2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽一道解三角形試題的多解及推廣

葉誠理

(福建省福清第一中學 350300)

何 燈

(福建省福清第三中學 350315)

1 試題分析

2 試題解析

評注本解法通過正弦定理把邊b,c的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角度B,C的關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角和關(guān)系，運用三角恒等變換公式，轉(zhuǎn)化成與角C相關(guān)的三角函數(shù)計算問題.

評注本解法仍然是通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系，與解法1不同之處在于通過聯(lián)立角A,B,C的關(guān)系，把角B,C統(tǒng)一用角A表示，從而得到關(guān)于角A的三角關(guān)系式，體現(xiàn)了方程思想在解三角形中的應用.

圖1

評注本解法通過添加輔助線將角B分解為兩個角，從而構(gòu)造兩個相似三角形，再利用余弦定理構(gòu)建邊a的方程，實現(xiàn)了面積的轉(zhuǎn)化計算.

圖2

評注本解法通過建立坐標系實現(xiàn)把解三角形問題運用解析幾何知識來求解.關(guān)鍵是幾何條件代數(shù)化，其中，以B為原點的好處是可以根據(jù)AB=1把點A看成是單位圓上的點，用角B巧設點A坐標.利用直線AC的斜率表達式，把含邊長a的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成角B的三角函數(shù)，進而通過AC距離公式計算sinB，最終轉(zhuǎn)化成面積.

3 試題推廣

借鑒解法2，我們可以得到本題在一般情況下的結(jié)論.

4 解題心得

條條大道通羅馬，本題解法的多樣性讓我們感受到數(shù)學思維的無限魅力.解題中用到的知識涉及函數(shù)、方程、三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等；對一般性結(jié)論的推廣開闊了我們的視野，揭示了問題的本質(zhì).本題集中考查了解三角形問題中考生的抽象概括能力、運算求解能力和創(chuàng)新應用意識；用到的數(shù)學思想有函數(shù)與方程思想(特別是消元思想)、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等[1].本題的一題多解彰顯出靈活合理地運用所學知識解決實際問題的能力的重要性，不僅對競賽生，也對廣大高考生具有一定啟發(fā)意義，即對數(shù)學知識的融會貫通、對數(shù)學方法的嫻熟運用和對數(shù)學思想的深刻領(lǐng)會是考場上制勝的關(guān)鍵[2].