基于鍵合空間理論的直線閉合彈帶啟動特性

鄧致遠，林圣業(yè)，姜鐵牛，王茂森，管紅根，戴勁松

(1.南京理工大學 機械工程學院, 南京 210094; 2.國營第152廠, 重慶 400071)

1 引言

直線閉合彈帶是自動炮無鏈供彈裝置中常用的供彈結構，通過構件間相互碰撞作用完成各種規(guī)定動作，與彈鏈供彈相比，供彈過程不需要除鏈、排鏈等動作，且具有傳動阻力小等優(yōu)點[1]。同時與普通鏈傳動不同，閉合彈帶是一個受結構所限的極少齒數的傳動且傳動距離遠，多邊形效應影響顯著，鏈節(jié)由鏈節(jié)導引約束，鏈節(jié)間連接松散，快速啟停沖擊大，高速運動過程中振動劇烈。

文獻[1-7]利用了多剛體動力學建立了彈鏈動力學模型，但其動力學分析常局限于機械結構，忽視了該系統(tǒng)是一個機電耦合的系統(tǒng)，且閉合彈帶系統(tǒng)是無鏈供彈系統(tǒng)，與有鏈供彈系統(tǒng)不同，其傳動的動態(tài)特性對滿足系統(tǒng)的工作非常重要，上述模型的建立方法是以分析力學及彈性力學為基礎，對于多種能量形式并存的系統(tǒng)，不能用統(tǒng)一的方式實現(xiàn)系統(tǒng)動力學的建模，這在很大程度上制約了該類系統(tǒng)的動力學自動建模與仿真[2]。文獻[8]和文獻[9]分別建立了粗糙球形表面和圓柱形表面的接觸力學模型，結合在多體動力學模型中的接觸運動副處理，該文獻提供了新思路。文獻[10]中利用Adams和Easy5仿真軟件聯(lián)合仿真建立了供輸彈系統(tǒng)機電液耦合仿真。王中雙等[11-13]利用向量鍵合圖解決了機電一體化建模及計算機仿真問題。戴勁松[14-15]將系統(tǒng)動力學鍵合圖理論應用于火炮機構設計，并將其發(fā)展為鍵合空間理論，得到了以結點為中心的鍵合空間模型自動推導方法，可以用統(tǒng)一的方式實現(xiàn)多能域并存系統(tǒng)的建模。

本文以鍵合空間理論為基礎，通過特征結點提取的方式，在模型中描述了不同構件的主要尺寸特征，并以Hertz理論為基礎描述了不同構件間的接觸碰撞關系，建立了準確的直線閉合彈帶鍵合空間模型，并建立了實驗裝置驗證模型的正確性和合理性。在彈鏈的運動過程中，鏈節(jié)間隙、閉合彈帶長度等因素變化產生的振動和沖擊會對鏈節(jié)的動力學特性有較大影響，在閉合彈帶的運轉過程中會導致閉合彈帶系統(tǒng)發(fā)生卡彈、電機啟動力矩過大等現(xiàn)象，分析了直線閉合彈帶鏈節(jié)間隙對電機啟動力矩特性的影響。

2 直線閉合彈帶系統(tǒng)的基本描述

圖1為直線閉合彈帶常見的結構形式，其主要由若干鏈節(jié)(彈托)、鏈輪、鏈節(jié)導軌、電機及彈丸支撐架組成。

圖1 直線閉合彈帶常見結構示意圖Fig.1 Top view of a linear closed shell chain

針對該通用結構，通過簡化結構的外觀尺寸，建立如圖2所示的平面閉合彈帶結點模型，使其適用于鍵合空間的模型建立形式。

圖2 平面閉合彈帶系統(tǒng)結點模型示意圖Fig.2 The junction model of a plane closed projectile belt system

2.1 鏈節(jié)(彈托)特征提取與模型簡化

閉合彈帶的啟停、穩(wěn)定運行的動力學特性受鏈節(jié)形狀及物理特性的影響，不同彈鏈形狀及形式對閉合彈帶系統(tǒng)的動力學特性影響較大，因此結點模型中需保留單個鏈節(jié)的物理特征信息，如圖3(a)所示，提取閉合彈帶的主要連接點及質心特征，將閉合彈帶的所有受力情況，確定為閉合彈帶模型4個功率輸入點的受力，在傳動過程中，由于C點為銷軸與E處的孔配合，且鏈輪只與銷軸接觸，因此，4點的接觸關系如圖3所示。其中A點為單個鏈節(jié)的質心位置，B點為鏈節(jié)與彈丸之間接觸受力點，C點為該鏈節(jié)與上一個鏈節(jié)的轉動副受力點，D點為鏈節(jié)與鏈節(jié)導軌內側的接觸受力點，E點受3個力，分別為該鏈節(jié)與下一個鏈節(jié)的轉動副受力、該鏈節(jié)與鏈節(jié)導軌外側接觸受力及該鏈節(jié)與鏈輪之間的接觸受力，各接觸力大小由接觸深度判定，因此，在計算過程中不發(fā)生接觸的2個節(jié)點之間相互作用力為零。

基于上述簡化模型，定義兩鏈輪軸心所在直線為全局坐標系x軸，如圖3(b)所示，添加鏈節(jié)形狀參數α為C、E兩特征點與鏈節(jié)坐標系x軸正方向的夾角，使得該模型可適用于不同鏈節(jié)模型，同時定義鏈節(jié)位置參數θ為單個鏈節(jié)在全局坐標系下的方向角，如圖3(c)所示。即可得到BCDE點與A點之間的速度v、角速度ω關系為：

(1)

式(1)中：q=b,c,d,e；lb、lc、ld、le分別表示點B、C、D、E至點A的距離。

圖3 鏈節(jié)模型特征示意圖Fig.3 Simplified schematic diagram of chain model features

2.2 鏈輪與鏈節(jié)嚙合特征描述

圖4表示了鏈輪與鏈節(jié)的嚙合。鏈節(jié)在鏈輪處主要通過與鏈輪兩端銷軸的接觸限制鏈節(jié)并傳遞扭矩，在本模型中采用2個接觸描述鏈輪與鏈節(jié)的約束情況，分別為：① 鏈節(jié)端點與虛線鏈節(jié)軌道之間的接觸描述嚙合時的徑向力F1；② 鏈節(jié)與簡化十字形鏈輪之間的接觸描述鏈節(jié)所受法向力F2。

圖4 鏈輪與鏈節(jié)嚙合示意圖Fig.4 Sprocket and chain meshing feature description diagram

F1和F2的求解，除上述鏈節(jié)結構參數外，還需定義直線閉合彈帶的結構參數(見圖4)。兩鏈輪軸心所在直線為全局坐標系x軸，兩鏈輪軸心連線的中垂線為y軸。定義兩鏈輪中心位置分別為(x1,0)和(-x1,0)，軌道半徑為r1，兩鏈輪轉角分別為θ1和θ2，輪齒齒數為n，以圖4所示左側鏈輪為例，可確定鏈節(jié)軌道函數l(x)為：

(2)

鏈節(jié)各結點的坐標均為在全局坐標系下的坐標，以單個鏈節(jié)為例，第i個鏈節(jié)的結點E坐標為(xei,yei)與軌道函數l(x)的侵入深度，如式(3)所示，即結點坐標至軌道函數的距離。

(3)

鏈條結點E(xe,ye)與鏈輪輪齒的侵入深度，如式(4)所示，即結點E(xe,ye)至最近一條鏈輪直線的距離函數。

(4)

式(4)中，δθi表示鏈節(jié)與接觸鏈輪撥齒之間的角度差。

在此，利用取最小值來獲得二者的角度差，同時n表示鏈輪的齒數，θx(j)表示每個鏈輪齒在全局坐標系下的指向角度，θE表示每個鏈節(jié)結點E與鏈輪中心連線與x軸正方向的夾角。δθi表達式為：

(5)

(6)

(7)

2.3 平面閉合彈帶接觸力及間隙特征描述

根據接觸力學理論將法向接觸力簡化為等效彈簧阻尼模型，其廣義表達式為：

(8)

根據Hertz接觸理論，可推導出接觸剛度計算式為：

(9)

式(9)中：R為接觸點綜合曲率半徑；E為兩接觸構件的綜合彈性模量。

在模型中，鏈節(jié)與鏈節(jié)導引之間的接觸為兩圓柱體交叉接觸，該類接觸等同于一個球體與一個平面接觸；而鏈節(jié)與鏈節(jié)之間、鏈節(jié)與彈丸之間、鏈節(jié)與鏈輪之間兩中心軸平行的圓柱體之間的接觸，其作用力與接觸深度呈線性比例關系，即：

(10)

式(10)中，L為兩接觸體接觸線長度。

接觸阻尼模型可采用Lankarani和Nikravesh根據能量損耗給出的基于法向變形量的非線性滯后阻尼模型[16]，即：

(11)

式(11)中：K為接觸剛度；e為碰撞恢復系數；ν為接觸點碰撞速度；δ為接觸點的法向變形量；a為非線性阻尼的冪指數。

在此基礎上，加入接觸副間隙判定函數，即：

(12)

式(12)中：l為兩接觸弧面圓心距離；e為兩接觸面運動副單邊間隙；H(x)為間隙判定矩陣，當x>0時H(x)為單位矩陣，當x<0時H(x)為零矩陣。

在鏈節(jié)與其他零件的接觸過程中，兩接觸面之間是相互滑動的，因此將切向接觸力定義為庫倫摩擦模型。其表達式為：

Ff=-μdFnsgn(ν)

(13)

式(13)中：Ff為嚙合點的滑動摩擦力；μd為動摩擦因數；Fn為接觸面正壓力；ν為嚙合點的相對滑移速度。

3 直線閉合彈帶的鍵合空間模型

依據鍵合空間理論，建立閉合彈帶系統(tǒng)鍵合空間模型的方法和步驟，在上述模型的基礎上繪制閉合彈帶鍵合空間模型，如圖5所示。閉合彈帶鍵合空間模型由多個相同鏈節(jié)構成，若需建立一個鏈節(jié)數為n的閉合彈帶模型，只需將若干單個鏈節(jié)鍵和空間模型首尾相連即可，依據鍵合空間的符號規(guī)則，所有容性元件C、慣性原件I、阻性原件R、摩阻元件H及勢源Se均以所連接的共流節(jié)1腳標做區(qū)分，圖5中，1(i,1)代表第i個鏈節(jié)的1號共流節(jié)，其余共流結標號依此類推，1(i,1)表示第i個鏈節(jié)C節(jié)點與第i-1個鏈節(jié)E節(jié)點之間轉動副的流空間，1(i,2)為與第i個鏈節(jié)對應的彈丸流空間，1(i,3)為第i個鏈節(jié)質心的流空間，1(i,4)為第i個鏈節(jié)E節(jié)點的流空間，1(i,5)為第i個鏈節(jié)D節(jié)點的流空間，1(i,6)、1(i,7)分別表示第i個鏈節(jié)E節(jié)點與驅動鏈輪、從動鏈輪的相對速度流空間，1(i,8)為第i個鏈節(jié)B點與對應彈丸的相對速度流空間,1(9)和1(10)分別為主動鏈輪和從動鏈輪的流空間；容性元件C(i,1)為第i個鏈節(jié)C節(jié)點與第i-1個鏈節(jié)E節(jié)點接觸力的彈性部分，C(i,4)為第i個鏈節(jié)E節(jié)點與鏈節(jié)導軌外側接觸力的彈性部分，C(i,5)為第i個鏈節(jié)D節(jié)點與鏈節(jié)導軌內側接觸力的彈性部分，C(i,6)為第i個鏈節(jié)E點與驅動鏈輪接觸力的彈性部分，C(i,7)為第i個鏈節(jié)E點與從動鏈輪接觸力的彈性部分，C(i,8)為第i個鏈節(jié)B點與彈丸接觸力的彈性部分；阻性元件R(i,1)為第i個鏈節(jié)C節(jié)點與第i-1個鏈節(jié)E節(jié)點接觸力的阻尼部分，R(i,4)為第i個鏈節(jié)E節(jié)點與鏈節(jié)導軌外側接觸力的阻尼部分，R(i,5)為第i個鏈節(jié)D節(jié)點與鏈節(jié)導軌內側接觸力的阻尼部分，R(i,6)為第i個鏈節(jié)E節(jié)點與驅動鏈輪接觸力的阻尼部分，R(i,7)為第i個鏈節(jié)E節(jié)點與從動鏈輪接觸力的阻尼部分，R(i,8)為第i個鏈節(jié)B節(jié)點與彈丸接觸力的阻尼部分，R(i,10)為從動鏈輪轉動副的阻尼部分；摩阻元件H(i,4)為第i個鏈節(jié)E節(jié)點與鏈節(jié)導軌外側的摩擦阻力，H(i,5)為第i個鏈節(jié)D節(jié)點與鏈節(jié)導軌內側的摩擦阻力；慣性元件I(i,2)為第i個鏈節(jié)所對應彈丸的質量，I(i,3)為第i個鏈節(jié)質心的質量，I(9)為驅動電機轉子的轉動慣量，I(10)為從動輪的轉動。

圖5 直線閉合彈帶鍵合空間模型示意圖Fig.5 Bond space picture of a linear closed shell chain

慣量；[MTF]1、[MTF]2、[MTF]3和[MTF]4分別為第i個鏈節(jié)質心速度與其B點、C點、D點、E點速度之間的傳遞關系，[MTF]5、[MTF]6代表驅動鏈輪、從動鏈輪扭矩與各鏈節(jié)E點之間相互作用力的關系。

依據鍵合空間模型，因果關系主要以驅動鏈輪的Se輸入為入口，以各節(jié)點的R元件為出口，同時單個鏈節(jié)能量流動主要由鏈節(jié)質心流向鏈節(jié)的4個節(jié)點，能量在鏈節(jié)間的流動均以圖5中初定方向為正方向，在計算中符號僅代表能量流動方向。同時依據圖5中慣性元件和容性元件的因果關系，即以確定系統(tǒng)的動力學狀態(tài)方程為：

(14)

式中q表示對應速度流空間的流在時間長度上的積分，即位變；p表示對應勢在時間長度上的積分，即動量變量。在上述鍵合空間模型中使用[MTF]元件表示鏈節(jié)結點之間的勢流關系，在推導過程中，各節(jié)點位置的獨立計算會導致隨著計算步數的增加鏈節(jié)節(jié)點相對位置畸變，因此B、C、D、E節(jié)點位置改為由A節(jié)點位置獲得，使每一步計算中鏈節(jié)結點位置相對固定，例如在方程中對q(i,4)進行計算時不采用迭代積分的方法，而根據剛體幾何關系由質心位置確定。因此式(14)為以p(i,2)、p(i,3)、p(i,9)、p(i,10)為自變量的一階微分方程組。

4 實驗

4.1 實驗裝置介紹

為驗證仿真模型的正確性和有效性，在直線閉合彈帶鍵合空間模型的基礎上，以某型直線閉合彈帶為對象，對上述模型進行實驗驗證，實驗原理圖如圖6所示。由工控機控制伺服電機達到目標轉速，在伺服電機輸出軸與直線閉合彈帶系統(tǒng)輸入軸之間安裝扭矩傳感器，以測量電機扭矩。

圖6 直線閉合彈帶系統(tǒng)實驗原理示意圖Fig.6 Schematic diagram of a linear closed shell chain system

該實驗主要儀器及設備有：伺服電動機及其驅動器；斜齒硬齒面減速器；T10F扭矩法蘭傳感器及其采集盒；雙十字萬向節(jié)驅動軸；運動控制卡ADT8940；工控機；電機傳感器工裝、實驗臺架工裝、傳動軸過渡工裝，實驗裝置如圖7所示。

圖7 直線閉合彈帶系統(tǒng)實驗裝置示意圖Fig.7 Test device diagram of a linear closed shell chain system

在該閉合彈帶裝置實驗系統(tǒng)中，考慮到各傳動尺寸及萬向節(jié)對該電機的輸出功率影響較大，因此，在扭矩傳感器安裝時并不將其之間連接在電機主軸上，而是采取將傳感器直接連接在尺寸軸與鏈輪軸之間的方式，直接獲取鏈輪軸的輸入扭矩。

4.2 模型驗證

搭建實驗裝置并采集目標轉速為50 r/min時的轉速和扭矩曲線，并依據表1參數進行仿真計算，為將采集到的數據與仿真數據對比，得到鏈輪速度實驗與仿真對比曲線和轉矩實驗與仿真對比曲線分別如圖8和圖9所示。

表1 計算參數

Table 1 Parameters

參數值彈性模量E/ GPa206彈鏈尺寸/mmb=17/c=e=26/d=14綜合曲率半徑R/mm4.2非線性彈性力冪指數n1碰撞恢復系數e0.9非線性阻尼的冪指數a1.5彈鏈質量m/mg0.235 8慣性矩J/(kg·m-2)478×10-6

圖8 直線閉合彈帶系統(tǒng)實驗和仿真轉速曲線

圖9 直線閉合彈帶系統(tǒng)實驗和仿真扭矩曲線Fig.9 Comparison curve of torque between tests and simulation of the linear closed elastic belt system

由圖8和圖9可以看出，鍵合空間動力學模型仿真數據與實驗數據趨勢基本一致，表2為仿真和實驗的力矩曲線主要特征值對比，其中穩(wěn)定后最大力矩絕對誤差為-0.03 N·m，相對誤差為-1.54%，穩(wěn)定后平均力矩絕對誤差為0.07 N·m，相對誤差為5.94%，二者相對誤差均在10%以內，能夠較好地描述閉合彈帶系統(tǒng)穩(wěn)定工作時的狀態(tài)，表明上述鍵合空間模型可以正確描述出閉合彈帶系統(tǒng)的傳動機理。其中穩(wěn)定后平均力矩主要受鏈節(jié)與導軌之間和鏈輪軸與基架間的摩擦力影響，其仿真數據大于實驗數據原因在于模型中的摩擦系數選取較大(未考慮潤滑及磨合情況)，其二穩(wěn)定后最大力矩仿真數據略小于實驗數據，表明仿真數據相對實驗數據振動程度更小，其原因主要在于鍵合空間模型中的接觸力模型誤差所導致。

表2 實驗數據與仿真數據 Table 2 Comparison of test data and simulation data

綜上所述，上述鍵合圖模型可以正確描述閉合彈帶系統(tǒng)，該模型具有正確性和有效性，在后續(xù)計算分析中,以該模型代替實物物理模型進行分析。

5 不同間隙下直線閉合彈帶啟動特性分析

在直線閉合彈帶系統(tǒng)運行過程中，鏈節(jié)的振動對整體系統(tǒng)影響較大，尤其在彈鏈較長的閉合彈帶系統(tǒng)和極少齒數的直線閉合彈帶系統(tǒng)中，鏈節(jié)的抖動問題更為嚴重，同時在對航炮等空間有限的自動機供彈時，減小供彈系統(tǒng)體積，減小系統(tǒng)所需啟動力,能夠大大增加自動機供彈系統(tǒng)的可靠性?？紤]到鏈節(jié)間隙不僅可以影響鏈傳動過程中的張緊力，同時也會影響鏈節(jié)直線段的振動特性等因素，利用上述仿真模型,對鏈節(jié)間隙大小在直線閉合彈帶系統(tǒng)啟動特性中的影響進行探究。通過改變鏈節(jié)間隙大小，仿真計算不同間隙下直線閉合彈帶電機啟動力矩如圖10所示。

圖10 不同間隙下啟動力矩曲線Fig.10 Starting torque curve under different clearance

由圖10可知，當鏈節(jié)間隙μ=0 mm時，啟動力矩峰值出現(xiàn)在0.009 54 s，峰值為-6.335 17 N·m，隨著間隙的不斷增大，當鏈節(jié)間隙μ=0.2 mm時，啟動力矩峰值出現(xiàn)在0.054 48 s，峰值為-3.749 34 N·m，在仿真數據范圍內，直線閉合彈帶系統(tǒng)鏈節(jié)間隙越小，電機啟動力矩峰值越大，電機達到峰值扭矩的時間越短，但隨著間隙的逐步增大，在間隙由μ=0.15 mm增大至μ=0.2 mm的情況下，啟動力矩峰值只減小了0.166 04 N·m，隨著間隙的增大，間隙增量對啟動力矩峰值大小的影響逐步減小，但對力矩峰值出現(xiàn)時間的影響依然明顯。

仿真結果說明：隨著鏈節(jié)間隙的逐步增大，驅動電機啟動過程中的沖擊強度逐漸減小。其原因在于增大鏈節(jié)間隙，鏈輪需要更大的運動角以帶動整個鏈節(jié)運動，因此鏈節(jié)間隙將n個鏈節(jié)同時驅動的過程變成多個鏈節(jié)逐步驅動的過程，此過程在一定程度上可以減小直線閉合彈帶系統(tǒng)對驅動電機的性能要求，減小電機體積和供彈系統(tǒng)體積。但過大的鏈節(jié)間隙則會影響閉合彈帶系統(tǒng)的緊湊性，同時，鏈節(jié)間隙過大也會影響鏈輪驅動鏈節(jié)時的嚙合情況。

圖11為鏈節(jié)間隙分別為0.05 mm、0.1 mm、0.15 mm和0.2 mm下電機穩(wěn)定力矩曲線。

圖11 不同間隙下電機穩(wěn)定力矩曲線Fig.11 Motor stable moment curve under different clearance

由圖11可知，當鏈節(jié)間隙為0.05 mm和0.1 mm時，電機扭矩有明顯的周期性波動，且在波動過程中會周期性產生峰值，峰值大小隨鏈節(jié)間隙的增大逐步減小。

由于鏈傳動受多邊形效應影響，其傳動過程中不可避免地產生周期性波動，在直線閉合彈帶系統(tǒng)中，撥彈輪齒數越少，多邊形效應越明顯，因此，極少齒數直線閉合彈帶抖動比較劇烈，由上述仿真結果可知，適當增大鏈節(jié)間隙，在一定程度上可以減小周期性峰值大小，為減小鏈節(jié)抖動提供了新思路。

6 結論

本文以鍵合空間理論為基礎建立了直線閉合彈帶的動力學模型，對直線閉合彈帶系統(tǒng)運行過程中的不同接觸碰撞進行分類并進行結點化描述，在Hertz接觸模型的基礎上加入間隙因子，獲得機電耦合狀態(tài)下的直線閉合彈帶動態(tài)特性，并以某直線閉合彈帶實驗裝置為基礎，驗證了模型的正確性，分析了不同鏈節(jié)間隙下直線閉合彈帶系統(tǒng)的啟動特性，得到以下主要結論：

1) 基于鍵合空間理論的直線閉合彈帶系統(tǒng)動力學模型計算結果與實驗結果一致，驗證了本文所提出模型的正確性與有效性。

2) 適當增大直線閉合彈帶系統(tǒng)鏈節(jié)間隙，能夠有效減小電機啟動時的沖擊，一方面有利于直線閉合彈帶系統(tǒng)在與自動機的匹配過程中，通過采用調節(jié)間隙的方式選取力矩更小的電機，減小空間占用，同時，更小的啟動力矩峰值可以增加閉合彈帶系統(tǒng)啟動的平穩(wěn)性。

3) 適當增大直線閉合彈帶系統(tǒng)鏈節(jié)間隙可以明顯減小電機扭矩的周期性波動峰值，可以為減小直線閉合彈帶系統(tǒng)運行過程中的振動提供新的思路。