三角形的面積超過2022，最少經過3步.

教師在這個時候能夠做的是不斷地為學生搭好“腳手架”，鼓勵學生自己去發現、提出、分析、解決問題，不斷地猜想驗證，體會再猜想再驗證的思考過程，在不斷地失敗和成功中提高自己的數學能力.

三、悟

所謂的“悟”，主要是“破繭成蝶—知識轉化為能力”這一過程.杜威認為，教師的教學沒有與學生的經驗對接，那么教學沒有發生.教什么比怎么教更重要，那么到底要教學生什么？學生一節課下來到底要學什么？教師要讓學生看到知識的“來龍”與“去脈”.從直觀想象到理性思維是一個長期滲透熏陶的過程，直觀想象不是無根之萍、亂想象，它是建立在知識基礎上的一種感覺，是建立在強大的數學思想與數學思維之上的一種想象.

(一)己悟：認知碰撞

案例4(浙教版八上P35例7)：已知：如圖3，AB∥CD，PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且與AB垂直.求證：PA=PD.

圖3

方法一：抓住基本圖形“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”(題目中有條件“PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB”，當角平分線的定義無法解決問題時，就要考慮運用角平分線的性質，而要用角平分線的性質就要用到垂線段，沒有垂線段就要構造，此題已有條件“AD過點P，且與AB垂直”，那么只需構造BC邊上的垂線段即可，如圖4.再利用兩次角平分線的性質就可以通過等量代換得到DP=AP).

圖4

方法二：抓住基本圖形“全等三角形的對應邊相等”(如圖5，延長BP交CD于點F.根據題目中的條件“AB∥CD”與對頂角相等可得△ABP和△DFP的三對內角都相等.而AB與DF無法證得相等，那么只能去證BP=FP，再次運用“全等三角形的對應邊相等”這一基本圖形，去證明BP=FP，也就是去證明△BCP≌△FCP，證明這兩個三角形全等用AAS易證得).

圖5

雖然方法一與方法二選擇的基本圖形不同，但都是通過添加輔助線去構造基本圖形，思路也都比較清晰.仔細觀察可以看出方法一所耗費的時間與精力明顯少于方法二，且證明步驟僅為方法二的一半，故在根據已有條件構造基本圖形時也需要選擇最優的“基本圖形”.

(二)助悟：認知再構建

學生在認知過程中，多次接觸選擇“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”這一基本圖形優于“全等三角形的對應邊相等”這一基本圖形的幾何證明題，那是不是說明所有的題目都應選擇構造“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”這一基本圖形為最優基本圖形呢？其實也不見得.

案例5：上這節新課時，筆者把浙教版八上P35例7進行了改編，去掉了一個條件“AD垂直于AB”，變為“已知：AB∥CD，PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P.求證：PA=PD.”

方法一：抓住基本圖形“全等三角形的對應邊相等”(如圖6，延長BP交CD于點F.根據題目中的條件“AB∥CD”與對頂角相等可得△ABP和△DFP的三對內角都相等.而AB與DF無法證得相等，只能去證BP=FP，再次運用“全等三角形的對應邊相等”這一基本圖形，去證明BP=FP，也就是去證明△BCP≌△FCP，證明這兩個三角形全等用AAS易證得).

圖6

方法二：抓住基本圖形“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”(題目中有條件“PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB”，當角平分線的定義無法解決問題時，就要考慮運用角平分線的性質，而要用角平分線的性質就要用到垂線段，沒有垂線段就要構造，過點P做EF垂直AB，如圖7，再利用例7的方式構造BC邊上的垂線段，利用兩次角平分線的性質就可以通過等量代換得到EP=FP，最后再通過證明△AEP與△DFP全等，利用“全等三角形的對應邊相等”這一基本圖形得到AP=DP).

圖7

很明顯，方法一選擇的“全等三角形的對應邊相等”這一基本圖形明顯優于方法二選擇的“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”這一基本圖形，方法二不但添加了兩次輔助線，增加了證明難度，最后證得結論時依舊要選擇“全等三角形的對應邊相等”這一基本圖形，證明過程也比方法一長.故并沒有選擇哪一個基本圖形最優的固定模式，而是需要根據題目的條件進行選擇，同時輔以直觀想象能力的培養.

綜上所述，在課堂教學過程中，教師要弱化自己的“教”以及教什么，而是要強化學生的“學”，幫助學生構建知識體系，并且使用不同的教學形式來激勵學生更主動的學習，激發他們的學習欲望.解題“悟性”是一種高階思維能力，絕不是靠一節課、一道題就可以培養起來的，它需要潛移默化的熏陶(“品”)，又要持之以恒地訓練(“尋”).在這個“尋”的過程中，作為教師要給學生提供感興趣的切入點以及體驗過程，做到以人為本，潛心研究教學，從而科學地引導學生，進而能夠啟發學生進行合理的知識建構.