工業(yè)機(jī)械臂的模型設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)分析

樊宏升

（北京天瑪智控科技股份有限公司，北京 100013）

隨著工業(yè)逐漸步入4.0時(shí)代，大幅提高了社會(huì)生產(chǎn)力，單純的人力已經(jīng)無(wú)法滿足生產(chǎn)快速性與標(biāo)準(zhǔn)化的需求。特別是針對(duì)一些危險(xiǎn)的工作環(huán)境，需要使用自動(dòng)化機(jī)械設(shè)備取代人工進(jìn)行更高效的生產(chǎn)。機(jī)械臂具有普適性，是生產(chǎn)線上代替人工的主要設(shè)備。

工業(yè)機(jī)器人作為機(jī)器人大家族的重要一員，主要指面向工業(yè)生產(chǎn)的或者有多個(gè)自由度的機(jī)器人或者機(jī)械臂。一般來(lái)說(shuō)，工業(yè)機(jī)器人主要由機(jī)器人本體、操控機(jī)器人工作的控制器、伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)及傳感系統(tǒng)組成。機(jī)器人不僅可以自動(dòng)控制，也可以通過(guò)編程完成各工位的相應(yīng)任務(wù)。在當(dāng)今工業(yè)生產(chǎn)中，機(jī)械臂在提高產(chǎn)品良率和生產(chǎn)效率方面扮演了十分重要的角色。

1 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制算法研究現(xiàn)狀

機(jī)械臂軌跡跟蹤控制是機(jī)器人控制中最重要的部分。在應(yīng)用機(jī)器人的過(guò)程中，既要系統(tǒng)功能完善，又要系統(tǒng)性能良好。前者體現(xiàn)在具有相對(duì)寬泛的運(yùn)行空間范圍，后者表現(xiàn)在使用過(guò)程中能夠滿足人們的需求。機(jī)械臂具有和一般機(jī)器人相同的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，即變量多、時(shí)變性大、耦合性高等，運(yùn)行中存在很多不確定因素，對(duì)整個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)產(chǎn)生很大影響。以五軸機(jī)械臂作為研究對(duì)象，基于設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)與尺寸進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析，并通過(guò)計(jì)算得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行實(shí)際仿真，規(guī)劃其運(yùn)動(dòng)軌跡，分析其空間運(yùn)動(dòng)范圍。

2 模型設(shè)計(jì)與計(jì)算

2.1 模型設(shè)計(jì)

本機(jī)械臂是一種關(guān)節(jié)坐標(biāo)式機(jī)器人，如圖1所示。它主要由旋轉(zhuǎn)底座部分（肩膀）、大臂部分、前臂部分及機(jī)頭部分（手腕部分）4部分組成。

圖1 機(jī)械臂模型

2.2 各個(gè)關(guān)節(jié)的力矩估算

各個(gè)關(guān)節(jié)的動(dòng)力參數(shù)是選擇電機(jī)型號(hào)和減速器減速比的重要依據(jù)。根據(jù)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，完整的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程為[1]

式中：q、q˙、˙˙q分別為廣義關(guān)節(jié)坐標(biāo)角度、速度和加速度矢量；M(q)為關(guān)節(jié)空間慣性矩陣；C為科里奧利和向心耦合矩陣；F為摩擦力；G為重力載荷；Q為關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩；W為施加在末端執(zhí)行器的外力；J(q)為機(jī)器人的雅可比矩陣[2]。

為估算每個(gè)關(guān)節(jié)的最大力矩，假定各個(gè)關(guān)節(jié)的重量都集中在關(guān)節(jié)理論中心點(diǎn)，各個(gè)連桿的重量都集中在連桿中間。計(jì)算靜力矩時(shí)，機(jī)械臂主要受到重力產(chǎn)生的力矩作用，將機(jī)械臂拖動(dòng)至產(chǎn)生最大力矩的位置，如圖2所示。

圖2 機(jī)械臂伸展圖

機(jī)械臂位于最長(zhǎng)伸展距離時(shí)，夾持處與大臂電機(jī)的垂直距離為1 091 mm，近似為1.1 m，計(jì)算可得大臂驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)距離計(jì)算質(zhì)心距離為0.55 m。大臂質(zhì)量為2 kg，前臂質(zhì)量為1.54 kg，手腕部分質(zhì)量為2.5 kg，設(shè)計(jì)指標(biāo)夾取的物件質(zhì)量為2 kg，此時(shí)前臂驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)距離最遠(yuǎn)處距離為685 mm，計(jì)算可得前臂驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)距離計(jì)算質(zhì)心距離為0.34 m。前臂質(zhì)量為1.54 kg，手腕部分質(zhì)量為2.5 kg，設(shè)計(jì)指標(biāo)夾取的物件質(zhì)量為2 kg，則第3個(gè)前臂驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的計(jì)算力矩為

旋轉(zhuǎn)底座電機(jī)與腕部旋轉(zhuǎn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)部分不受重力扭矩，主要是加速度扭矩作為負(fù)載驅(qū)動(dòng)整個(gè)機(jī)械臂的旋轉(zhuǎn)。這時(shí)最大扭矩等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量乘以角加速度，即

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式為

機(jī)械臂的質(zhì)量為8.04 kg，桿長(zhǎng)為1.1 m。假設(shè)機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)底座最大角加速度為0.5 rad·s-2，此時(shí)旋轉(zhuǎn)平臺(tái)關(guān)節(jié)的最大扭矩值為

夾具質(zhì)量為0.8 kg，夾持物件質(zhì)量為2 kg，腕關(guān)節(jié)最大角加速度為1 rad·s-2，得出腕關(guān)節(jié)的最大扭矩值為

3 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的是機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特性，從以下兩個(gè)問(wèn)題出發(fā)進(jìn)行分析：一是正運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，即已知機(jī)械臂的連桿參數(shù)和關(guān)節(jié)變量，確定執(zhí)行坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)；二是逆運(yùn)動(dòng)問(wèn)題[3]，即已知機(jī)械臂連桿參數(shù)，給定目標(biāo)為固定姿態(tài)，確定關(guān)節(jié)變量的大小。

3.1 機(jī)械臂的正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

正運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解是根據(jù)已知關(guān)節(jié)變量求末端執(zhí)行端相對(duì)于參考坐標(biāo)系位姿的過(guò)程。正運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)于軌跡規(guī)劃與軌跡跟蹤控制具有重要意義。通過(guò)改進(jìn)D-H方法確立連桿參數(shù)的變換關(guān)系，將機(jī)器人極坐標(biāo)系通過(guò)連桿齊次矩陣的連乘變換到末端執(zhí)行器坐標(biāo)系。利用這種變換可以求解機(jī)器人機(jī)械臂執(zhí)行端相對(duì)于機(jī)器人基座的坐標(biāo)系位置。三維向量n、o、a分別表示在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的向量相對(duì)變換。機(jī)械臂的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以根據(jù)表述的關(guān)系式求解，整理化簡(jiǎn)后為

3.2 機(jī)械臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

正運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的是已知各關(guān)節(jié)角度[4]，計(jì)算執(zhí)行器末端在笛卡爾空間中的位置。逆運(yùn)動(dòng)學(xué)主要研究的是給定執(zhí)行器末端在笛卡爾空間中的位置，計(jì)算各個(gè)關(guān)節(jié)角的角度位置。

從工程應(yīng)用角度來(lái)說(shuō)，待給定各個(gè)關(guān)節(jié)角變量后，正運(yùn)動(dòng)學(xué)有特定唯一的解，此時(shí)末端姿態(tài)是唯一確定的。但是，逆運(yùn)動(dòng)往往有很多種結(jié)果。由于機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，nz、oz、ax、ay都等于0，az=1。若末端的位姿已給定，可以求解關(guān)節(jié)變量θ1、θ2、θ3、θ4、θ5的值。

求解θ1為

求解θ2。在式（8）第一個(gè)等式兩邊依次分別乘有θ23為

所以，有

求解θ3為

求解θ4。由提及的機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)可知，θ4滿足關(guān)系

于是，有

求解θ5。在式（8）第一個(gè)等式兩邊依次分別乘

4 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析

分析工業(yè)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)以及軌跡過(guò)程，可以使用基于MATLAB平臺(tái)開(kāi)發(fā)的機(jī)器人工具箱。

4.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

使用工具箱中的函數(shù)對(duì)工業(yè)機(jī)械臂建模并進(jìn)行正運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，仿真結(jié)果見(jiàn)圖3。可以給定角度進(jìn)行示教調(diào)節(jié)，通過(guò)軟件中的滑塊控制角度的輸入值，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)仿真控制。

圖3 正運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果

4.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

使用工具箱中的函數(shù)對(duì)機(jī)械臂求逆解。先給每個(gè)軸給定角度，計(jì)算此刻的變換矩陣，再將這個(gè)變換矩陣代入逆解函數(shù)，給定目標(biāo)位置與姿態(tài)。

5 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)空間分析與仿真

使用蒙特卡洛方法分析工作空間。蒙特卡洛屬于模擬統(tǒng)計(jì)方法[5]，是一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的數(shù)值計(jì)算方法。先在機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)生成n個(gè)隨機(jī)值，關(guān)節(jié)角的取值為θi=θimin+(θimax-θimin)*rand(1,n)，再將隨機(jī)生成的角度值代入計(jì)算得到的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，最后在MATLAB中將機(jī)械臂的工作空間顯示為點(diǎn)云圖，取隨機(jī)值個(gè)數(shù)為20 000進(jìn)行計(jì)算分析。機(jī)械臂的工作空間如圖5所示。使用蒙特卡洛方法在MATLAB中模擬其工作空間，使得實(shí)際機(jī)械臂的使用更加準(zhǔn)確直觀。

圖4 逆運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果

圖5 機(jī)械臂模擬工作空間

6 結(jié)語(yǔ)

本文闡述工業(yè)機(jī)器臂的應(yīng)用領(lǐng)域與發(fā)展現(xiàn)狀，主要介紹機(jī)械臂的機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，標(biāo)定機(jī)械臂的主要設(shè)計(jì)尺寸，并通過(guò)計(jì)算機(jī)械臂每個(gè)軸承受的最大力矩范圍來(lái)選定滿足條件的步進(jìn)電機(jī)與減速器。分析機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)內(nèi)容時(shí)，簡(jiǎn)單介紹機(jī)械臂坐標(biāo)變換的基礎(chǔ)知識(shí)、位姿在空間的描述、齊次坐標(biāo)矩陣的平移與旋轉(zhuǎn)。以設(shè)計(jì)的機(jī)械臂為研究對(duì)象，使用改進(jìn)D-H方法對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行數(shù)字化建模，并對(duì)其正運(yùn)動(dòng)學(xué)與逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行分析，最后使用蒙特卡洛方法對(duì)機(jī)械臂的空間運(yùn)動(dòng)范圍進(jìn)行計(jì)算。現(xiàn)階段，5自由度工業(yè)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型建立還存在一定誤差，仍需尋找更加精確且有效的化簡(jiǎn)方法，使化簡(jiǎn)得到的動(dòng)力學(xué)方程滿足實(shí)時(shí)軌跡跟蹤的控制要求。