羅茨真空泵偏心大圓弧轉子型線設計及分析

李正清，李小金，楊建斌，劉筱文，韓仙虎，蔡宇宏，王 毅，李曉霞

（蘭州空間技術物理研究所，蘭州 730000）

0 引言

羅茨泵具有啟動快、功耗小、抽速大、效率高、維護費用低等特點，被廣泛應用于半導體、冶金、化工、醫藥等行業中。羅茨泵是一種雙轉子回轉式容積真空泵。工作過程中羅茨泵的一對轉子相向轉動，將氣體由進口端輸運至出口端實現抽氣，轉子在運轉過程中相互嚙合，以減少氣體逆向流動形成的返流。羅茨泵轉子型線的嚙合設計非常重要，直接關系到真空泵的各項性能指標[1-2]。

常見的轉子型線主要分為3類：擺線型、漸開線型和圓弧型[3-11]。在不同的頂圓半徑和節圓半徑下設計及分析常見轉子型線，應用于羅茨泵產品的設計是型線研究的重要內容[3-5]。張帥等[6]應用該方法分析羅茨泵轉子外擺線和內擺線，設計了雙葉型羅茨泵擺線轉子型線；戴映紅等[7]采用此方法設計了氣冷羅茨真空泵轉子的擺線-圓弧型線。上述轉子型線的設計均采用幾何分析的方法，該方法雖然易于理解，但求解過程復雜，計算分析量大。探索新的轉子型線，設計分析新型線的特性是轉子型線研究的重要內容之一。標準圓弧型轉子型線中，圓弧中心均位于轉子型線的對稱軸上，形成由圓弧及其共軛曲線共同組成的轉子型線[8]。偏心圓弧轉子型線由中心位于節圓內的圓弧及頂部密封圓弧構成，能有效提高轉子的容積利用率，但在偏心圓弧和頂部密封圓弧間必須采用過渡曲線，使得轉子部分位置的間隙偏大[9]。在偏心大圓弧轉子型線中，圓弧中心位于節圓內腰部曲線對應的軸上，圓弧半徑遠大于傳統圓弧轉子型線半徑。本文首先確定轉子的偏心大圓弧及對應銷齒圓弧，然后應用轉子嚙合特性，基于偏心大圓弧參數獲得其對應的共軛曲線，形成由偏心大圓弧、銷齒圓弧及偏心大圓弧共軛曲線構成的光滑連接的轉子型線，使得設計及計算過程簡化；其次，應用共軛特性，構建基于理論型線的實際型線設計方法，實現轉子均勻間隙的設計。最后，以70 L/s抽速的羅茨泵為目標，完成轉子型線設計及分析。

1 轉子型線分析

如圖1所示，羅茨泵轉子型線為中心和軸對稱曲線，因此僅須求解整個轉子型線的1/4即可。偏心大圓弧轉子型線中，節圓半徑為R1；AE為偏心大圓弧，圓心O1位于x1軸負半軸，半徑為R2，F為偏心大圓弧上任一點，半徑O1F與節圓相交于D，根據嚙合特性，φ角為F點的嚙合角；CE為頂部銷齒圓弧，圓心位于節圓上P點，半徑為R3；腰部曲線AG為偏心大圓弧AE對應的共軛曲線，BG為腰部銷齒圓弧，圓心位于節圓上H點，半徑為R3；轉子的頂圓半徑為R4。

圖1 羅茨泵偏心大圓弧轉子型線Fig.1 Eccentric large arc rotor profile of Roots vacuum pump

1.1 節圓外型線分析

偏心大圓弧轉子型線分析如圖2所示，連接O1A，在ΔKAH中，AH的長度可表示為：

圖2 偏心大圓弧轉子型線分析Fig.2 Eccentric large arc rotor profile analyzes

假設O1K的長度為l，則O1H的長度為2R1-l。

在ΔO1AH中，偏心大圓弧AE對應的半徑R2由余弦定理可表示為：

圓弧AE的方程可以表示為：

圓弧AE方程中變量α在ΔO1AH中取得最小值，由余弦定理可表示為：

在ΔO1PO中，O1P的長度可以表示為：

頂部圓弧CE是以P點為圓心，以PE為半徑的銷齒圓弧，因此，銷齒圓弧CE的方程可以表示為：

銷齒圓弧的半徑R3=R2-O1P。由圖2可知，方程（7）中自變量γ的最小值為零，在ΔO1PO中可以確定γ的最大值為：

此時轉子頂圓半徑R4=R1+R3。

應用嚙合特性求解轉子共軛曲線對應的型線時，須求解轉子的嚙合角φ，嚙合角為嚙合點法線O1F與節圓的交點D和轉子中心的連線與坐標軸y1的夾角。

在ΔO1DO中，應用正弦定理，β可以表示為：

嚙合角φ可以表示為：

1.2 共軛曲線部分

根據羅茨泵轉子的嚙合特性，共軛曲線的坐標轉換關系可表示為[12]：

式中：d為兩坐標系原點間的距離即為2個轉子中心的距離，由式（11）可確定轉子偏心大圓弧AE對應的共軛曲線部分，其中變量φ值由式（10）確定，（x1，y1）值由偏心大圓弧線式（3）確定。如圖1所示，共軛方程式（11）確定的共軛曲線位于x2O2y2坐標系中（位于轉子2中），需將其平移至轉子1中，并逆時針旋轉π/2。頂部銷齒圓弧與腰部銷齒圓弧BG互為共軛曲線，其方程可以表示為：

自變量γ的取值范圍為（0，π/2-αmax）。

綜上，根據式（3）（7）（11）和（12）便可獲得整個轉子型線的1/4，然后由轉子的軸對稱性，獲得整個轉子的型線。

1.3 轉子實際型線

轉子理論型線的設計間隙為零，轉子在每個嚙合點接觸。在實際的轉子型線設計中，由于加工誤差、應力變形以及熱變形的存在，必須設計適當的間隙，確保轉子的正常運行。因此，分析求解轉子的實際型線是轉子型線設計的重要組成部分[13]。

實際型線求解可分為幾何法和解析法。采用幾何法，須具體分析建立每種實際型線與理論型線的參數關系；采用解析法僅須對型線方程進行求導計算便可獲得實際型線，該方法適用性廣，各種型線的求解步驟相同。基于此，采用解析法分析設計偏心大圓弧轉子實際型線。

如圖3所示，位于節圓外的任一轉子型線AC的參數方程可表示為：

圖3 轉子理論和實際型線Fig.3 Theoretical and actual profile

設M為型線AC上任一點，過該點轉子型線的切線為MN，過M點做切線的垂線，垂線交節圓于D點，設羅茨泵轉子間隙為2δ，則對于單個轉子實際型線需要在法線方向縮進δ，如圖3中，理論型線上M點對應的實際轉子型線點為M＇。

設M點的坐標為（x1，y1），則過M點轉子理論型線的切線MN的斜率kMN可表示為：

法線MD與切線MN垂直，因此法線斜率與切線斜率的乘積為-1，則法線MD的斜率kMD可表示為：

過M點，法線MD方向的單位向量可以表示為：

由于理論型線和實際型線間的距離為δ，因此根據式（14）～（16），圖3中已知理論型線AC對應的實際型線A＇C＇可以表示為：

基于式（15）～（17），采用解析法可獲得轉子的實際型線。若共軛曲線也采用這種方法，須將已知型線式（13）和嚙合角式（10）代入式（11），然后由式（15）～（17）獲得實際型線。顯然，將式（13）和（10）代入（11）形成的表達式很復雜，不利于實際型線的求解。為了簡化求解過程，根據轉子共軛嚙合特性，可首先將已知曲線AC沿法線向外延長δ，然后求解該段曲線對應的共軛曲線即得到腰部實際型線的對應部分。

如圖3所示，將轉子理論型線AC部分向外延伸δ得到的曲線A＇＇C＇＇可表示為：

將由式（18）確定的曲線A＇＇C＇＇的參數代入共軛方程式（11），便可獲得對應轉子2的共軛曲線。根據嚙合特性，轉子1的型線向外延長，必然導致轉子2型線向內收縮δ以保持兩者間的嚙合關系。然后將其通過平移和旋轉移動至轉子1中便可獲得理論型線AB部分的實際型線A＇B＇。

綜上，已知型線方程求解實際型線可分為2步：（1）根據式（16）求解型線法向單位向量；（2）根據式（17）求解實際型線。已知型線方程求解其共軛曲線對應的實際型線可分為3步：（1）根據式（16）求解單位向量；（2）根據式（18）求解向外偏置型線；（3）將由式（18）計算得到的參數代入共軛方程式（11）獲得實際型線。

2 轉子型線設計

2.1 轉子理論型線

按照上述分析步驟，設計羅茨泵產品實際抽速為70 L/s，轉速3 000 r/min，有效抽速為幾何抽速的75%，轉子節圓半徑為R1=34 mm，頂圓半徑R4取48～48.5 mm，由式（1）（2）和（5）可得R4與l的關系，如式（19）所示。在轉子間隙δ=0.1 mm的條件下，分析計算轉子偏心大圓弧圓心位置l、半徑R2，頂部銷齒圓弧半徑R3和轉子長度lrotor。

轉子1/4部分型線的偏心大圓弧AE由式（3）確定，頂部圓弧CE段由式（7）確定，AE對應的共軛曲線部分AG由共軛方程式（11）確定，腰部銷齒圓弧由式（12）確定。當頂圓半徑R4取不同值時，首先獲得轉子1/4型線，然后以坐標軸為對稱軸將1/4轉子型線取對稱，即獲得整個轉子理論型線。最后，由1.3節中依據理論型線求解實際型線的方法獲得轉子實際型線。如圖4所示（圖中為了顯示清晰，間隙取值為2 mm）。偏心大圓弧圓心位置l，偏心大圓弧半徑R2、銷齒圓弧半徑R3及轉子長度lrotor如表1所列。

圖4 偏心大圓弧轉子理論及實際型線Fig.4 Theoretical and actual profile of eccentric large arc rotor

由表1可知，當節圓半徑R1給定時，隨著頂圓半徑R4減小，偏心大圓弧圓心與節圓的距離l增加，半徑R2減小，銷齒圓弧半徑R3減小。由于整機設計抽速不變，隨著轉子頂圓半徑R4減小，轉子腔室截面積減小，為保持整機抽速恒定，須增加轉子長度lrotor，因此轉子長度lrotor隨轉子頂圓半徑R4減小而增大。

表1 不同的R4值下轉子設計參數Tab.1 Design parameters of profile at differentR4單位：mm

2.2 容積利用系數

羅茨泵轉子容積利用系數為轉子頂圓面積與截面面積的差值與轉子頂圓面積的比值，表征羅茨泵轉子的空間利用程度。

式中：C為羅茨泵轉子容積利用系數；B為羅茨泵轉子截面積。

轉子參數對應的容積利用系數如圖5所示。可以看到，在相同的頂圓半徑下，偏心大圓弧轉子型線的容積利用系數優于標準圓弧型線的容積利用系數。

圖5 轉子型線的容積利用系數Fig.5 Volume utilization of profile

2.3 轉子型線討論

從表1可以看出，轉子型線上偏心大圓弧的圓心均位于節圓內部。若在節圓半徑不變的條件下增加頂圓半徑，則偏心大圓弧的圓心將位于節圓外部x1軸上。此時形成的轉子型線將出現圓弧線及其共軛曲線的切線斜率不相等的情形，共軛曲線部分變成折線，如圖6所示。

圖6 羅茨泵轉子型線變成折線Fig.6 Rotor profile form undercutting

因此在設計偏心大圓弧轉子型線時，偏心大圓弧的圓心不能位于x1軸節圓外。

3 結論

通過將羅茨泵轉子型線的圓弧中心設計在腰部曲線對應軸上，進行了偏心大圓弧轉子型線設計；同時，基于共軛特性分析了理論型線和實際型線的轉化關系，并以實際抽速為70 L/s的羅茨泵為設計目標，完成了羅茨泵偏心大圓弧轉子型線的設計及分析，得到以下結論：

（1）偏心大圓弧轉子型線由偏心大圓弧、銷齒圓弧及偏心大圓弧對應的共軛曲線三部分構成。

（2）構建了基于轉子理論型線的實際型線設計方法，特別是在分析共軛曲線的實際型線時，采用將已知型線向外延伸，然后求解獲得共軛曲線的實際型線方法，使得求解過程大幅簡化。

（3）以實際抽速為70 L/s的羅茨泵為設計目標，分析計算了在節圓半徑不變情形下，型線頂圓半徑、銷齒圓弧半徑、轉子長度及容積利用系數等參數。