談條件探索性問題的解題規范
——一道考試題引發的爭論

孔祥武 (江蘇省常州市第一中學 213003)

試題設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1對一切n∈N*都成立.

(1)若λ=1，求數列{an}的通項公式；

(2)求λ的值，使數列{an}是等差數列.

“你那種做法好像怪怪的，有問題”，數學剛考完，數學備課組辦公室里就吵了起來.爭論的焦點就是上面這道考題的第二問.

教師A：“我這樣做，令n=1，得a2=λ+1,令n=2，得a3=(λ+1)2,要使數列{an}是等差數列，必須有2a2=a1+a3，解得λ=0.又當λ=0時，a1=a2=a3=1,所以等差數列{an}的通項公式只能是an=1，并且它的前n項和Sn=n，容易檢驗證明(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1對任意n∈N*恒成立.”

教師B：“我覺得這題怪怪的，你那樣做好像太簡單了，會不會有問題？”

教師A：“先通過特殊的前三項逼出λ=0,再檢驗一般情況，充分性和必要性都有了,我們以前好多題不也是這么解的?”

教師C：“這種問題以前好像也碰到過，當時你們說通過前幾項特殊情況進行計算、推演，結果要檢驗，到底檢驗什么？是檢驗(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1,還是檢驗{an}是等差數列？”

筆者對這道題也作過思考，我們不妨把形如上題第二問的探索性問題稱為條件探索性問題.它是考試中的常見題型，在立體幾何和數列中尤為常見.到底該如何探究答案，得到答案后又該如何證明，書寫要注意什么？不少學生感到棘手，部分教師也有困惑.筆者想就本題的爭論內容說一說自己的觀點，談一談此類問題的解題規范和教學建議.

1 審查題意時不可拘泥于字面理解

條件探索性問題一定要注意“審題”，在大多數情況下是尋找使得結論成立的充要條件.比如，本題第二問是典型的條件探索性問題，從字面看，應該是尋找使得結論成立的充分條件.對本題而言，即由λ=0證明{an}是等差數列.但考慮到為什么只有λ=0、是否還有其他可能值，所以還得考慮必要性才嚴謹.筆者認為此類問題大多數情況下是要探求使得結論成立的充分必要條件，不能完全拘泥于字面理解，否則考試容易吃大虧.

從這個角度分析，教師A解法的前半部分應該是逼出{an}是等差數列的必要條件λ=0，后半部分應該是由λ=0結合大前提(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1去證明{an}是等差數列,而不是由{an}是等差數列去驗證(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1成立，所以該解法的后半部分是錯誤的.下面筆者給出本題的一個標準解法.

標準解法(1)an=2n-1(過程略).

(2)令n=1，得a2=λ+1.令n=2，得a3=(λ+1)2.要使數列{an}為等差數列，必須有 2a2=a1+a2，解得λ=0.

又a1=1,所以an=1(n∈N*).

所以λ=0時，數列{an}是等差數列.

評注 上述解法規范嚴謹，很好地體現了充要條件的兩個方面，必要性探究與充分性說理層次十分清晰.

2 解答問題時要防偷換概念和條件

仔細反思，我們不禁要問，為什么大家會覺得教師A的解法似曾相識，有幾分親切呢？為什么這種錯誤也有一定的“市場”呢？這是因為，我們一開始是從“要使得{an}是等差數列”入手，本來是去尋找使得結論成立的充分條件，不知不覺偷換概念變成“假設{an}是等差數列”，進而反復把等差當成條件在使用，才得出{an}的通項公式只能為an=1,導致解題偏差.

我們可以將題目重新改造如下，以進行對比分析：

設各項均為正數的等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，求λ的值，使得(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1對一切n∈N*都成立.

不難理解，題目表述改變后，教師A的解法就是正確的，可見明確誰是大前提、條件、結論至關重要.同時，像標準解法那樣，有層次地嚴格分成兩步(必要性探索和充分性證明)，解題思路會更加清晰明了.

3 探索求證時也可利用充要條件

既然大多數情況下，解答時既要完成必要性探究又要完成充分性說理，可不可以將兩者合二為一？

筆者在批閱試卷時，發現有學生想到如下的第二問解法.

所以當λ=0時，數列{an}是等差數列.

這種解法對不對？按照我們先前的觀點，這種解法只是由等差條件推得λ=0，歷經艱辛卻只是完成了一半，仍然沒有修成正果，未免可惜.事實上，上述解法思路合理自然，只是表達欠妥，我們可以把第一句話“假設{an}是等差數列，設其公差為d”稍作調整，改為：{an}是等差數列，等價于an=1+(n-1)d.這種解法的推導過程是結合大前提條件的恒等變形，過程是等價的，運算是可逆的，可視為“λ=0”等價于“數列{an}是等差數列”.

由此可見，善用充要條件、多用恒等變形、結合定義以算代證，可以理解為是將充分性和必要性合二為一了.雖然沒有像標準解法那樣很清晰地分成兩步，也應該算作是正確的解答.這種以算代證的處理方法在用建系來處理的立體幾何探索性問題和解析幾何探索性問題時更為常見，它們的處理方式是如出一轍的.

4 書寫規范要參照既定的習慣

在立體幾何中條件探索性問題的書寫規范常常稍有差別，需要引起關注.比如我們經常碰到的形如“在線段MN上是否存在一點A，使得AB∥平面DEF”這樣的問題.我們分為兩種情況來 考慮：①若不存在滿足條件的點A,書寫時只要假設存在點A，推出矛盾，即能說明點A不存在，這實質是利用反證法來證明.②若存在滿足條件的點A，通常這樣的點也是唯一的.我們注意到參考解答常常省略了必要性探求過程，而直接給出了充分性的證明,即由點A的位置直接推導AB∥平面DEF.像本文試題中的問題就需要體現必要性探究，而此處卻省略了,這里面多少有些約定俗成的味道.也正是這種不一致造成了很多教師與學生的困惑.筆者以為,在解答條件探索性問題時要參考既定的書寫習慣，注意不同的命題場景.

條件探索性問題，想說愛你不容易，方向倘若一搞反，多花力氣也枉然.在參與命制試題時要注意題意的清晰表達，譬如條件探索性問題也可以根據情況說成“求使得命題q成立的一個充分條件(或充要條件)”，指向明確，避免玩文字游戲，防止造成不必要的誤解，以致引起考試不公平.