對偶拉格朗日視角的CPI權重

黃秀海 張奧迪 徐振宇

（浙江財經大學數據科學學院，浙江 杭州 310018）

一、引言

由于種種原因，我國目前未公開CPI 權重數據。這使社會各方與學術界研究CPI 各項目權重大小，力求準確預測CPI[1]。從CPI 編制方法來說，大部分發達國家和地區使用“一次性加權平均法”，我國使用的是“多階段加權平均法”，通過層層匯編，最終得到全國CPI[2]。因此，CPI 權重對CPI 準確性有重要影響。

世界各國目前使用《消費者價格指數：國際勞工組織手冊（1989）》中的“按照目的劃分的個人消費分類”（COICOP）[3]對居民消費商品與服務進行分類。COICOP 將住戶最終的消費品與服務劃分為12 個大類、47 個中類、117 個小類、200 多個基本分類。中國總體參照COICOP，將我國居民消費商品與服務劃分為8個大類，并從2016年起，對大類項目進行較大調整。

對于中國來說，影響CPI 準確性的最大因素無疑是各分類項目的權重，特別是中國CPI 居住類權重的大小[4]。我國CPI 權重數據來源于全國12 萬戶城鄉居民家庭各類消費商品與服務項目的家庭支出情況。根據國家統計局編制CPI 的相關規定，這些權重每5年調整一次，每年又進行一定程度的微調[5]。

顯然，要正確編制與理解CPI，必須對我國CPI 權重進行估算。目前，國內實證方面的文獻成果比較少，一些計量方法在模型設計、系統性方面均存在需要完善的地方。

本文從我國CPI 編制理論出發，提出CPI 權重測度方法，進行數學論證，并結合樣本數據進行測度。

二、CPI 權重測度方法的數學證明

CPI 本質上是分類價格指數的加權平均，是8 個大類的分類價格指數與對應權重的加權算術平均數，與8 個大類之間為線性關系。相關的計量模型可寫成如下形式：

其中，αi為待估計的參數，即權重；t 為時間，εt～iid N（0，σ2）。對于式（1）的設計要注意不包含常數項，同時，由于是統計測度，模型必須含有擾動項。當然，作為權重，對于式（1）來說，待估計參數存在一些限制條件。

顯然，在這樣的約束條件下，CPI 權重的測度本質上是一個條件極值問題。利用拉格朗日函數方法，可求解極值時對應的函數參數。現對提出的計量方法進行數學證明與推導。

引入拉格朗日乘子λ，相應的拉格朗日函數如下：

接下來，拉格朗日函數對參數W 求取一階導數，令其等于零。

根據式（4），可以求得參數W：

將式（5）代入式（3），求取拉格朗日函數的對偶函數，將包含參數W、λ 的條件極值問題轉化為僅包含拉格朗日乘子λ 的最大值問題。

這樣，式（6）對偶拉格朗日函數僅包含乘子，并且是僅包含偶拉格朗日乘子的一元二次函數。對式（6）求導，并令其等于零，有：

得到參數為：

現將式（7）代入式（5），即可得到參數，即CPI 權重向量為：

三、權重測度及實證分析

（一）樣本選擇

根據CPI 編制理論，結合公開發布的統計數據，選取CPI 分類指數與CPI月度環比指標。中國CPI 自2001年開始按照GDDS 要求正式編制，因此，樣本時間應該從2001年開始。但國家統計局網站發布的CPI分類價格指數最早始于2006年1月，因此選取2006年1月至2020年12月中國CPI 分類價格指數與月度環比指標，所有數據均來源于國家統計局網站（https：//data.stats.gov.cn/）。美國、日本、德國的CPI月度環比指數、權重數據及分類指數來源于世界經合組織網站（https：//stats.oecd.org/），樣本時間為2015年1月至2020年12月。

（二）部分發達國家CPI 權重驗證性測度

為了驗證CPI 權重測度方法的合理性，對部分發達國家CPI 權重進行驗證性分析。由于發達國家基本上按照GDDS 要求，公布CPI 的同時，各分類項目的權重也公開，透明度較高。運用本文提出的CPI 權重測度方法，對發達國家的CPI 權重進行測度，與公布的CPI真實權重進行對比分析，驗證本文CPI 權重測度方法的合理性。這里選取美國、日本和德國的CPI 權重數據進行對比。

日本、德國的CPI 權重每5年更新一次，美國的CPI 權重每年更新。考慮到中國的CPI 權重每5年更新一次，因此，本文測度日本、德國2016—2020年的CPI 權重；美國對比2020年的真實CPI 權重，考慮到統計測度的穩定性，權重預測值的時間同樣為2016—2020年。相關測度結果見表1。

由表1可知，日本、德國、美國對偶拉格朗日函數乘子分別為12.47、9.61、8.12。測度權重與真實權重利用成對雙樣本進行均值分析，雙側檢驗的概率均為1，說明不能拒絕無差別的原假設。顯然，運用CPI月度指標對分類價格指數進行回歸，對比測度的權重與公布的真實權重發現它們之間差異不顯著，因此提出的CPI 權重測度方法具有可信度與科學性。

表1 2016—2020年部分發達國家CPI 權重真實值與測度值的比較 單位：%

（三）中國CPI 權重測度

通過對部分發達國家CPI 權重的測度結果與公布的真實權重進行對比分析可知，本文運用CPI 編制原理提出的CPI 權重測度方法具有一定的可行性。現在，運用這一方法對中國CPI 權重進行計量分析。相關測度結果見表2。

表2 中國CPI 權重測度結果 單位：%

由表2可知，在2006—2010年、2011—2015年、2016—2020年這三個期間，對偶拉格朗日函數乘子分別為19.49、41.68、4.94。從消費方面分析，在這三個期間，體現居民消費水平的食品占比分別為34.70%、32.79%、31.03%，呈穩步減少趨勢。在醫療保健用品方面的占比分別為8.63%、14.68%、9.93%，有所提高。同樣，在交通和通信方面的占比有上升趨勢。大家廣泛關注的居住類占比分別為14.61%、17.71%、19.48%，雖然顯著提高，但是不管與表1所示發達國家住房類項目的占比相比，還是與大家期望比重相比，仍有很大的爭議性。可見，如何正確計量我國居民居住類比重問題，仍待深入研究。當然，這應該是一個統計核算的基礎問題，而不是一個計量問題。

（四）權重的比較分析

為了更好地了解中國與發達國家的CPI 相關項目情況，現在對它們進行對比分析，相關指標匯總見表3。表3中發達國家的CPI 權重為真實權重（其中美國的CPI 權重為2020年的權重值，中國的CPI 權重為測度值）。

由表3可知，發達國家對居民消費商品與服務的分類比中國更加細致，發達國家居民消費在食品煙酒方面的消費占比（食物與酒精等2 項占比相加）分別為20.9%、13.47%、8.88%，遠遠小于中國居民的食品煙酒消費占比。發達國家居民在住房類方面消費占比分別為27.6%、32.47%、36.63%，遠遠高于中國居民在住房類方面的占比。發達國家居民在家具、醫療、交通、通信、娛樂等方面的消費占比要遠高于中國居民的消費占比。可見，發達國家居民的消費結構優于中國居民的消費結構。

表3 2016—2020年中國與部分發達國家CPI 權重對比情況 單位：%

在中國與發達國家CPI 權重對比中，爭議最大的當屬居住類權重。美國公布的2020年CPI 中居住類權重高達36.63%，而中國2006—2010年CPI 中居住類權重僅為14.61%，2011—2015年的居住類權重上升到17.71%，2016—2020年的居住類權重上升到19.48%，難以匹配房價上漲給消費者帶來的消費壓力。中國的住房自有率相比于很多國家都偏高，2005年中國城鎮居民中自有住房率高達83%，美國同期為68.3%。在計算自有住房租金時，中國國家統計局采用的是“城鎮及工礦區個人建房單位面積工程造價”而不是“商品房銷售價格”，從而有可能嚴重低估自有住房虛擬租金，進而低估自有住房消費權重。使用成本法計算自有住房支出，對住房類消費的權重進行修正，得到居住類消費的權重在20%—50%之間。

目前對居住類價格變化主要是從“房租、建房及裝修材料、物業費、房屋維修費、自有住房貸款利息、水電燃氣以及其他與居住相關的服務費用”等方面考慮，這些對于農村居民來說，他們對于房租、物業費、自有住房的貸款利息、水電燃氣等項目價格變化陌生，或者感受不準確。因為農村居民居住房屋多數是自有住房，不需要考慮這些項目，許多建筑材料自給自足。例如，對于農村居民來說，許多建房材料是自己山上采伐的樹木，自己打制的磚，水是自家的井水，燒的是木材等，外加購買有限的水泥、鋼材等材料，所以他們對于居住價格的感受差別很大。

四、結論

綜合以上的實證分析，可得出如下結論：一是利用CPI 編制理論，發現約束條件下我國CPI 權重的測度問題是一個凸優化問題，通過構建拉格朗日函數與對偶拉格朗日函數，可以得到測度約束條件下的CPI權重。二是對本文提出的計量方法進行橫向檢驗分析，通過與西方國家公布的CPI 真實權重進行對比分析發現，本文提出的計量方法能夠準確計量發達國家CPI 權重，驗證了本文計量方法的科學性與有效性。并且發現西方發達國家居民的消費結構優于中國居民的消費結構，體現在食品煙酒等方面的消費權重小于中國居民的消費權重，而在家具、醫療、交通、通信、住房類等方面消費權重高于中國居民的消費權重。三是從測度結果的對比分析發現，中國居民在住房類方面的消費權重明顯偏低，結合中國目前的高房價情況，住房類權重具有較大的爭議性。這是中國今后CPI 編制工作需要深入研究的問題。

本文研究價值在于，對約束條件下的中國CPI 權重問題，根據CPI 編制原理，通過構建拉格朗日函數與對偶拉格朗日函數，提出在極值處求解CPI 權重的新方法，并對這一方法進行了嚴謹的數學證明。通過驗證性分析后，利用樣本數據，對中國CPI 權重進行了系統性測度，指出今后CPI 編制工作需要解決的關鍵問題。◆