考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)和落角約束的二階滑模制導(dǎo)律

王思卓， 范世鵬， 林德福， 劉經(jīng)緯

(1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院， 北京 100081； 2.北京理工大學(xué) 中國(guó)- 阿聯(lián)酋智能無(wú)人系統(tǒng)“一帶一路”聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室， 北京 100081)

0 引言

傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引制導(dǎo)律形式簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，在工程上得到了廣泛的應(yīng)用[1-2]。隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的不斷發(fā)展，目標(biāo)的防御性和機(jī)動(dòng)性越來(lái)越強(qiáng)，因此要求導(dǎo)彈能夠在精確命中目標(biāo)的同時(shí)滿足期望的終端落角[3-4]。如攔截導(dǎo)彈時(shí)能以較小的迎角直接與目標(biāo)碰撞。打擊地面坦克、飛機(jī)機(jī)翼等目標(biāo)時(shí)，能以適當(dāng)?shù)慕嵌葘?duì)其薄弱部位進(jìn)行毀傷。針對(duì)此類機(jī)動(dòng)目標(biāo)，當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力較強(qiáng)時(shí)，在末制導(dǎo)段逃逸能力強(qiáng)[5]，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化劇烈，彈目視線角速率具有大幅振蕩的特性，且隨著彈目距離的接近發(fā)散更加嚴(yán)重，使脫靶量增大[6]。此外，高機(jī)動(dòng)導(dǎo)彈末制導(dǎo)段彈目距離較近，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)估測(cè)誤差等微小擾動(dòng)會(huì)對(duì)彈目視線角速率獲取產(chǎn)生較大的影響。因此有必要研究帶終端角度約束的強(qiáng)魯棒性制導(dǎo)律。

隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，多種控制方法被應(yīng)用于導(dǎo)彈制導(dǎo)領(lǐng)域，如H∞控制[7-9]、李雅普諾夫函數(shù)方法[10-11]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[12-14]等。

滑模變結(jié)構(gòu)控制具有高精度和強(qiáng)魯棒性的特點(diǎn)，因而廣泛應(yīng)用于帶約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[15-16]。文獻(xiàn)[17]利用終端滑模(TSM)針對(duì)靜止目標(biāo)設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間收斂的角度約束制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[18]基于零化視線角速率的思想分析了終端碰撞角和彈目視線角的關(guān)系，并針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)提出基于終端滑模的角度約束制導(dǎo)律。但終端滑模存在固有的奇異問(wèn)題，容易導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散。為解決該問(wèn)題，文獻(xiàn)[19-20]提出基于非奇異終端滑模(NTSM)的角度約束制導(dǎo)律。NTSM雖解決了奇異問(wèn)題，但其含有的不連續(xù)切換函數(shù)引起了高頻抖振現(xiàn)象，這將會(huì)激發(fā)系統(tǒng)的未建模高頻特性，導(dǎo)致系統(tǒng)制導(dǎo)性能變差，甚至破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性[21]。為抑制高頻抖振，邊界層法、趨近律法、觀測(cè)器法等都是有效的解決方法。文獻(xiàn)[22]利用連續(xù)的飽和函數(shù)對(duì)符號(hào)函數(shù)進(jìn)行近似處理，降低了抖振，但是該方法導(dǎo)致系統(tǒng)魯棒性隨著邊界層的增大而下降。為解決該問(wèn)題，文獻(xiàn)[23]基于高階滑模算法設(shè)計(jì)了一種具有連續(xù)特性的二階滑模制導(dǎo)律，將Super-twisting算法作為滑模控制的趨近律，消除了制導(dǎo)律中的不連續(xù)項(xiàng)，從而削弱了抖振。但傳統(tǒng)Super-twisting算法存在系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)收斂速度慢、不能充分利用導(dǎo)彈過(guò)載能力的不足[24]。觀測(cè)器法是一種前饋擾動(dòng)抑制的方法，其思想是在線估計(jì)系統(tǒng)的擾動(dòng)并前饋到控制律中來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)的抑制。針對(duì)攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)問(wèn)題，文獻(xiàn)[25]設(shè)計(jì)了一種高增益觀測(cè)器(HGO)對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[26]設(shè)計(jì)了一種H∞觀測(cè)器對(duì)目標(biāo)加速度進(jìn)行估計(jì)。但文獻(xiàn)[25-26]所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器只是漸近收斂。為此，文獻(xiàn)[27]設(shè)計(jì)了一種擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)估計(jì)目標(biāo)的加速度，且是有限時(shí)間收斂的，能有效克服目標(biāo)機(jī)動(dòng)帶給系統(tǒng)的干擾。但該觀測(cè)器需要目標(biāo)加速度上界信息，而該信息一般不易獲得。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文基于自適應(yīng)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器和Super-twisting算法設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間收斂的二階滑模制導(dǎo)律，在傳統(tǒng)Super-twisting算法的基礎(chǔ)上引入快速收斂項(xiàng)，提升了系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)的收斂速度，充分利用了導(dǎo)彈的過(guò)載能力，并有效地解決了抖振問(wèn)題。針對(duì)攻擊高機(jī)動(dòng)目標(biāo)的情形，本文將目標(biāo)加速度視為系統(tǒng)擾動(dòng)，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)進(jìn)行在線估計(jì)。與前述幾種觀測(cè)器不同，本文通過(guò)對(duì)該觀測(cè)器的增益進(jìn)行自適應(yīng)處理，克服了傳統(tǒng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)增益時(shí)對(duì)系統(tǒng)上界信息的依賴，所提算法能夠在保證控制精度的同時(shí)，有效地克服滑模控制中常見(jiàn)的高頻抖振現(xiàn)象，并以期望的終端落角命中目標(biāo)。

1 制導(dǎo)問(wèn)題描述及相關(guān)引理

1.1 問(wèn)題描述

在慣性坐標(biāo)系下建立彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，如圖1所示。圖1中，Oxy為地面慣性坐標(biāo)系，r為彈目相對(duì)距離，q為彈目視線角，M和T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)，θM和θT分別為導(dǎo)彈的彈道傾角和目標(biāo)的航跡角，vM和vT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度，aM和aT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的法向過(guò)載。規(guī)定圖1中所有角度逆時(shí)針為正。

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型Fig.1 Relative motion model of missile and target

根據(jù)圖1中的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，得到導(dǎo)彈末制導(dǎo)階段的數(shù)學(xué)模型為

(1)

(2)

(3)

(4)

對(duì)(1)式和(2)式分別求1階導(dǎo)數(shù)，可得

(5)

(6)

式中：aMr、aTr分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)沿彈目視線方向的加速度，aMr=aMsin(q-θM)，aTr=aTsin(q-θT)；aMq、aTq分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)垂直于彈目視線方向的加速度，aMq=aMcos(q-θM)，aTq=aTcos(q-θT)。對(duì)于大部分氣動(dòng)力控制的戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈，沿著速度方向的軸向加速度往往不可控，因此本文僅利用(6)式設(shè)計(jì)制導(dǎo)律。

假設(shè)導(dǎo)彈命中目標(biāo)時(shí)，攻角近似為0°，則落角可以近似為命中時(shí)刻導(dǎo)彈的彈道傾角和目標(biāo)航向角之差，如圖2所示。

圖2 導(dǎo)彈命中時(shí)刻落角示意圖Fig.2 Impact angle at the time of hitting the target

圖2中，θi為期望的落角，qf為命中時(shí)刻的彈目視線角，θMf和θTf分別為命中時(shí)刻導(dǎo)彈的彈道傾角和目標(biāo)航向角，則有

θi=θTf-θMf

(7)

根據(jù)零化視線角速率的思想，在命中時(shí)刻，以下關(guān)系成立：

vMsin (θMf-qf)=vTsin (θTf-qf)

(8)

根據(jù)幾何關(guān)系，可以進(jìn)一步得到：

vMsin (θTf-qf-θi)=vTsin (θTf-qf)

(9)

vMsin (θTf-qf)cosθi-vMcos (θTf-qf)sinθi=vTsin (θTf-qf)

(10)

(11)

整理可得：

(12)

(13)

q(tf)=qf

(14)

選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

(15)

對(duì)(6)式進(jìn)行整理，可得帶落角約束的制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)方程：

(16)

1.2 相關(guān)引理

為分析和證明方便，引入如下引理：

引理1[28]對(duì)于如下系統(tǒng)：

(17)

引理2[29]對(duì)于如下系統(tǒng)：

(18)

式中：c1、c2均為正常數(shù)；0<α1<1,α2>1。該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是有限時(shí)間穩(wěn)定的，且收斂時(shí)間滿足：

(19)

引理3[30]考慮如下Super-twisting算法：

(20)

式中：k1、k2為待設(shè)計(jì)參數(shù)，則該算法是有限時(shí)間收斂的。該引理的證明可參考文獻(xiàn)[31]。

引理4[32]假設(shè)V(x)是定義在U?n上的C1光滑正定函數(shù)，如果對(duì)于任意β1>0和β2∈(0,1)都有定義在U?n的函數(shù)滿足：

(21)

則存在區(qū)域U0?n使得任意初值在U0?n內(nèi)的V(x)都能在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)V(x)≡0。另外，到達(dá)V(x)≡0的時(shí)間Tr滿足：

(22)

進(jìn)一步地，對(duì)于任意常值參數(shù)c,l>0和0<κ<1，都有定義在U?n的函數(shù)V(x)滿足：

(23)

則存在區(qū)域U0?n使得任意初值在U0?n內(nèi)的V(x)都能在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)V(x)≡0。另外，到達(dá)V(x)≡0的時(shí)間Tr滿足：

(24)

引理5[33]考慮如下系統(tǒng)：

(25)

ua(t)=-[μa+σa(t)]sgn (ψa)

(26)

μa>0、σa(t)為自適應(yīng)增益，滿足如下的自適應(yīng)律：

(27)

(28)

ηa(t)=r0a+ra(t)

(29)

(30)

(31)

(32)

從而能夠保證有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)σa(t)>|a(t)|，使得滑動(dòng)模態(tài)能夠持續(xù)。此外，自適應(yīng)增益σa(t)和ηa(t)是有界的。

在參數(shù)δ0a、αa、qa給定的情況下，只需知道ρ1的階數(shù)，選擇足夠大的γa，即可通過(guò)選擇合適的εa使不等式(32)式成立，而無(wú)需知道ρ1的具體值。

對(duì)于滑模面ψa，等效控制輸入ueqa就是a(t)。根據(jù)自適應(yīng)律(27)式～(31)式，σa將會(huì)不斷增大直至滑模運(yùn)動(dòng)開(kāi)始發(fā)生，之后σa開(kāi)始減小。因此它將收斂至一個(gè)安全的鄰域內(nèi)，該鄰域保持在ueqa附近，且取決于參數(shù)εa和αa。該鄰域表示為

(33)

2 自適應(yīng)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

針對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)(16)式設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器。

考慮如下輔助變量：

e=z-x2

(34)

式中：z滿足如下動(dòng)力學(xué)方程：

(35)

c1d>0，c2d>0，0<α1d<1，α2d>1。

考慮如下滑模面：

(36)

(35)式中的變量vz滿足如下動(dòng)力學(xué)方程：

(37)

式中：μd>0；σd(t)>L1。則對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)d的估計(jì)可由(38)式得到：

Δ=vz

(38)

證明對(duì)(34)式求導(dǎo)，可得

(39)

(39)式代入(36)式，可得

Sd=vz-d

(40)

對(duì)(40)式求1階導(dǎo)數(shù)，得

(41)

取如下李雅普諾夫方程：

(42)

則

(43)

由于Td>0且σd(t)>L1，則有

(44)

因此滑模面Sd將在有限時(shí)間內(nèi)收斂至0。

此時(shí)，將Sd=0代入(36)式，可得

(45)

由引理2可知，e將在有限時(shí)間內(nèi)收斂至0，收斂時(shí)間滿足：

(46)

系統(tǒng)擾動(dòng)的估計(jì)誤差可由(47)式定義：

ed=Δ-d

(47)

式中：Δ是自適應(yīng)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器的輸出量。

根據(jù)(38)式和(40)式可知ed=0。因此，觀測(cè)器(34)式～(38)式能夠在有限時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確跟蹤擾動(dòng)d。

上述內(nèi)容也說(shuō)明當(dāng)σd>L1時(shí)，所提出的擾動(dòng)觀測(cè)器能夠在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)d作出準(zhǔn)確估計(jì)，但在實(shí)際問(wèn)題中，L1的具體值很難獲取[33]，因此采用自適應(yīng)方法對(duì)該觀測(cè)器進(jìn)行改進(jìn)。

考慮(34)式～(38)式所設(shè)計(jì)的滑模擾動(dòng)觀測(cè)器，增益σd將通過(guò)以下自適應(yīng)律進(jìn)行更新：

(48)

(49)

ηd(t)=r0d+rd(t)

(50)

(51)

(52)

(53)

因此，σd(t)>|L1|將在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)，從而保證滑動(dòng)模態(tài)能夠持續(xù)。此外，σd(t)和ηd(t)是有界的。

不等式(53)式只是充分條件。因此，并不需要設(shè)定L2的具體值，只要參數(shù)γd選取的足夠大，不等式(53)式即可成立。

3 快速Super-twisting滑模制導(dǎo)律

3.1 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

根據(jù)(16)式，aM可進(jìn)一步表示為aM=aeq+aaux，aeq為等效控制項(xiàng)，aaux為輔助控制項(xiàng)。

滑模控制可分為兩個(gè)階段：第1階段是趨近段，在該時(shí)間段內(nèi)，系統(tǒng)狀態(tài)將在輔助控制項(xiàng)aaux的作用下從初始狀態(tài)收斂至滑模面上；第2階段是滑動(dòng)段，在該段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)將在等效控制項(xiàng)aeq的作用下沿著滑模面滑動(dòng)至平衡點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)收斂。

終端滑模控制采用非線性函數(shù)作為滑模面，能使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂，但是該方法存在奇異問(wèn)題。為避免奇異問(wèn)題，且獲得更高的控制精度，更快的收斂速度[34]，本文采用非奇異終端滑模面進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)滑模面為

(54)

式中：β為待設(shè)計(jì)參數(shù)，β>0；1<α<2。

對(duì)(54)式求1階導(dǎo)數(shù)，得

(55)

將(16)式代入(55)式，可得

(56)

(57)

Super-twisting算法是一種二階滑模算法，因其能有效削弱抖振、具有強(qiáng)魯棒性和高精度控制等優(yōu)越的特性而在控制問(wèn)題中被廣泛使用。但是傳統(tǒng)的超扭曲算法在系統(tǒng)狀態(tài)距離平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)收斂速度較慢，而引理1給出的控制系統(tǒng)是指數(shù)收斂的，在遠(yuǎn)離零點(diǎn)時(shí)收斂速度較快，結(jié)合二者的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種快速Super-twisting算法：

(58)

將該算法作為滑模控制的趨近律，可設(shè)計(jì)輔助控制項(xiàng)為

(59)

根據(jù)(57)式和(59)式，可得制導(dǎo)系統(tǒng)的控制律為

(60)

3.2 穩(wěn)定性證明

證明下面分|s|≠0和s=0兩種情況對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行討論。

1)當(dāng)|s|≠0時(shí)，定義如下李雅普諾夫函數(shù)：

(61)

該李雅普諾夫函數(shù)幾乎處處可微，僅在|s|=0處不可微[35]。

對(duì)(61)式求導(dǎo)并代入(58)式，可得

(62)

構(gòu)造如下新向量：

ξT=[|s|1/2sgn (s),s,f]

(63)

則(61)式可改寫(xiě)為如下形式：

V1=ξTAξ

(64)

式中：

(65)

函數(shù)V1是連續(xù)正定函數(shù)，且徑向無(wú)界。由于k1,k2,k3,k4>0，有

λmin{A}‖ξ‖2≤V1≤λmax{A}‖ξ‖2

(66)

式中：‖ξ‖2=s+s2+f2，‖·‖表示歐氏范數(shù)；λmin{A}和λmax{A}分別表示矩陣A的最小和最大特征值。

進(jìn)一步由(65)式可得

(67)

因此，(62)式可改寫(xiě)為

(68)

式中：

(69)

(70)

(71)

由(68)式可推知：

(72)

式中：λmin{A1}和λmin{A2}分別表示矩陣A1和A2的最小特征值。

由(67)式、(68)式和(72)式可得

(73)

(73)式可表示為

(74)

由引理4可知，V1將在有限時(shí)間內(nèi)收斂至0，即s也將在有限時(shí)間收斂至0，且收斂時(shí)間滿足：

(75)

2)當(dāng)s=0時(shí)，系統(tǒng)軌跡到達(dá)滑模面(54)式，(76)式成立：

(76)

對(duì)(76)式進(jìn)行移項(xiàng)整理，可得

(77)

對(duì)于系統(tǒng)(76)式，選擇如下的李雅普諾夫函數(shù)：

(78)

對(duì)(78)式求導(dǎo)，可得

(79)

根據(jù)引理4可知，系統(tǒng)穩(wěn)定，且彈目視線角將在有限時(shí)間內(nèi)收斂至期望值。將x1=0代入(76)式可知，彈目視線角速率將在有限時(shí)間內(nèi)收斂至0°/s。因此，定理1成立，證畢。

(60)式所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律具有如下優(yōu)點(diǎn)：1)不需要提前知道目標(biāo)的加速度上界，更有利于實(shí)際實(shí)施；2) 能保證系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間內(nèi)收斂，且能夠充分利用導(dǎo)彈的過(guò)載能力，系統(tǒng)狀態(tài)在遠(yuǎn)離零點(diǎn)時(shí)的收斂速度得到提升；3)不期望的高頻抖振現(xiàn)象得到有效抑制，有利于控制系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所提出的制導(dǎo)律的有效性，進(jìn)行仿真分析。導(dǎo)彈和目標(biāo)、自適應(yīng)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器相關(guān)參數(shù)值、制導(dǎo)律設(shè)定分別如表1、表2和表3所示。

表1 導(dǎo)彈和目標(biāo)相關(guān)參數(shù)值Table 1 Parameters of missile and target

表2 自適應(yīng)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器相關(guān)參數(shù)Table 2 Parameters of adaptive sliding mode disturbance observer

表3 制導(dǎo)律相關(guān)參數(shù)Table 3 Parameters of guidance law

重力加速度取g=9.8 m/s2，導(dǎo)彈的最大加速度aMmax=30g。為充分驗(yàn)證制導(dǎo)律的魯棒性，假設(shè)目標(biāo)可能采取以下3種不同機(jī)動(dòng)方式規(guī)避我方導(dǎo)彈攔截：

圖4 場(chǎng)景1仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of Scenario 1

1)場(chǎng)景1。目標(biāo)做常值機(jī)動(dòng):aT=50 m/s2。

2)場(chǎng)景2。目標(biāo)做正弦機(jī)動(dòng):aT=50sin (0.25πt)。

3)場(chǎng)景3。目標(biāo)做特定機(jī)動(dòng)：機(jī)動(dòng)加速度如圖3所示。

圖3 目標(biāo)特定機(jī)動(dòng)方式Fig.3 Specific maneuver mode of target

針對(duì)這3種不同場(chǎng)景，利用制導(dǎo)律(60)式得出的仿真結(jié)果如圖4～圖6所示，圖4是場(chǎng)景1的仿真圖，圖5是場(chǎng)景2的仿真圖，圖6是場(chǎng)景3的仿真圖。

圖5 場(chǎng)景2仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of Scenario 2

圖6 場(chǎng)景3仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of Scenario 3

為說(shuō)明制導(dǎo)律(60)式的魯棒性，選擇終端落角為30°，在3種場(chǎng)景下繪制導(dǎo)彈法向加速度與目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的對(duì)比曲線，如圖7所示。

圖7 3種場(chǎng)景下加速度對(duì)比曲線Fig.7 Acceleration comparison under three scenarios

圖7表明，在制導(dǎo)過(guò)程末段，目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度與導(dǎo)彈過(guò)載加速度絕對(duì)值大小相當(dāng)，此時(shí)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度將給制導(dǎo)系統(tǒng)帶來(lái)較大干擾。

3種仿真場(chǎng)景下的脫靶量和實(shí)際終端落角分別如表4、表5、表6所示。

由于自適應(yīng)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器能夠在線估計(jì)系統(tǒng)擾動(dòng)，對(duì)于不同目標(biāo)機(jī)動(dòng)類型以及不同的終端落角角度約束，制導(dǎo)律(60)式均能夠完成高精度攔截任務(wù)，脫靶量均小于0.2 m，彈目視線角在3種場(chǎng)景下均能收斂到期望值，且誤差小于0.5°。彈目視線角速率在3種情況下均能收斂到0°/s。由于制導(dǎo)律(60)式是非光滑的連續(xù)信號(hào)，傳統(tǒng)滑模控制帶來(lái)的高頻抖振得到了很好的抑制，且由于引入了快速收斂項(xiàng)，其收斂速度得到了提升(見(jiàn)表7)。

為了進(jìn)一步演示制導(dǎo)律(60)式的優(yōu)勢(shì)，將其與傳統(tǒng)的Super-twisting非奇異終端滑模制導(dǎo)律(ST-NTSM)以及標(biāo)準(zhǔn)的NTSM進(jìn)行對(duì)比仿真。為了描述方便，將(60)式的制導(dǎo)律命名為快速Super-twisting非奇異終端滑模制導(dǎo)律(FST-NTSM)。ST-NTSM[36]定義為

(80)

式中：Z2為擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(81)式的輸出量:

(81)

函數(shù)fal(E1,a,b)定義為

(82)

擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器參數(shù)選取為：β01=50，β02=500，a=0.01，b=0.1。

NTSM[37]定義為

(83)

式中：α=9/7；β=1；K為符號(hào)增益，K=400。

選擇終端落角為30°，在場(chǎng)景2下對(duì)3種制導(dǎo)律進(jìn)行對(duì)比仿真，仿真結(jié)果如圖8所示。

表4 場(chǎng)景1下的脫靶量和實(shí)際終端落角Table 4 Miss distance and actual terminal angle of Scenario 1

表5 場(chǎng)景2下的脫靶量和實(shí)際終端落角Table 5 Miss distance and actual terminal angle of Scenario 2

表6 場(chǎng)景3下的脫靶量和實(shí)際終端落角Table 6 Miss distance and actual terminal angle of Scenario 3

表7 彈目視線角收斂時(shí)間(2%誤差)Table 7 Convergence time of LOS angle (2% error)

圖8 3種制導(dǎo)律對(duì)比仿真結(jié)果Fig.8 Comparison of the three guidance laws

圖8(d)、圖8(e)表明，在3種制導(dǎo)律的導(dǎo)引下，彈目視線角均能收斂至30°且彈目視線角速率均能收斂至0°/s。由圖8(b)可以看出，NTSM的法向過(guò)載變化曲線中出現(xiàn)了不期望的高頻抖振，這將對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)產(chǎn)生極大的不利影響，且在一定程度上會(huì)激發(fā)系統(tǒng)的未建模部分。此外，NTSM中的增益K的選擇需要提前獲知目標(biāo)機(jī)動(dòng)信息的上界，而該信息在實(shí)際情況中往往很難獲得，從而限制了該制導(dǎo)律的實(shí)際應(yīng)用范圍。而FST-NTSM由于采用了自適應(yīng)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償，因此不需要知道目標(biāo)機(jī)動(dòng)的上界，且發(fā)揮了Super-twisting算法的優(yōu)勢(shì)，使得不希望出現(xiàn)的高頻抖振得到解決。由圖8和表7可以看出，NTSM、ST-NTSM的收斂速度相對(duì)較慢，而在對(duì)海作戰(zhàn)、攻擊艦載重要目標(biāo)等作戰(zhàn)場(chǎng)景中，戰(zhàn)機(jī)稍縱即逝，需要導(dǎo)彈具有高敏捷性實(shí)現(xiàn)快速攻擊，即彈目視線角快速收斂至期望值。而FST-NTSM由于采用了快速Super-twisting算法作為趨近律，在末制導(dǎo)初期出現(xiàn)更長(zhǎng)時(shí)間的過(guò)載飽和，這說(shuō)明該段時(shí)間內(nèi)導(dǎo)彈的過(guò)載能力得到了最大限度的利用，因此相較于NTSM收斂速度提升了29.3%，相較于ST-NTSM提升了30.8%。

5 結(jié)論

本文基于滑模控制理論，研究了考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)干擾和落角約束的制導(dǎo)問(wèn)題。選取的非奇異終端滑模面可有效避免奇異問(wèn)題，并使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂，在傳統(tǒng)Super-twisting算法基礎(chǔ)上引入快速收斂項(xiàng)，使導(dǎo)彈的過(guò)載能力得到充分利用，提升了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度。針對(duì)攻擊高機(jī)動(dòng)目標(biāo)的場(chǎng)景，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)進(jìn)行在線估計(jì)，對(duì)觀測(cè)器增益進(jìn)行自適應(yīng)使其選取不依賴于系統(tǒng)擾動(dòng)上界信息。在不同目標(biāo)機(jī)動(dòng)方式、不同終端落角約束等多種情況下，采用所提出的制導(dǎo)律均可精確命中目標(biāo)，脫靶量均小于0.2 m，實(shí)際終端落角值均可收斂到期望落角值。本文提出的制導(dǎo)律與NTSM、ST-NTSM相比，在有效降低抖振的同時(shí)，能夠充分利用導(dǎo)彈的過(guò)載能力，加快系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度。

然而，本文僅在平面上進(jìn)行分析，沒(méi)有考慮飛行器動(dòng)力學(xué)，這可能會(huì)影響模型的準(zhǔn)確性。后續(xù)研究將會(huì)考慮飛行器動(dòng)力學(xué)等環(huán)節(jié)，使模型更加準(zhǔn)確。