“感覺、感知、感悟”視角下概念教學的再思考*

王小青 (江蘇省如皋中學 226500)

1 “感覺、感知、感悟”教學過程的理解

動感：動，合“主動與動態”之意.感，含“感覺、感知與感悟”之蘊.動感數學課堂教學是指在數學課堂教學活動中，教育者有目的地引導學生自覺思維，調動學生自主性和能動性，使學習者主動協調各種感官，通過感受新事物、新概念、新問題，主動獲取知識，并在此基礎上進行反思，實現自我身心從實踐走向思維，實現感性思維與理性思維之合一、感知與感悟之交融的過程[1].

“感覺、感知、感悟”教學觀念認為：教學過程由“初步感覺，到體驗感知，升華為思考感悟”，突出“創設情境、合作交流、對話展示”.從認識論角度看，即為：創設情境，初步感覺；啟迪思考，體驗感知；學以致用，思考感悟.

2 “感覺、感知、感悟”教學實錄——以《向量的數乘》為例

2.1 初步感覺——在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題

師：甲同學從點O出發向東北方向勻速步行，若經過1 s的位移用向量a表示，那么如何表示在同方向上經過2 s的位移？經過3 s的位移呢？

(學生獨立思考，得出結論.)

學生2：(方法2)符號表示，a+a，a+a+a.

學生3：(方法3)符號表示，2a，3a.(類比實數的加法運算a+a+a=3a)

師(追問)：3a是何種運算的結果？3a又是什么量？依據剛才研究的問題，你能提出一個類似的問題嗎？(如何表示從點O出發向西南方向經過1 s的位移？)能將該問題推廣為一般情形嗎？接著要繼續研究什么問題呢？(給一個實數λ與任意向量a的乘積λa來下定義.)

設計說明學生在前面的學習中已經建構了向量的概念，理解了向量的加法與減法運算法則，那么為何要研究向量的數乘？怎樣研究？通過實際情境的創設，一是讓學生體會到研究向量數乘的必要性與合理性，期待建構向量數乘的基本概念；二是啟發學生聯想、類比實數乘法的概念，建構數學模型.

在教學過程中，通過教師追問，學生提出類似的問題；在學生與問題情境、教師與學生、學生與學生的有效互動中，發展學生的數學語言表達能力.

2.2 體驗感知：分析問題，建構數學概念

師：聯想向量加法的定義，給出一個實數λ與任意一個向量a的乘積λa的定義.

設計說明學生已經建立了研究向量加法、減法運算的定義模型，定義與向量有關運算的思路：(1)確定一個向量，一般從其方向和長度兩方面，所以定義要從兩個角度入手；(2)對特殊情況的規定(零向量、相反向量)；(3)表達數學概念用文字語言、符號語言、圖形語言.

(學生獨立思考，小組討論完善，得出結論.)

設計說明數學概念的建構讓學生體驗感知建構過程，便于學生理解概念并進行數學思考，有數學思考才能解決問題，進一步會產生新的問題，有了新的問題，就會有探究，進一步就會有反思感悟，才能把握數學概念的本質內容，在課堂上要變“結論告知”為“問題思考”，引導學生通過獨立思考、合作交流等方式，提升學生的數學能力與素養.

2.3 思考感悟——應用數學，解決數學問題

例1 (1)如果把非零向量a的長度伸長到原來的3.5倍，方向不變得到向量b，向量b該如何表示？

(3)將下列各小題中的向量b表示為實數與向量a的積.

設計說明學生建構向量的數乘等數學模型，應用向量數乘解決這一問題，簡化向量運算.在應用過程中，發現運算有一定的規律性，為研究向量數乘的運算律作鋪墊.

師：聯想實數四則運算律，向量的數乘運算符合哪些運算律呢？(追問)對于①b=2a，也即6e=2(3e)=(2×3)e.這一運算式有怎樣的實際意義呢？(再追問)既然向量2(3e)與向量(2×3)e相等，能用圖形表示2(3e),(2×3)e嗎？

師：你能將上述結論進一步推廣嗎？類比實數乘法的運算，試探究向量數乘滿足的運算律.

設計說明教師在追問中提出新問題，建構數學模型讓學生獨自去解決這一問題，可從向量的大小和方向分別去研究，也可以從圖形去研究.

思考 依據實數的數乘運算律，向量數乘有哪些運算律呢？向量數乘與實數乘法有哪些相同點和不同點？

設計說明向量數乘建構過程表現為學生在教師的引導下，聯想向量的加法、減法提出問題，解決問題，再提出問題，分析并解決問題，再發現問題，并解決問題等.讓學生經歷數學建構的實踐活動過程，提升學生研究探索、語言表達的能力.

例2 已知向量a和向量b，求作向量-2.5a和向量2a-3b.

例3 計算：(1)3(a-b)-2(a+2b)；

(2)2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c).

總結：向量的線性運算的結果是一個向量，其運算法則與多項式運算類似.

師：繼續探究例1的前兩個小題并思考——

設計說明建構數學概念的目的之一就是能夠用建立的數學模型解決實際問題.通過例3之后的追問、反思，學生可以發現，向量的數乘可以解決兩個向量的共線問題，表現在平面圖形中，可以解決三點共線、兩直線平行等問題.學生經歷應用數學知識解決數學問題的過程，由此積累做數學、學數學、用數學的經驗,增強數學的應用性意識.

數學概念的教學是使學生經歷數學概念、結論產生的過程，體驗數學在解決實際問題中的價值和作用.其一是對現實問題的數學抽象；二是用數學的三種語言(文字語言、符號語言、圖形語言)表達問題；三是用數學方法構建模型解決問題.

3 落實“感覺、感知、感悟”教學法的思考

3.1 源于問題情境的初步感覺，提升閱讀理解、信息整理素養

數學源于生產生活實際，數學知識的發生發展過程源于解決實際生活問題的過程.在課堂教學過程中，要創設合適的教學情境，啟發學生思考.學生在與問題情境的有效互動中，通過對背景材料、實際問題的初步感覺，先初步了解實際背景是什么、其中蘊含了怎樣的數學問題，學會將實際問題轉化為數學問題.向量是既有大小又有方向的量，日常生活中的位移也是向量，所以“向量的數乘”這節課以物理量為背景抽象出向量數乘的概念，在教學中發展學生信息獲取、知識整合的能力.

3.2 重在數學問題的體驗感知，提升實踐探索素養

“實踐探索素養”是指學習者在面對生活實踐或學習探索問題情境時，組織整合相應的知識與能力、運用不同的技術方法進行各種操作活動以解決問題的綜合品質.課堂教學中，教師不是將“結論性知識和規律性方法”機械地交給學生，而要引導他們經歷實際情境，通過提問、追問等方式，突出問題導向，通過問題驅動將學生的學習引向深入.學生通過自己的體驗感知，解決問題，再提出新問題，分析問題，解決問題，建構數學模型.本課例類比向量的加法、減法的概念，引導學生運用文字語言、圖形語言、符號語言表達向量數乘的定義.引導學生從已有的研究向量加法、減法的方法，類比熟悉的數的乘法運算律，建構向量的數乘運算律，學生通過思考發現問題，探究反思，解決問題，發展操作應用和數學表達的能力.

3.3 貴在對建構概念模型的反思感悟，探索思維方法素養

“思維方法素養”是指學習者在面對生活實踐或學習探索問題情境時，進行獨立思考和探索創新的內在認識品質.在課堂教學中，引領學生感悟知識產生的過程，在應用中積累數學思維和實踐的經驗.“向量的數乘”強調引導學生應用向量的數乘解決物理問題、幾何問題.發現應用數乘的有關概念可以證明平面圖形中的平行關系、研究平面圖形中段落之間的關系等等.通過引導學生在多樣化的數學活動中去思考、探索、發現結論，提升他們的數學建模與數學探究的能力.

在數學課堂上，應用“感覺、感知、感悟”教學法，從實際問題和背景中抽象出新的數學概念，建構新概念，建立新概念的運算，以及在數學問題、實際模型中應用新運算等.概念的教學過程可以描述為三個階段：創設恰當的教學情境，提出合適的數學問題；啟發學生思考，讓學生理解數學概念的來龍去脈，建構數學概念，掌握基礎知識，形成基本技能；感悟數學的思想，領悟知識本質，學以致用，在應用中積累數學思維和實踐活動經驗，形成和發展數學學科核心素養.通過初步感覺、體驗感知、思考感悟，展現教學內容的過程性，實現活動的探索性，完成“四基”“四能”的教學，這是改變傳統教學法[2]，是有創新、融能力與素養的高品質數學教學，是落實學科素養的有效教學法.