解析幾何運算細節(jié)的優(yōu)化策略及教學建議*

趙 剛 (江蘇省徐州市第一中學 221002)

丁永剛 (江蘇師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 221116)

縱觀近幾年高考解析幾何試題可見其主要特點：一是以過特殊點的直線與圓錐曲線相交為基礎(chǔ)設(shè)計“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先確定曲線的標準方程，再進一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；二是以不同曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的位置關(guān)系為基礎(chǔ)設(shè)計“連環(huán)題”；三是判斷曲線和直線位置關(guān)系，綜合性較強，往往與向量(共線、垂直、數(shù)量積)結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題等，試題運算量較大，需要繁雜的討論，不但會影響解題的速度，甚至會導(dǎo)致學生“望題興嘆”“望而卻步”.學生在求解解析幾何問題時，往往能夠理解數(shù)學對象，但在設(shè)計運算程序時往往會有比較大的偏差.這就導(dǎo)致一部分學生在解題時運算量偏大，無法算出正確結(jié)果[1].為了提高運算效率，筆者通過實例說明解析幾何中運算細節(jié)的優(yōu)化策略，歸納出解決此類問題的一些方法和技巧.

1 運算優(yōu)化策略

1.1 重視定義，揭示本質(zhì)

反思 涉及焦點與拋物線上的點時，結(jié)合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜的計算[2].定義是性質(zhì)的“根基”，牢記圓錐曲線的定義，將定量的計算和定性的分析有機結(jié)合，可大大降低運算量.

1.2 抓住零元，優(yōu)化設(shè)線

解析幾何中經(jīng)常會碰到過定點(a,0)的直線問題，對此學生往往會分類處理，將直線設(shè)為y=k(x-a)或x=a，筆者建議將直線設(shè)為x=my+a.兩種設(shè)法雖然都很簡潔，但運算量卻相差很大.

圖1

解法1①當直線l斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)(常規(guī)設(shè)法).

②當直線l斜率不存在時，易得A,B兩點 坐標分別為(2,1)，(2,-1)，故AB=2.此時S△OAB=2.

解法2由題意可知直線l的斜率不為0，故可設(shè)其方程為x=my+2.

反思 解法2的算法簡潔，運算量小.事實上，解法1中將直線l的方程設(shè)為y=k(x-2)，與橢圓聯(lián)立后所得方程(1+4k2)x2-16k2x+16k2-8=0形式復(fù)雜，參數(shù)k出現(xiàn)頻數(shù)較多，直接導(dǎo)致了后續(xù)運算量增大.而解法2將直線l的方程設(shè)為x=my+2，與橢圓聯(lián)立后所得方程(m2+4)y2+4my-4=0形式簡潔，參數(shù)m出現(xiàn)頻數(shù)較少，所以后續(xù)運算量也比較小.如果廣義理解直線l斜截式方程y=kx+b的本質(zhì)，抓住其簡潔的特征是因為直線l所過的定點(0,b)恰好在y軸上，那么用對偶的思想去分析就會得到，當直線l所過的定點(a,0)在x軸上時，就應(yīng)該把直線l的方程設(shè)為x=my+a.這種設(shè)法使方程達到最簡，其根本原因是充分利用了“0”元素.

1.3 巧用不等式，化簡分式

反思 在具體解題中需要關(guān)注分式結(jié)構(gòu)特征，通過調(diào)配系數(shù)，使得分式滿足基本不等式的使用條件，從而實現(xiàn)簡化運算.

1.4 借助同構(gòu)，簡化計算

當題目中出現(xiàn)圖形對等，并且圖形滿足的條件相似時，就具備了同構(gòu)法的使用條件.

例3已知拋物線y2=2x上三點A(2,2),B,C，直線AB,AC是圓M:(x-2)2+y2=1的兩條切線，求直線BC的方程.

圖2

反思 解法1思路清晰，但是計算量很大且易錯.如果注意到題目中AB,AC均為圓M的切線，說明AB,AC地位相同，且點B與點C均在拋物線y2=2x上，故只要求出點B的坐標所滿足的關(guān)系，就可以得到點C的坐標所滿足的關(guān)系，從而得到直線BC的方程.解法2利用點B與點C結(jié)構(gòu)相同，通過探求點B滿足的關(guān)系，從而求得點C的關(guān)系，巧妙地規(guī)避了復(fù)雜的運算，這種算法充分說明在運算中要注重探究運算思路，避免單純機械的計算.

1.5 利用曲線系，巧求切線

解法1(常規(guī)解法)設(shè)所求切線方程為y-1=k(x-2),

反思 運用這種解法非常簡潔，對于求圓及橢圓這種閉合曲線上一點處的切線方程均可以采用此法來簡化運算.需要注意的是，借助這種方法求切線方程，必須先把切點表示成特殊的“曲線”形式，即與所給曲線結(jié)構(gòu)相同才可以，否則令λ=-1就得不到切線方程.

1.6 點代平方差，簡化問題

圖3

解法2通過數(shù)式變形，使得問題可以直接借助韋達定理解決，算法清晰簡潔，計算復(fù)雜程度降低.

1.7 通過平幾，化簡轉(zhuǎn)化

解析幾何源于平面幾何，在解題過程中，運用相關(guān)的平面幾何性質(zhì)，常常能達到事半功倍的效果.

在例5的求解過程中，如果注意利用雙曲線的幾何性質(zhì)“雙曲線上任意一點M與關(guān)于原點對稱的兩點A,B的連線MA,MB斜率之積為定值”,則可以大大簡化計算.

反思 題目中出現(xiàn)多個點和多條線時，設(shè)點還是設(shè)線，理清“點變”中不變的本質(zhì)，會減少計算量[2].不同的選擇往往直接影響后續(xù)的計算量和難度.從例5的探究中可以發(fā)現(xiàn)，幾何性質(zhì)的運用可以在一定程度上簡化運算.而學生在解題時能否挖掘到一些幾何性質(zhì)，則取決于學生平時的積累.這就要求教師在平時的教學中，要注重對學生探究能力的培養(yǎng)，注意結(jié)合幾何圖形開展探究，鼓勵學生大膽設(shè)想、推導(dǎo)，引導(dǎo)學生結(jié)合圓錐曲線定義及圖形對稱等角度進行論證，并通過師生互動、生生互動等方式進行研討，從而整體提升學生的探究能力及教師的教學水平.

2 解析幾何教學建議

弗賴登塔爾說過：“老師不該將數(shù)學定義、規(guī)則、算法灌輸給學生，應(yīng)該讓學生體驗、發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識.”傳統(tǒng)教育理念下的教師在課堂上一個人唱獨角戲，獨自完成知識傳授，而新教育理念下教師改進學生的學習方式，讓學生展示自己的思維過程.“舉一反三”是接受學習的寫照，學習方式的轉(zhuǎn)變關(guān)鍵不在于是“發(fā)現(xiàn)的”還是“接受的”，而在于學生數(shù)學思維的參與程度.在解析幾何的教學中，筆者使用了上述多種運算優(yōu)化策略，一題多解、一題多變、層層遞進，解題思路都是在與學生的互動碰撞中產(chǎn)生的，學生思維的創(chuàng)造性、深刻性得到了真正的訓練,真正實現(xiàn)了深度學習.

解析幾何教學要從數(shù)學基本技能出發(fā)，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，同時體現(xiàn)顯性目標(雙基)和隱性目標(數(shù)學能力、理性精神).

2.1 教學目標由“知識中心”向“能力中心”轉(zhuǎn)變

教學目標應(yīng)由“關(guān)注知識傳輸”向“關(guān)注能力提升”轉(zhuǎn)變，解析幾何教學要關(guān)注學生計算的實際水平，安排合理的計算程序，使其計算更高效.課程設(shè)計由“傳統(tǒng)的知識灌輸”轉(zhuǎn)向“教改后引導(dǎo)活動”，讓學生在簡化計算的活動中獲得自信.培養(yǎng)學生勤于動手的良好學習風貌.當前，“滿堂灌”已被教師摒棄,但是“滿堂問”卻比比皆是.滿堂問實則為“按教師設(shè)計程序”的接受式學習.探究解析幾何計算優(yōu)化策略的過程中筆者給學生提供了足夠的機會，讓學生依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗主動建構(gòu)知識體系，真正培養(yǎng)了學生的學科核心素養(yǎng).

2.2 教學觀念由“統(tǒng)一規(guī)格”向“差異教育”轉(zhuǎn)變

課程目標應(yīng)致力于“打好基礎(chǔ)，促進發(fā)展”.“一刀切、統(tǒng)一規(guī)格”是當前教育的一個突出問題，顯而易見，“一刀切”教育不利于人才培養(yǎng).筆者在解析幾何習題計算中使用的一題多解都是由學生獨立完成，充分尊重了學生的個體差異，讓學有余力的學生在課堂上有機會體現(xiàn)自己的價值，真正實現(xiàn)了差異性教育.

2.3 認知活動由“重視結(jié)果”向“重視過程”轉(zhuǎn)變

習題只給學生對對答案是當前不少解析幾何習題課的教學現(xiàn)狀.過程遠比結(jié)果重要，缺少過程的結(jié)果是無源之水、無本之木.數(shù)學概念、原理、定理應(yīng)引導(dǎo)學生通過抽象概括得出結(jié)論，過程是不能省略的，解析幾何的運算教學中，筆者引導(dǎo)學生重視每一個解題過程并思考如何優(yōu)化計算，在過程訓練中逐漸理清解題思路.

總之，教師在教學中要不斷研究教材、研究學生、研究教法、研究習題，在解決復(fù)雜的計算時要積極引導(dǎo)學生，通過師生互動、生生互動、生本互動，拓寬解題思路，“從無到有，無中生有”，從各個角度給出解題探索.讓學生的解題速度“從慢到快”、解題經(jīng)驗“從少到多”、解題能力“從弱到強”，“讓學習更加自然，讓備考更加輕松”，讓學生的數(shù)學品格、數(shù)學觀念、數(shù)學素養(yǎng)同步提升[3].